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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编6:函数的综合问题


北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 6:函数的综合问题
一、选择题 1 . (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)给出下列命题:①在区间 (0, ??) 上,函数

y ? x ?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1)2 , y ? x3 中有三个是增函数;②若 log m 3 ? log n 3 ?

0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ;
③ 若 函 数 f ( x) 是 奇 函 数 , 则 f ( x ? 1) 的 图 象 关 于 点 A(1,0) 对 称 ; ④ 已 知 函 数

1

?3 x ? 2 , x ? 2, 1 f ( x) ? ? 则方程 f ( x) ? 有 2 个实数根,其中正确命题的个数为 2 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2,
A. 1
【答案】C





B. 2
1

C. 3

D. 4

3 2 log m 3 ? log n 3 ? 0 解:①在区间 (0, ??) 上,只有 y ? x , y ? x 是增函数,所以①错误。②由 ,可得

1 1 ? ?0 log3 n ? log3 m ? 0 log3 m log3 n ,即 ,所以 0 ? n ? m ? 1 ,所以②正确。③正确。④当 x ? 2

时, 3

x? 2

? 1 ,由

3x? 2 ?

1 1 log 3 ( x ? 1) ? 2 ,可知此时有一个实根。当 x ? 2 时,由 2 ,得 x ? 1 ? 3 ,

即 x ? 1 ? 3 ,所以④正确。所以正确命题的个数为 3 个。选 C.
2 . 北 京 市 海 淀 区 北 师 特 学 校 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 理 科 数 学 ) 定 义 在 R 上 的 函 数 (

? 1 ? f ( x) ? ? x ? 2 ?1 ?

( x ? 2) ( x ? 2)

,则 f (x) 的图像与直线 y ? 1 的交点为 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) 、 ( x3 , y 3 ) 且

x1 ? x2 ? x3 ,则下列说法错误的是
2 2 A. x12 ? x 2 ? x3 ? 14

( B. 1 ? x2 ? x 3 ? 0



C. x1 ? x3 ? 4 D. x1 ? x3 ? 2x2

【答案】D

【解析】由

1 ?1 x?2
,得

x ? 2 ?1
,解得

x ?1


x?3
,当

x?2


y ? 1 。又 x1 ? x2 ? x3 ,所以

x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 3
3

,所以

x1 ? x3 ? 4 ? 2 x2

,所以 D 错误,选
x

D.

? a 0) .( 2013 北 京 朝 阳 二 模 数 学 理 科 试 题 ) 已 知 函 数 f ( x)? a 2 ? 1 ( ? , 定 义 函 数
? f (x ) , x ? 0 , F ( x) ? ? 给出下列命题: ?? f ( x), x ? 0.

第 1 页,共 10 页

① F ( x) ? f ( x) ; ② 函 数 F ( x) 是 奇 函 数 ;③ 当 a ? 0 时 , 若 mn ? 0 , m ? n ? 0 , 总 有

F ( m)? F ( n) 成立,其中所有正确命题的序号是 ? 0
A.②
【答案】

( D.②③



B.①② D.

C.③

4 . (2013 北京丰台二模数学理科试题及答案) 已知偶函数 f ( x)( x ? R) ,当 x ? (?2,0] 时, f ( x) ? ? x(2 ? x) ,

当 x ? [2, ??) 时, f ( x) ? ( x ? 2)(a ? x) ( a ? R ). 关于偶函数 f ( x) 的图象 G 和直线 l : y ? m ( m ? R )的 3 个命题如下: ① 当 a=4 时,存在直线 l 与图象 G 恰有 5 个公共点; ② 若对于 ?m ? [0,1] ,直线 l 与图象 G 的公共点不超过 4 个,则 a≤2; ③

?m ? (1, ??), ?a ? (4, ??) ,使得直线 l 与图象 G 交于 4 个点,且相邻点之间的距离相等.
( C.②③ D.①②③ )

其中正确命题的序号是 A.①② B.①③

第二部分(非选择题 共 110 分) 【答案】 D.
5 . 北 京 市 昌 平 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 理 试 题 ) 已 知函数:① f ( x) ? ? x ? 2 x , ② (
2

1 ?x f ( x) ? cos( ? ) ,③ f ( x) ? |x ?1|2 .则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是 2 2

?

命题 p : f ( x) 是奇函数; 命题 r : f ( ) ?

命题 q : f ( x ? 1) 在 (0,1) 上是增函数; ( )

1 1 ; 命题 s : f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称 2 2 A.命题 p、q B.命题 q、s C.命题 r、s D.命题 p、r
【答案】C

解:当 f ( x) ? ? x ? 2 x 时,函数不是奇函数,所以命题 p 不能使三个函数都成立,排除 A, D. ①
2

1 ? ? 1 ? 2 1 1 1 1 1 3 1 ? 成立;③ f ( ) ? ?( )2 ? 2 ? ? 1 ? ? ? 成立;② f ( ) ? cos( ? ? ) ? cos ? 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 4 2
1 1 1 1 2 1 f ( ) ? | ? 1| 2 ? ? ? 成立,所以命题 r 能使三个函数都成立,所以选 2 2 2 2 2
C.

6 . (北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )8.对实数 a 与 b ,定义新运算“ ? ” :

?a, a ? b ? 1, a ?b ? ? 设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? x 2 ? , x ? R. 若函数 y ? f ( x) ? c 的零点恰有两 ?b, a ? b ? 1.
第 2 页,共 10 页

个,则实数 c 的取值范围是 A. ? ??, ?2? ? ? ?1,

( B. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?



? ?

3? ? 2?

? ?

3? ? 4?

1? ?1 ? ? C. ? ??, ? ? ? , ?? ? 4? ?4 ? ?
【答案】B

3 ? ?1 ? ? ? ?1, ? ? ? ? , ?? ? 4 ? ?4 ? D. ?

7 . (北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题)若直角坐标平面内的两点 p、Q 满足条件:①p、Q 都在函

数 y=f(x)的图像上;②p、 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对 Q [P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”). 已知函数 f(x)= ? A.0
【答案】C 8 . (2013 北京西城高三二模数学理科)已知函数 f ( x) ? x ? [ x] ,其中 [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数.若

?1og 2 x ( x ? 0)
2 ? ? x ? 4 x ( x ? 0)

,则此函数的“友好点对”有( C.2 D.3

)对.





B.1

关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是 A. [?1, ? ) ? ( , ]





1 2

1 1 4 3

B



1 1 1 (?1, ? ] ? [ , ) 2 4 3 1 3 1 4 1 2

C. [? , ? ) ? ( ,1]
【答案】

1 3

1 4

1 2

D. (? , ? ] ? [ ,1)

B.
*
*

9 . (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学)已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, x ? N .若 ?x0 , n ? N ,

使 f ( x0 ) ? f ( x0 ? 1) ? ? ? f ( x0 ? n) ? 63 成立,则称 ( x0 , n ) 为函数 f ( x) 的一个“生成点”.函数

f ( x) 的“生成点”共有
A.1 个
【答案】B

( C.3 个 D.4 个



B.2 个

10 . 2013 届 北 京 丰 台 区 一 模 理 科 ) 如 果 函 数 y=f(x) 图 像 上 任 意 一 点 的 坐 标 ( x,y ) 都 满 足 方 程 (

lg( x ? y) ? lg x ? lg y ,那么正确的选项是





A.y=f(x)是区间(0, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 B.y=f(x)是区间(1, ?? )上的增函数,且 x+y ? 4 C.y=f(x)是区间(1, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 D.y=f(x)是区间(1, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 【答案】C 11. (2011 年高考(北京理) 设 A(0,0), B(4,0), C(t ? 4,4), D(t ,4) (t ? R) .记 N (t ) 为平行四边形 ABCD 内 ) 部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N (t ) 的值域为 ( ) A.{9,10,11} 【答案】C B.{9,10,12} C.{9,11,12}
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D.{10,11,12}

【解析】由图知 C,D 两点在直线 y ? 4 上运动,平行四边形 ABCD 内部整点的纵坐标只能取 1,2,3,而 且平行四边形 AB 边的边长为 4,所以横坐标为整数最多会出现 4 个,最少会出现 3 个整数, N (t ) 的值域 为{9,11,12},选择 C. y

D

C

A
二、填空题

B

x

12.北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题) ( 已知函数 f ( x) 的定义域为 R . ? 常数 c ? 0 , 若

对 ?x ? R ,有 f ( x ? c) ? f ( x ? c) ,则称函数 f ( x) 具有性质 P .给定下列三个函数: ① f ( x) ? 2 ;
x

② f ( x) ? sin x ;

③ f ( x) ? x ? x .
3

其中,具有性质 P 的函数的序号是______.
【答案】①③.

解:由题意可知当 c ? 0 时, x ? c ? x ? c恒成立,若对 ?x ? R ,有 f ( x ? c) ? f ( x? c) 。①若

f ( x ) ? 2x ,则由 f ( x ? c) ? f ( x ? c) 得 2x?c ? 2x?c ,即 x ? c ? x ? c ,所以 c ? 0 ,恒成立。所以①
具 有 性 质 P. ② 若 f ( x)? s i n, 由 f ( x? c ? x )

f( x 得 sin( x ? c) ? sin( x ? c) , 整 理 ? ) c

cos x sin c ? 0 ,所以不存在常数 c ? 0 ,对 ?x ? R ,有 f ( x ? c) ? f ( x ? c) 成立,所以②不具有性
质 P。③若 f ( x) ? x ? x ,则由 f ( x ? c) ? f ( x ? c) 得由 ( x ? c) ? ( x ? c) ? ( x ? c) ? ( x ? c) ,整理
3 3 3

得 6 x ? c ? 2 ,所以当只要 c ? 2 ,则 f ( x ? c) ? f ( x ? c) 成立,所以③具有性质 P,所以具有性
2 2

质 P 的函数的序号是①③。
13. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) 给出定义: m ? 若

1 1 < x ? m + (其中 m 为 2 2

整数),则 m 叫做离实 数

x 最近的整数,记作 {x} ,即 {x }=m . 在此基础上给出下列关于函数

f (x)=x ? {x} 的四个命题:
① y =f (x ) 的定义域是 R ,值域是 ( ?

1 1 , ]; 2 2

②点 (k ,0) 是 y =f (x ) 的图像的对称中心,其中 k ? Z ; ③函数 y =f (x ) 的最小正周期为 1 ;

第 4 页,共 10 页

④ 函数 y =f (x ) 在 ( ?

1 3 , ] 上是增函数. 2 2


则上述命题中真命题的序号是
【答案】①③

解 : ① 中 , 令 x ? m ? a, a ? ( ?

1 1 1 1 , ] , 所 以 f (x)=x ? {x} ? a ? (? , ] 。 所 以 正 确 。 ② 2 2 2 2

f (2k ? x)=2k ? x ? {2k ? x} ? (? x) ? {? x} ? f (? x) ? ? f (? x) , 所以点 (k , 0) 不是函数 f ( x) 的图象
的对称中心,所以②错误。③ f (x ? 1)=x ? 1 ? {x ? 1} ? x ? {x} ? f ( x) ,所以周期为 1,正确。④令

1 1 1 1 1 1 1 1 x ? ? , m ? ?1 ,则 f (? ) ? ,令 x ? , m ? 0 ,则 f ( ) ? ,所以 f (? ) ? f ( ) ,所以函数 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 ,所以正确的为①③ y =f (x ) 在 ( ? , ] 上是增函数错误。 2 2
ì 1 ? ? 2 x, 0 ≤ x ≤ ? ? 2 14 .( 2013 届 北 京 大 兴 区 一 模 理 科 ) 已 知 函 数 f ( x ) = í , 定 义 ? 1 ? 2 - 2 x, < x ≤ 1 ? ? 2 ? ?
f1 ( x) = f ( ,xf n ( x) = f ( f n- 1 ( x)) ,( n≥ 2 , n ? N * ).把满足 f n ( x ) = x ( x ? [0,1])的 x 的个数 )
; n - 周期点是 .

称为函数 f ( x) 的“ n - 周期点” .则 f ( x) 的 2 - 周期点是
【答案】 4 , 2 n 15. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 函数 )

f ? x ? 的定义域为 A ,若 x1 , x 2 ? A 且

f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 时总有 x1 ? x 2 ,则称 f ? x ? 为单函数.例如,函数 f ? x ? ? x ? 1? x ? R ? 是单函数.下列命
题: ①函数 f ? x ? ? x ? 2 x? x ? R ? 是单函数;
2

②函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 2, 是单函数; ?2 ? x , x ? 2

③若 f ? x ? 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ; ④函数 f ? x ? 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数. 其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).

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三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
【答案】答案③

① 若 f ( x) ? x ? 2 x , 则 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 得 x1 ? 2 x1 ? x2 ? 2 x2 , 即
2

2

2

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2) ? 0 , 解 得 x1 ? x,2或 x1 ?

x2 2 ?

?, 所 以 ① 不 是 单 函 数 .② 若 0

?log x, x ? 2, f ?x ? ? ? 2 则由函数图象可知当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,时, x1 ? x2 ,所以②不是单函数.③根据 ?2 ? x , x ? 2
单函数的定义可知,③正确.④在在定义域内某个区间 D 上具有单调性,单在整个定义域上不一定单调, 所以④不一定正确,比如②函数.所以真命题为③.
16. (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学) 函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且满足

f ( x ? 2) ? f ( x) .当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2 x .若在区间 [?2,3] 上方程 ax ? 2a ? f ( x) ? 0 恰有四个不
相等的实数根,则实数 a 的取值范围是 ________.
【答案】 (

2 2 , ) 5 3

17 . 北 京 市 通 州 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 试 题 ) 对 任 意 两 个 实 数 x1 , x2 , 定 义 (

? x , x ? x 2, 2 max ? x1 , x2 ? ? ? 1 1 若 f ? x? ? x ? 2 , ? x2 , x1 ? x2 .

g ? x ? ? ? x ,则 max ? f ? x ? , g ? x ? ? 的最小值为
【答案】 ?1



【 解析】因为 f ( x) ? g ( x) ? x ? 2 ? (? x) ? x ? x ? 2 ,所以 x ? 2 ? (? x) ? x ? x ? 2 ? 0 时,解
2 2 2 2

得 x ? 1 或 x ? ?2 。 当 ?2 ? x ? 1 时 , x2 ? x ? 2 ? 0 , 即

f ( x? )

g( , 所 以 x)

? ? ? x, ? 2 x ? 1 , max ? f ? x ? , g ? x ? ? ? ? 2 ,做出图象,由图象可知函数的最小值在 A 处,所以最 , x 2 ? x ? 2 x ? 或1 ? ?

小值为 f (1) ? ?1 。
18. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)数学理试题)已知命题: p : f ( x ? 1) 是奇

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函数; q : f ( ) ? ① f ( x) ?

1 2

1 .下列函数: 2

2 ?x x ,② f ( x) ? cos ,③ f ( x) ? 2 ? 1 中 x ?1 2

能使 p, q 都成立的是____________.(写出符合要求的所有函数的序号).

2 2 2 1 2 4 1 ,所以 f ( x ? 1) ? ? 为奇函数. f ( ) ? ? ? 成 1 x ?1 x ?1 ? 1 x 2 ?1 3 2 2 ?x ? ? 立 , 所 以 ① 满 足 条 件 . 若 f ( x) ? cos , 则 f ( x ? 1) ? cos ( x ? 1) ? sin x 为 奇 函 2 2 2
【答案】 ①② 【解析】 f ( x) ? 若

数. f ( ) ? cos

1 2

?
4

?

2 ? 1 ,所以②成立.若 f ( x) ? 2 x ? 1 ,则 f ( x ? 1) ? 2 x ?1 ? 1 不是奇函数,所以③ 2

不满足条件,所以使 p, q 都成立的是①②.
19. (2010 年高考(北京理) 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动?设顶点 p(x,y)的轨迹方程是 )

y ? f ( x) ,则 f ( x) 的最小正周期为__________; y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区
域的面积为__________?说明:“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动?沿

x 轴正方向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转,当顶点 B 落在 x 轴上时,再以顶点 B 为中心顺时
针旋转,如此继续?类似地,正方形 PABC 可以沿 x 轴负方向滚动?
【答案】4

,

? ? 1 ;解:简单画出图象

不难看出 f(x)的最小正周期是 4,其实正方形 PABC 的周长为 4,而“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”一周, 其长度正好是 4,

y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积是由两块半径为 1 的

1 圆面积加上一块 4

1 圆面积,再加上两块直角边为 1 的等腰直角三角形, 4 ? 1 1 以总面积是 2× + (2π )+2×( )=1+π . 4 4 2
半径为 2 的
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三、解答题 20. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学(理)试题)如图所示,已知边长为 8 米的正方形钢板有

一个角被锈蚀,其中 AE ? 4 米,CD ? 6 米.为了合理利用这块钢板,将在五边形 ABCDE 内截取一个矩 形块 BNPM ,使点 P 在边 DE 上. (Ⅰ)设 MP ? x 米,PN ? y 米,将 y 表示成 x 的函数,求该函数的解析式及定义域; (Ⅱ)求矩形 BNPM 面积的最大值.

A
M

E P

F D

B

N

C

【答案】解:(I)作 PQ ?

AF 于 Q ,所以 PQ ? 8 ? y, EQ ? x ? 4

EQ EF ? 在 ?EDF 中, PQ FD x?4 4 ? 所以 8 ? y 2

1 y ? ? x ? 10 {x | 4 ? x ? 8} 2 所以 ,定义域为
(II) 设矩形 BNPM 的面积为 S ,则

x 1 S ( x) ? xy ? x(10 ? ) ? ? ( x ? 10)2 ? 50 2 2
所以

S ( x ) 是关于 x 的二次函数,且其开口向下,对称轴为 x ? 10 x ? (4,8) , S ( x ) 单调递增

所以当

所以当 x ? 8 米时,矩形 BNPM 面积取得最大值 48 平方米
21. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) (本小题满分 13 分)已知函数 y

? f (x) ,若存

在 x0 , 使 得 f ( x0 ) ? x0 , 则 称 x0 是 函 数 y ? f (x) 的 一 个 不 动 点 , 设 二 次 函 数

f ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? b ? 2 .
第 8 页,共 10 页

(Ⅰ) 当 a ? 2, b ? 1 时,求函数 f (x) 的不动点; (Ⅱ) 若对于任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个不同的不动点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,若函数 y ? f (x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点,且直线

y ? kx ?

1 是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围. a ?1
2

【答案】(Ⅰ) 当 a

? 2, b ? 1 时, f ( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 ,解 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? x

?2 分

得 x ? ?1, x ?

1 2 1 2
??3 分

所以函数 f ( x) 的不动点为 x ? ?1, x ?

(Ⅱ)因为 对于任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个不同的不动点, 所以 对于任意实数 b ,方程 f ( x) ? x 恒有两个不相等的实数根, 即方程 ax ? (b ? 1) x ? b ? 2 ? x 恒有两个不相等的实数根,
2

???4 分 ???5 分

所以

? x ? b 2 ? 4a (b ? 2) ? 0

即 对于任意实数 b , b 2 ? 4ab ? 8a ? 0 所以 解得

? b ? (?4a) 2 ? 4 ? 8a ? 0
0?a?2

????????7 分 ???????8 分

(Ⅲ)设函数 f ( x) 的两个不同的不动点为 x1 , x2 ,则 A( x1 , x1 ), B ( x2,x2 ) 且 x1 , x2 是 ax ? bx ? b ? 2 ? 0 的两个不等实根, 所以 x1 ? x2 ? ?
2

b a

直线 AB 的斜率为 1,线段 AB 中点坐标为 (?

b b ,? ) 2a 2a

因为 直线 y ? kx ?

1 是线段 AB 的垂直平分线, a ?1
2

所以 k ? ?1 ,且 (?

b b 1 , ? ) 在直线 y ? kx ? 2 上 2a 2a a ?1

第 9 页,共 10 页



?

b b 1 ? ? 2 2a 2a a ? 1

a ? (0, 2)

????????10 分

所以 b ? ?

a 1 1 1 ?? ?? ?? 1 a ?1 2 1 a? 2 a? a a
2

当且仅当 a ? 1 ? (0, 2) 时等号成立

???????12 分 又 b?0 所以 实数 b 的取值范围 [?

1 , 0) . 2

????13 分

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