nbhkdz.com冰点文库

2012年全国高中数学联赛加试试题(B卷)参考答案及评分标准


2 0 1 2年全国高中数学联赛加试试题( B卷) 参考答案及评分标准
说明:
1 、 评阅试卷时, 请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2 、 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评 分, 1 0分为一个档次, 不要再增加其他中间档次.

一、 ( 本题满分 4 0分) 如图

, 圆I 内切于圆 O , 切点为 P , 圆 O的弦 A B切圆 I 于点 Q , P Q的延长线交圆 O于点 M, M N为圆 O的直径. 过点 P作 P A的 垂线交 A N于点 C . 求证: C 、 I 、 Q三点共线. 证明: 作圆 O , 圆I 的公切线 P D , 则∠M P D= Q P . ∠A

)
)

)

因此, P A M= P A+ M B . 所以 A M= M B  1 0分 故M N B . ⊥A 连结 Q I 并延长, 交A N于 C , 则C Q B . ⊥A 1 1 因而 M N Q  2 0分 ∥C 1 因此, C Q= N M= P Q . ∠A ∠A ∠A 1 故A 、 P 、 C 、 Q四点共圆  3 0分 1 从而∠A P C 1 8 0 ° - Q C 9 0 ° = P C . ∠A ∠A 1= 1= 所以点 C 即C 、 I 、 Q三点共线 1 与点 C重合, 二、 ( 本题满分 4 0分) 给定整数 n > 1 , 设a , a , …, a 记集合 1 2 n 是互不相同的非负实数,     A={ a a B={ a a }, } │1 ≤i ≤j ≤n │1 ≤i ≤j ≤n. i+ j i j 求 │A │ 的最小值. 这里, │X │表示集合 X中元素的个数. │B │
2 0 1 2年全国高中数学联赛加试试题( B卷) 参考答案及评分标准  第 1页( 共 3页)

)

)

0分  4

  解: 不妨设 a a …< a , 则 1< 2< n     2 a a a 2 a a a …< a a 2 a , 1< 1+ 2< 2< 2+ 3< n - 1+ n< n 所以│A n - 1  1 0分 │≥2
2 又 B={ a = 1 , 2 , …, n a < j 所以 }∪ { a }, │i │1 ≤i ≤n i i j

( n + 1 ) 2 n      │B + C , │≤n n= 2 故 2 n - 1 2 ( 2 n - 1 ) │A │ 0分 = ≥  2 ( n + 1 ) n ( n + 1 ) │B │ n 2

2 2 2 当{a , a , …, a + 1 , n + 2 , …, n + n 等号成立. } ={ n }时, 1 2 n 2 2 2 2 事实上, 2 n + 2 a n + 2 n ( 1 ) , 且在 2 n + 2与 2 n + 2 n 之间( 包括这两个数) ≤a ≤2 ≤i ≤j ≤n i+ j

的整数值都取得到, 所以│A 2 n - 1  3 0分 │=
2 2 2 2 又若( n + i ) ( n + j )= ( n + k ) ( n + l ) , 这里 i , j , k , l , 2 , …, n. } 则 ∈ {1 2      ( i + j - k - l ) n = k l - i j .

n ( n + 1 ) 2 由于│k l - i j n , 故i + j - k - l = 0 , 且k l - i j = 0 , 于是 { i , j , l 此时│B . } ={ k }, │< │= 2 2 ( 2 n - 1 ) │A │ 所以, 的最小值为 0分  4 n ( n + 1 ) │ │B 三、 ( 本题满分 5 0分) 数列 { x 0 , x x 1( n = 1 , 2 , …) , 求证: 必存在常数 A和 C ( A> 1 , C> 0 ) , 使 }满足 x n 0> n =槡 n - 1+ C 不等式 | x A | < n对任意正整数 n 都成立. n- A 证明: 若{x 不妨设 x A . 由递推式 x x 1 知, A满足方程 }为常数列, n 0= n =槡 n - 1+     x =槡 x + 1 .      ① 1+ 5 解得 A= 槡 > 1 1 0分 2 C 从而, | x A | = 0< n对任何正数 C都成立  2 0分 n- A 1+ 5 若{x 则x , 仍然取 A= 槡 , 有 }不是常数, ≠A n 0 2
2 | x 1- A | n - 1+      | x A | =| x + 1- A | = 0分  3 n- n - 1 槡 x 1+ A n - 1+ 槡 2 由 A满足方程①知, 1- A =- A . 又槡 x 1+ A> A> 1 , n - 1+

2 0 1 2年全国高中数学联赛加试试题( B卷) 参考答案及评分标准  第 2页( 共 3页)

x A | | n - 1-   所以 | x A | < 0分  4 n- A x A | | x A | x A | | | n - 1- n - 2- 0- 因此, | x A | < < < …< . n- 2 n A A A C 记 C=| x A | , 有 C> 0 , 则| x A | < n. 0- n- A C 综上, 存在常数 A> 1 , C> 0 , 使不等式 | x A | < n对任意的正整数 n 都成立  5 0分 n- A 四、 ( 本题满分 5 0分)
u u 已知素数 p 满足下述条件: 存在正整数 n , u , v , 使 n的正约数的个数等于 p , 且这 p 个正约数 v . 求p 的一切可能值. 之和等于 p a a a ? 1 2 m 解: 显然 n > 1 . 设n = p 的素因数分解. m , a , a , …, a 1 ·p 2 ·…· p k 为 n 1 2 m∈ N 则 u     ( a 1 ) ( a 1 ) ·…·( a 1 )= p ,               ① 1+ 2+ m+ a a a v 1 2 m     ( 1+ p …+ p ( 1+ p …+ p ·…·( 1+ p …+ p = p .  ②  1 0分 1+ 1) 2+ 2) m+ m) s ? 因为 p 是素数, 则由①知, 存在 s , 使得 a 1= p , 因此 ∈N 1+ 2 a 2 p- 1 1     1+ p p …+ p 1+ p p …+ p 1+ 1+ 1 1+ 1 = 1+ p p p p 1 p 1 p 1 1 - 1- 1 - 0分     = = · p  2 p 1 p 1 p 1 1- 1- 1- p 1 1- t p ? 由于上式最后的两个分式的值都是整数, p 又是素数, 由 ② 知, 存在 t , 使p = , 故 ∈N p 1 1- p p 1 . ?p 1- p 根据 F e r m a t 小定理即得 p ( m o dp )  3 0分 ≡p ≡1 1 1 ? 设p k p + 1 , k , 则 ∈N 1= p p p 1 ( k p + 1 ) - 1 1- t =     p = p 1 k p 1- 0 p - 1 1 p - 2 p - 2 p - 1 = C ( k p ) + C ( k p ) + …+ C p + C p p p k p . p - 1 1 p - 2 p - 2 2 p - 1 2 当p ( k p ) , C ( k p ) , …, C p 均为 p 的倍数, 但C = p不是 p 的倍数, 这使得 ≥3时, P p k p
s s s

上式右边不可能为 p 的幂, 矛盾  4 0分 所以, 当p 由于 p 是素数, 故p = 2 . ≤2时.
r ? 事实上, 当p = 2时, 存在这样的正整数 n , 只要 n等于两两不同的 2 - 1 ( r ) 型素数的乘 ∈N

例如 n = 2 1= 3× 7等. 积, 即可满足条件. 综上所述, 所求 p = 2是满足条件的唯一素数  5 0分

2 0 1 2年全国高中数学联赛加试试题( B卷) 参考答案及评分标准  第 3页( 共 3页)


2012年全国高中数学联赛试题(A,B)参考答案及详细评分标准)

2012年全国高中数学联赛试题(A,B)参考答案及详细评分标准)_学科竞赛_高中教育_教育专区。 文档贡献者 liuchuxi8907 贡献于2012-10-15 相关文档推荐 暂无相关推荐...

2012年全国高中数学联赛试题(B卷)参考答案及评分标准

2012年全国高中数学联赛试题(B卷)参考答案及评分标准_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012年全国高中数学联赛试题(B卷)参考答案及评分标准.doc今日...

2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准(A卷) (2)

2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准(A卷) (2)_学科竞赛_高中...3 ……16 分 2. (本小题满分 20 分) 设非负实数 a , b , c 满足 ...

2012年全国高中数学联赛试题及答案

2012年全国高中数学联赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2012年全国高中数学联赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区...

2009年全国高中数学联赛加试--试题参考答案及评分标准(A卷)

2009 年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准(A 卷)说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,...

2009-2012年全国高中数学联赛试题参考答案及评分标准

2009-2012年全国高中数学联赛试题参考答案及评分标准_...联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准(A 卷)说明: ...? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 ...

2012年全国高中数学联赛试题及详细解析

a ? b ? 1 的任意实数 a , b ,数列 2 n ...2012年全国高中数学联赛一试及加试试题 参考答案及...评分标准(A卷word版) 一、填空题:本大题共8小题...

2014全国高中数学联赛二试参考答案及评分标准

联赛二试参考答案及评分标准_学科竞赛_高中教育_教育...2012年全国高中数学联赛... 6页 免费 2008...2014全国高中数学联赛B卷... 9页 2下载券 2005...

2012年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准

b ? 1 ,则 a ? ab ? b 的最小值为 2012 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 (第 1 页(共 5 页) ) A. ? 1 . 8 B.0. C.1. D....

2010-2012年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准

2010-2012年全国初中数学联赛试题参考答案评分标准_学科竞赛_初中教育_教育专区...b ? 2c 的值为 ( A ) A.-13. B.-9. C.6. D. 0. 5 .在△ ...