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吉林省实验中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案


吉林省实验中学 2012—2013 学年度下学期期末考试

高一数学试题
命题人:迟禹才、赵晓玲、李金龙、王凯 审题人:于斌 命题时间:2013 年 7 月 9 日 一、选择题(本大题共 12 道题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知直线 m⊥ 平面 α,直线 n?平面 β,则下列命题正确的是 ( A.若 α∥ β,则 m⊥ n C.若 m⊥

n,则 α∥ β B.若 α⊥ β,则 m∥ n D.若 n∥ α,则 α∥ β ( ) D.(1,4) )

2.若 k,2,b 三个数成等差数列,则直线 y=kx+b 必经过定点 A.(-1,-4) B.(1,3) C.(1,2)

3.已知过点 P(2,2) 的直线与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 5 相切,且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则

a ?(
A.-



1 1 B. 1 C.2 D. 2 2 2 2 4.直线 x ? 2 y ? 5 ? 5 ? 0 被圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 截得的弦长为 (
A.1 B.2
2 2

)

C.4

D. 4 6 )

5.已知点 M (a,b )在圆 O: ? y ? 1 外, 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系是( x A.相切 B.相交 C. 相离

D.不确定 π 6.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C,所对的边.若 A= ,b=1,△ABC 的面积为 3 3 ,则 a 的值为 ( ) 2 3 A. 3 B. C.1 D. 2 2 7.已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 1, 则 y ?

1 4 ? 的最小值为( a b



B.7 C.8 D.9 8.正四面体 ABCD 中, E 、 F 分别是棱 BC 、 AD 的中点,则直线 DE 与平面 BCF 所 成角的正弦值为 ( ) A.

A. 6

2 2 3

B.

3 3

C.

6 3

D.

2 2

?y ? 1 ? 9 . 已 知 实 数 x, y 满 足 ? y ? 2 x ? 1 , 若 目 标 函 数 z ? x ? y 的 最 小 值 的 取 值 范 围 是 ?x ? y ? m ? [?3,?2] ,则实数 m 的取值范围是( )
A. [?1,8] B. [4,7] C. [8,11] D. [6,9]

10.已知正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? 2, CC1 ? 2 2, E 为 CC1 的中点,则点 A 到平 1 面 BED 的距离 A.2 ( ) C. 2 D.1

B. 3

11.若圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离等于

2 2 ,则直线 l 的斜率的取值范围是(



A.[0,2- 3 ] B.(- ? ,2- 3 ] ? [2+ 3 ,+ ? ) C.[0,2+ 3 ]D. [2- 3 ,2+ 3 ] 12.已知球的直径 SC ? 4, A., B 是该球球面上的两点, ?ASC ? ?BSC ? 30? ,且

AB ? 3, ,则三棱锥 S — ABC 的体积为(
A.1 B. 3 C. 2 3

) D. 3 3

二、填空题(本大题共 4 道题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为
2

1

1

1

x?0 ? y ?1 ? y?0 14.设变量 x,y 满足约束条件 ? ,则 Z ? 的取值范围是 x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
15.过点(3,2)作圆 ( x ? 2) ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB
2 2

方程为 16.方程 1 ? x 2 ? k ( x ? 1) ? 2 有两个不等实根,则 k 的取值范围是

三、解答题(本大题共 6 道题,其中 17 题 10 分,18~22 题每题 12 分,共 70 分) 17.等比数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 2, a5 ? 16 (1) 求数列 ?an ? 的通项 a n ;

(2)若等差数列

?

求数列 ?bn ?,b1 ? a5 ,b8 ? a2 ,

?

并求 ?bn ?前 n 项和 Sn , Sn

最大值和相应的 n 值.

18. ABC 中, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 2a sin A ? ?2b ? c ?sin B ? ?2c ? b?sin C 在△ a, 且 (1)求 A 的大小; (2)若 a=4,求 b+c 的最大值.

19. 如图,在四棱 O ? ABCD 锥中,底面 ABCD 四边长为 4 的菱形, ?ABC ? 60? ,

OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点。
(1)证明:直线 MN‖ 平面OCD (2)求点 B 到平面 OCD 的距离. ;

O

M

A B N C

D

20. 已知过点 M (?3,?3) 的直线 l 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 , 求直线

l 的方程.

21.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥ BC,AB⊥ 1,AC=BC=BB1=2,D 为 AB 的 BB 中点,且 CD⊥ 1. DA ( 1 ) 求证:BB1⊥ 平面 ABC; ( 2 ) 求二面角 C-DA1-C1 的余弦值.

22. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 ,在 y 轴上截得线段 长为 2 3 . (1)求圆心 P 的轨迹方程;

(2)若 P 点到直线 y=x 的距离为

2 ,① 求圆 P 的方程; 2

② 若圆心 P 的纵坐标大于零,点 M 是直线 l : x ? y ? 5 上的动点,MA,MB 分别是圆 P 的两条切线,A,B 是切点,求四边形 MAPB 面积的最小值.

参考答案
一、选择题 1 A D 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 7 B 8 C 9 10 D 11 D B 12

二、填空题

13.

? 3
x ? 2y ? 3 ? 0

14.

1 [ ,5] 4 3 ( ,1] 4

15.

16.

三、解答题 17.解:(1)由

a 2 ? 2, a5 ? 16 ,得 q=2,解得 a1 ? 1,从而 an ? 2n?1

(2)由已知得 b1 ? 16, b8 ? 2, 又b8 ? b1 ? (8 ? 1)d , 解得d=-2

? sn ? nb1 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? 16n ? (?2) ? ? n 2 ? 17n 2 2
2

17 ? 17 ? 由于 s n ? ?( n ? ) ? ? ? ,n? N* 2 ? 2?
所以 n ? 8 或 n ? 9 时, S n 有最大值 72 18.解: (1)? 2a 2 ? 2(b ? c)b ? (2c ? b)c

?b2 ? c 2 ? a 2 ? ?bc

? cos A ? ?
2

1 2
2 2

? A ? 1200
2 2

?b?c? (2)? a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 16 ? bc ? ? ? ? 2 ?
?b ? c ? 8 3 3
当且仅当 b=c 时,等号成立

19.(1)证明:取 OD 中点 E, 证明四边形 MNCF 为平行四边形,则 FC // MN (2)解:?VB?OCD ? V0? BCD

? AC ? 4?OC ? 2 5, OD ? 2 5

所以 CD 边上的高等于 4, S?OCD ? 8 , S?BCD ? 4 3

1 1 ? ?8? h ? ? 4 3 ? 2 3 3

?h ? 3

20.解:设直线 l 的方程为 y+3=k(x+3)(k 存在),即 kx-y+3k-3=0

? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25所以圆心 C(0,-2)到直线 l 的距离为 d ?
4 5 2 ) ? r2 , 2

3k ? 1 1? k 2

因为弦长为 4 5 ,半径 r=2,所以 d ? (
2

整理得: 2k ? 3k ? 2 ? 0
2

所以,k=2 或 ?

1 2

故直线 l 的方程为 2x-y+3=0 或 x+2y+9=0 21.(1)证明:∵ AC=BC,D 为 AB 的中点, ∴CD⊥AB,又 CD⊥DA1,AB∩A1D=D, ∴CD⊥平面 AA1B1B,∴CD⊥BB1, 又 BB1⊥AB,AB∩CD=D,∴BB1⊥平面 ABC. → → → (2)以 C 为原点,分别以CB,CC1,CA的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立 空间直角坐标系(如图所示),

则 C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,0,2),C1(0,2,0),A1(0,2,2),D(1,0,1). 设 n1=(x1,y1,z1)是平面 DCA1 的法向量,

? → ?n1· =0 CD 则有? → ?n · =0 ? 1 CA1

? ? ?x1+z1=0 ?x1=-z1 ,即? ,∴? ,故可取 n1=(1,1,-1). ?2y1+2z1=0 ?y1=-z1 ? ?

→ → 同理设 n2=(x2,y2,z2)是平面 DC1A1 的法向量,且C1D=(1,-2,1),C1A1=(0,0,2).

? → ?n2· 1D=0 C 则有? ?n ·→ =0 ? 2 C1A1
∴cos〈n1,n2〉=

? ? ?x2-2y2+z2=0 ?x2=2y2 ,即? ,∴? .故可取 n2=(2,1,0). ? ? ?2z2=0 ?z2=0

3 15 n1·2 n = = , |n1||n2| 5 3× 5 15 . 5

又二面角 C-DA1-C1 的平面角为锐角,所以其余弦值为

? y 2 ? ( 2 )2 ? r 2 22.(1)设 P(x,y)有已知得: ? 2 2 2 ? x ? ( 3) ? r
(2)① 因为 P(x,y)到 x-y=0 的距离 d ?

? y 2 ? x2 ? 1

x? y 2 2 ,所以 ? ? x ? y ?1 2 2 2

? x?0 ?x?0 ? y2 ? x2 ?1 ? y2 ? x2 ?1 ? ? 所以 ? ,则 ? y ? ?1或 ? y ? 1 或? ? r 2 ? 3 ?r 2 ? 3 ? x ? y ? 1 ? x ? y ? ?1 ? ?

所以 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 3或x 2 ? ( y -1)2 ? 3 ② 因为纵坐标大于零,则 P(0,1) 因为 MA ?

x 2 ? ( y -1)2 ? 3
2

MC ? r 2 ?
2

MC ? 3 ,若 SMAPB 最小,则 MA min ? MC min ? d 为
4 ,? MA ? 5 2

P(0,1) 到直线 x+y-5=0 距离为

所以 S MAPBmin ? 5 ? 3 ? 15 。


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