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数学奥林匹克高中训练题(14)及答案

时间:2011-08-29


数学奥林匹克高中训练题(14) 第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题19)四面体 ABCD 的所有二面角皆为锐角,相对的棱都两两相等,该四面体的6个二面角的 平面角为 α i (i = 1, 2,L , 6) ,则 (A) 1 2.(训练题19)若方程组 ?

∑ cosα
i =1

6

i

= (B). (C)4 (D) 不是定值

(B)2

? x2 + y 2 = r 有唯一的实数解 ( x, y ) ,则 r 的值是(C). x+ y = a?r ?
(B)1 (C)

(A)0

1 2
IA bc
2

(D) ?

1 2
的值为(A).

3.(训练题19)若 ?ABC 三边的长为 a, b, c ,内心为 I ,则 (A)1 (B)2 (C)

+

IB ca

2

+

IC ab

2

1 2

(D) 不是定值

4.(训练题19) 若函数 f ( x ) = sin t x sin tx + cost x cos tx ? cos t 2 x ,对所有的实数 x 恒为常数,则正 整数 t 的值为(A). (A) 3 5.(训练题19)设 f ( x ) =
5

(B) 1

(C) 3或1

(D) 不存在

∑x
i =0

i

, f ( x12 ) = a (mod f ( x )) .则 a 等于(D). (C)3 (D) 6

(A)1 (B)2 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

且 1. (训练题19)已知函数 y = f ( x) 的反函数是 φ ( x ) , φ ( x ) = log sec2 θ ( 方程 f ( x ) = 1996 的解是 -1 .

1996 π ? sin 2 θ ), (θ ∈ (0, ) . 则 x 2

x2 y 2 2.(训练题19)椭圆 + = 1 的任意两点连线的垂直平分线如果与 x 轴相交于 P ( x0 , 0) 点,则 x0 的 16 4
取值范围是 (-3,3) .

3.(训练题19) arcsin

1 7 7 + arccos + arctan + arccot10 = 31 10 50

π
4



4.(训练题19)把1996分成96个正整数的和,这96个正整数的乘积的最大值是

2020 ? 2176



5.(训练题19)一副扑克牌共有52张(除去两张王) ,将牌发给4个人,每人13张,则某人获得13张牌四 种花色齐全的全部情况是
13 1 13 2 13 3 13 C52 ? C4C39 + C4 C26 ? C4 C13

种(用组合数表示) .

6 . ( 训 练 题 19) Δ ABC 三 边 为 a, b, c , 若 a ? b ≤ a ? c , a ? b ≤ b ? c , 则

b 的取值范围是 a

(

5 ?1 5 +1 , ). 2 2

第二试
一、(训练题15)(本题满分25分)设直线 l 满足条件:(1) l 过抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点;(2) l 的斜率

k > 2 .若直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点, AB 的中点 M 到直线 Lm : 3 x + 4 y + m = 0(m > ?3) 的距
离为

1 ,求 m 的取值范围. ?3 < m < 2 ) ( 5

二、(训练题15)(本题满分25分)设实数 xi > 0(i = 1, 2,L , n) 满足
N

∑x
i =1

n

i

= 1 ,对正数 m ,求证:

n ? m < ∑ 1 ? mxi2 ≤ n 2 ? m .
I =1

四、(训练题15)(本题满分35分)设整数 x, y , z , t 满足 x14 + y14 + z14 = t 14 .求证: 7 | xyzt .


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