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8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图练习题


§8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图
一、选择题 1.以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解析 画几何体的三视图要考虑视角,但对于球无论选择怎样的视角,其三视图 总是三个全等的圆. 答案 A 2. 设四面体

的六条棱的长分别为 1, 1, 1, 1, 2 和 a 且长为 a 的棱与长为 2 的 棱异面,则 a 的取值范围是( (A) (0, 2) ) ).

(B) (0, 3) (C) (1, 2) (D) (1, 3)

答案 A 3. 下列四个几何体中,几何体只有正视图和侧视图相同的是( )

A.①② C.①④

B.①③ D.②④

解析 由几何体分析知②④中正视图和侧视图相同. 答案 :D

4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面 四边形的面积等于( A. 2 2 a 4 ). B.2 2a2 C. 2 2 a 2 D. 2 2 2 a 3

解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则, 可以得出一个平面图形的面 积 S 与它的直观图的面积 S′之间的关系是 S′= 2 S,本题中直观图的面积为 4

a ,所以原平面四边形的面积等于

2

a2
2 4

=2 2a2.故选 B.

答案 B 5.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如下图所示,则该几何体的侧视图 为( ).

解析 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线, 它们在右 侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合,另一条为体对角线,它在右侧面 上的投影与右侧面的对角线重合,对照各图,只有选项 D 符合. 答案 D 1 6.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则 2 该几何体的俯视图可能是( ).

解析 当俯视图为 A 中正方形时,几何体为边长为 1 的正方体,体积为 1;当俯 1 π 视图为 B 中圆时,几何体为底面半径为 ,高为 1 的圆柱,体积为 ;当俯视图 2 4 为 C 中三角形时,几何体为三棱柱,且底面为直角边长为 1 的等腰直角三角形, 1 高为 1,体积为 . 2 答案 C 7. 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )

解析 由正视图可排除 A,C;由侧视图可判断该几何体的直观图是 B. 答案 B 二、填空题 8.利用斜二测画法得到的: ①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的个数是________. 解析 由斜二测画法的规则可知①正确; ②错误, 是一般的平行四边形; ③错误, 等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,④也 错误. 答案 1 9.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别 如图所示,则该几何体的俯视图为________.

解析 由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几 何体的直观图如图所示,所以该几何体的俯视图为③. 答案 ③ 10. 用单位正方体块搭一个几何体,使它的正视图和俯视图如图所示,则它的体 积的最大值为________,最小值为________.

解析 由俯视图及正视图可得,如图所示,由图示可得体积的最大值为 14,体积 的最小值为 9.

答案 14

9

11.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视 图,则这个多面体最长的一条棱的长为________.

解析 (构造法)由正视图和俯视图可知几何体是 正方体切割后的一部分(四棱锥 C1- ABCD),还原 在正方体中,如图所示.多面体最长的一条棱即 为正方体的体对角线,如图即 AC1.由正方体棱长

AB=2 知最长棱 AC1 的长为 2 3.
答案 2 3 【点评】 构造正方体,本题就很容易得出结论,此种方法在立体几何问题中较 为常见,把抽象问题转化为直观问题解决. 12.如果一个几何体的三视图如图所示,其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三 角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为________.

解析 根据三视图的信息可以知道相应的空间几何体是一个正六棱锥,结合数据 可知其底面正六边形的边长为 1,棱锥的高为 h= 3.由于三视图中“宽相等”, 那么侧视图中的三角形的底边边长与俯视图中正六边形的高相等, 可得其长度为 1 3 3,则该几何体的侧视图的面积为 S= × 3× 3= . 2 2 3 答案 2 三、解答题、 13.如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它 的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm). (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;

解析 (1)如图.

(2)所求多面体的体积

V=V 长方体-V 正三棱锥=4×4×6- ×? ×2×2?×2
284 = (cm3). 3 14.正四棱锥的高为 3,侧棱长为 7,求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为 多少?

1 3

?1 ?2

? ?

解析 如图所示,正四棱锥 S-ABCD 中, 高 OS= 3,侧棱 SA=SB=SC=SD= 7, 在 Rt△SOA 中,

OA= SA2-OS2=2,∴AC=4.
∴AB=BC=CD=DA=2 2. 作 OE⊥AB 于 E,则 E 为 AB 中点. 连接 SE,则 SE 即为斜高, 1 在 Rt△SOE 中,∵OE= BC= 2,SO= 3, 2 ∴SE= 5,即侧面上的斜高为 5.

15. 已知,如图一个空间几何体的三视图. (1)该空间几何体是如何构成的? (2)画出该几何体的直观图; (3)求该几何体的表面积和体积. 解析 (1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为 2,高为 1 的长方体, 上半部分是一个底面各边长为 2,高为 1 的正四棱锥. (2)按照斜二测画法可以得到其直观图,如图.

(3)由题意可知,该几何体是由长方体 ABCD-A′B′C′D′与正四棱锥 P-A′B′C′D′构成的简单几何体. 由图易得:AB=AD=2,AA′=1,PO′=1,取 A′B′中点 Q,连接 PQ, 从而 PQ= PO′2+O′Q2= 12+12= 2,所以该几何体表面积 1 S = (A′B′ + B′C′ + C′D′ + D′A′)PQ + (A′B′ + B′C′ + C′D′ + 2 D′A′)AA′+AB·AD=4 2+12. 1 16 体积 V=2×2×1+ ×2×2×1= . 3 3 16.一个正方体内接于高为 40 cm,底面半径为 30 cm 的圆锥中,求正方体的棱 长. 解析 如图所示, 过正方体的体对角线作圆锥的轴截面, 设正方体的棱长为 x cm,

2 x 2 2 40-x 则 OC= x,∴ = , 2 30 40 解得 x=120(3-2 2), ∴正方体的棱长为 120(3-2 2) cm.


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