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几何体的内切与外接球问题


中 学 数 学研 究 

2 0 1 0年 第 1 2期 

几 何 体 的 内切 与外 接 球 问题 
上海市松江二 中   ( 2 0 1 6 0 0 )   卫福 山  
几何体与球有关 的组合 问题 , 一种是 内切 , 一  种是外 接. 作为 这种 特 殊 的 位 置关 系 在 高 考 中也 是  考查 的难

点 , 但 同学 们 又 因 缺乏 较 强 的 空 间想 象 能  力 和感 性认 识而感 到 模 糊 , 这 给分 析 问题 和解 决 问  题 带来 困难. 解决 这类题 目时要认 真分 析 图形 , 明确  切 点和 接点 的位置 及球 心 的位置 , 利用 画截 面 图 、 等  体积法 、 构造几何体等方法 常常可使这类 问题迎刃  而解 . 下 面通 过几 个典 型 的例子具 体说 明.  


截 面图设 点 O是 内切 球 的球 

心, 正 四面 体 棱 长 为 0 .由 图  形 的对 称性 知 , 点 O也是 外接  球 的球 心. 设 内切 球半 径为 , ,   外 接球半 径 为 R . 正 四面体 的 

表 面 积. s 表= 4 × 等 。   =  
4 X a   . i E 四面体 的体积  一   ∞  


图 1  
A 



单球 与几何体 的 内切 、 外接 问题 

1   棱 锥 的 内切 、 外接 球 问题  我们 知 道 , 在 平 面 内不 共 线 的三 点 必定 存 在 内  切 与外接 圆 , 推 广 到空 间 中 , 我 们 有 这 样 的结 论 : 在  空 间中 不 共 面 的 四 点 必 定 存 在 内切 球 与 外 接 球 .   ( 这里 , 内切 即球 与 四点 中任 意 三 点 组 成 的平 面相  切, 外 接 即 四点 均在球 面 上 )由于 四点不 共 面 , 两两  连线 组成 四面体 , 即三棱 锥 , 此 时 只要从 内切球 与外  接球 球心 出发 , 将 三棱 锥 分割成 四个 小三 棱锥 , 再利 

÷ × 字 口 2 × A E  
口 
,  

= 



/ X 。
? .

2  



(  


0,

, /   Y 口3
.  

图2  
’ 

表 ?r =  



, . . .r =  

用体积法就可以求出内切球与外接球 的半径.   例1   棱 长 为 n的 正 四面体 的外接球 和 内切球  的半径 分别 是 多少 ?   分析 : 运 用 正 四面体 的二心 合一性 质 , 作 出截 面  图, 通 过点 、 线、 面关 系解之 .   解: 画 出如 图 1 所示 的正 四面体 及 如 图2 所示 的 

3  

。  

3×   。  

在 R t A B E O 中, B O  =B E  + E O   ,即 R  =  

(  

r 2 , 得R =  

脚 棱长 为 。的正 四面体 的 

外 接球 和 内切球 的半径 分 另 J I 为  ,   .  
1 , o  ̄ o  ̄ r / 6+   =2 k T r +7 r / 2 , ( k  

又‘ . ‘一仃 <   <仃, .   .   =一2 7 r / 3或  =7 r / 3 ,  



所 求 函数 的表 达 式为 Y =3 s i n ( 2 x一2  ̄ r / 3 )   或 Y= 3 s i n ( 2 x+z r / 3 ) .   反思 : 振幅为 3 , 最小正周期 为 仃, 且过点 Q ( c r / 3 ,   0 )的曲线有两条 : y=3 s i n ( 2 x一 2 7 r / 3 ) 或 Y =3 s i n ( 2 x   + ̄ r / 3 ) , 它 们 关 于  轴 对 称 , 但 其 中 Y=3 s i n ( 2 x一  
? . .

又 ‘ . ?一7 r<   <7 r ' . . .   = ̄ r / 3 , . . .所求 函数 的 
表 达式 为 Y =3 s i n ( 2 x+   3 ) .  

2 7 r / 3 ) 不过点 P ( r r / 1 2 , 3 ) . 故上述解法错误.   杜 绝 此类 错 误 的办 法 是 求 值 时 尽 量不 用 零 点  的坐标 代人 , 而是 用最 高点 或最 低点 的坐标 代人. 这  是 因 为在长度 为一 个周 期 的闭 区间 内零点 不唯一 而  最 高点 或最低 点 唯一.   正解 : 由题 意有 A =3 周 期 T=4 (  ̄ r / 3一q r / 1 2 )  
= 7 r?  
?





2 7 r / o  ̄=仃, . ? .   :2 , . . . 这 个 函数 的表 达式 为 

Y=3 s i n ( 2 x+  ) ,   图象 过 点 P( r r / 1 2, 3 ) , . ? . 3 s i n (  ̄ r / 6+∞) =  
? ‘ .

备注 : 若 使用 零点 代人 , 则应 先判 断此零 点是 相  对 于 Y=s i n x在 [ O, 2 7 r ] 上 的第几 个零 点 , 如 此题 中  的点 Q ( r r / 3 , 0 ) 应为第 二个零点, 故将此点坐标代  人 Y=3 s i n ( 2 x+   )得 3 s i n (  ̄ r / 3×2+   )=0 , 进  步应 得 7 r / 3×2+   =2 k c r+7 r ( k∈z) ( 而不是  z r / 3×2+   =k z r , k∈Z) ,   又‘ . 。一仃 <   <仃, . ‘ .   =仃 / 3 , . 。 .所求 函数 的  表 达式 为 Y =3 s i n ( 2 x+7 r / 3 ) .   在 每一 次解题 后 , 自觉地 对解 题思 路进行 反思 ,   长期坚持 , 不仅能巩 固知识 , 总结解题规律 , 避免解  题错 误 , 还可 以让学 生从 题海 中解 脱 出来 , 减轻 学 习  负担 , 提高学 习效 率 , 培 养批 判性 思维 品质.  


2 0 1 0年 第 1 2期 

中学 数 学 研 究 

2 9  

例 2 设 棱锥 M — A B C D的底 面是正 方形 , 且 MA =  

( 3 )正方 体 的外 接球 : 正 方 体 的八 个 顶 点 都 在  球 面上 , 如 图 6所 示. 以对 角 面 A  。 作截 面 图得 圆 0   为矩形 A A I C 1 c的外接 圆 , 易得 R :A 。 o=   ( 4 )正棱 柱 的外 接球 : 其 
球 心 定 在 上 下 底 面 中 心 连 线  的 中点 处 , 由球 心 、 底 面 中 心  及 底 面一 顶 点 构 成 的直 角 三 

MD。 MA   J - A B, 如果 A A MD的面 积 为 1 , 试 求能 够 放  人这 个棱锥 的最大 球 的 半径 .( 1 9 9 0年 高 中数 学 联 
赛第 1 试最 后 一题 )  
解: ’ . ‘ A B 上   D, A   上  

.  

MA, . ? . A B 上平 面 MA D, 由此 ,  
面  D 上 面 A C . 记 E是 A D  

的 中点 , 从 而 ME_ L   A D  . MEA  
上平面A C, ME上 E F . 设球 0  
图3  

角 形便 可得 球半 径.  
例3   在 球 面 上 有 四个  点 P、 A、 B、 C . 如果 P A、 P B、 P C   两 两互 相垂 直 , 且P A =P B:   P C =a , 那 么这个 球 的表 面积是— 图6   —一 

是 与平 面 MA D、 平面A C、 平面 
MBC 都 相切 的球 . 如图3 所示 , 得截 面 图A ME F及 内 
切 圆 0, 不妨 设 0 ∈平 面 ME F, 于是 0是 A ME F的内 

心. 设球 0的半径为 r , 则r =西 


, 设A D  

解: 由已知 可得 P A、 P B、 P C实 际 上 就是 球 内 接 

EF = a, ‘ . ’ S  
?
. .

=1 .  

正方 体 中交 于一点 的三 条 棱 , 正方 体 的对 角 线 长 就 
+  
s —   一 =   一1 .  
? . .

E M =   ’ MF =  

是 球 的直 径 , 连结 过点 C的一 条对角 线 C D, 则C D过 
一  

球 心 0, 对角线 c D=   口 , 从 而 球 的半 径 为  口 ,  
r: — — — —   = =
。 +   +
二 

√ 。 2 + (   )  2  + 2  

S 球 =4 7 r ?(  0 )   =3 7 r? 口   , 即表 面 积为 3 r r a   .  
二  

当且仅 当 a =   , 即  =   时, 等 号成立 .  
?

例4   已知三 棱柱 A B C—  B   C   的六个 顶点 在 

球0   上, 又知球 0 : 与此正三棱柱的5 个面都相切 ,  
. .

当A D =ME =   时, 满 足条 件 的球 最 大 半 
一1 .  

求球 0  与球 0  的体 积 之 比与表 面积之 比.   分析 : 欲求 两球 的体 积 之 比与表 面积 之 比 , 关键  是求 两个 球 的半径 之 比. 先 画 出过球 心 的截面 图 , 再 
来 探求 半 径之 间 的关系.  

径 为.  

评注: 从例 1 、 2可 以看 出正 确 画 出直 观 图有 助 

于 我们 了解空 间 中点 、 线 之 间 的位 置关 系 , 从 而 有助 
于计 算.   2   棱柱 的 内切 与外接 球 问题 :  

解: 画 出如 图 7 所示 的直观 图及 如 图 8 所 示 的截  面 图. 由题 意得 两球 心 0 。 、 0   是重 合 的 , 过 正三棱 柱 
的一条 侧 棱 A A-和 它 们 的 球  
Cl  

( 1 )正方体 的内切 球 : 球 与 正 方 体 的 每 个 面 都 
相切 , 切 点 为 每 个 面 的 中心 ,   显然球 心为 正方体 的 中心. 如 

心 作截 面 , 设 正 三棱 柱底 面边 

图 4所示 , 设 正方体 的棱长 为 
a , 球半 径为 R . 如图3 , 截 面 图 

长为 口 , 则 z=4 百 3 口 正 三 棱 


为正 方 形 E F G H 的 内切 圆 , 尺  


柱 的高为  : 2 R  :   q - a , 在 
R t A A l D1 0中有 



旦 
2‘  

( 2 )与 正 方 体 各 棱 相 切  的球 ( 棱切球 ) : 球 与 正 方 体  的各棱 相切 , 切点 为各 棱 的 中 
点, 如图 5 , 作截 面 图 , 圆 0为 


( 譬 。 )   +   2 z :  

( 譬 n ) 。 + ( 譬 口 )   =   。 2 .  
. .

正 方形 E F G H 的外接 圆 , 易 得 
R :   .  

Rl =  

图5  

=   :   ‘ 1   ,   i  = :     =   R   , 】 : 。   :   R ,   2   ,  
= =5

图 8  

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2 0 1 0年 第 1 2期 



5 √ 5:1 .  

二、 多球与几何体 的相切 问题 
解决 多 球相 切 有 关 问题 , 基本分三类 : ① 抓 住 

多球的堆垒放置规 律; ② 抓住各球心位置 , 转化为  多面体问题 ; ③ 适 当选择截面 , 转化为平面几何 问  
题.  

赫 ’ …P =  = ( 寻 ?  ?  
至: 主  : 三.   + 3 .  
1   2   4   3 …  

1   2 √ 6   ,  

例5 ( 0 5年 全 国高考 I I 理) 将半 径都 为 1 的4  

个钢球完全装入形状为正四面体 的容器里 , 这个正  四面体 的高 的最小 值为 (   ) .  
A. 下 . / 3 ' - +2   4  ̄ - B


故 P Q  + O Q = (   3 ? 学) + 3 + (   1 ? 学 
+1 ):2 下  ̄ g+ 4


2 +  

故选 c .  

c . 4 + 半  D .  
解法一 ( 利 用 
点线 关 系) : 由 题  意, 四个半 径为 1的 
尸 

解法 三 ( 利 用 
相似 关 系) :由 题 

意, 四个半 径为 1的  小球 的 球 心 0   , 0   ,   0 , , 0   , 恰好构成一 A   个棱 长 为 2的 正 四 
C 
C 

小球 的球 心 0   , 0   ,  
0   , 0   , 恰好构成一 A  

面体 , 并且 各面 与正  四 面 体 的容 器 尸 一  
A B C的 各 对 应 面 的 
距 离都 为 1 . 如图 1 0所 不 , 正 四 面体 0  一  2  3 D 4 与 

个棱 长 为 2的 正 四 

图 l 0  

面体 , 并且各面与正  四面体 的容器 P —   A B C的 各 对 应 面 的 

图9  

P— A B C有共同的外接球球心 0的相似正四面体,  
从 而 有  =   0 0   ,


距 离都 为 1如 图 9 所不 , 显 然 HO =1 . 设 Ⅳ, ? ’ 分 别为 

A B, 0 : 0 ,的 中 点 , 在棱 长 为 2的正 四面体 0  一  

3 , 5  ̄ . HQ =1 , 所 以 0。 P :3 .  

0 2 D 3 0   中 ,  :  , 日   :  , . . .   : 半, 且   由于 01   :  
s i n   日 =   .  

,  

所以P Q :D P+O Q :0 1 何 +HQ+0 1 P:  

作 0 1 M 上P 』 v , 贝 4   01 M :1 , 由于 / _0 1 P M :  
/ TOl  
,,

? 。 ?P01  

01 M 

0l M  三 s i n/ TO1 t I- 3  

+1+3 :  

+4 . 故选 C .  

解法 四 ( 利 用等体 积 法 ) : 如图 1 0 , 从0   点 出发 






P0 : P0l+ O1 日 十 HO : 3 +  

+1 : 4  

将三棱锥 P— A B C分成 四个小三棱锥 0  一 P A B , 0  


PBC, 01一 PAC, 01一ABC.  

+  

. 故 选 C.   解法二( 利 用相似 关 系 ) : 由题意 , 四个 半径 为 1  
1 枷

于是 有 :  一 A 盯 =v o l 一   +   1 一 朋c+ V o I — P A C+  
c.  

的小球 的球 心 0 , , 0 : , 0 , , 0   , 恰好 构成 一个 棱长 为 2  

设 正 四 面体 的高 为 h , 四个 球 的 球 心连 线 组 成  的 正 四面体 D。 一0 2 0 , 0   的高 D 。 日:  
1 , 从而 :  

的正 四面 体 , 并 且 各 面与 正 四面体 的容器 P —A B C   的各对 应 面 的距 离 都 为 1 . 如图 1 0所 示 , 正 四 面体  0  一0 : 0   0  与正 四面体 P —A B C有共 同 的外 接球 
:   :

, 于是 D。 D  

球心 D的相 似正 四面体 , 其相 似 比为 : . i }=  

=  

÷ ? 5   。 ?   = ÷ ? 5   蹦   ? - +  ? s   。 ?   +  

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÷  

( 半+ 1 )  
+4 , 故选 C .  

中球 的直 径 长 2 , 鼢   _1 .  

例8   在 棱 长为 1的正方体 内有两个 球 相外 切 
则  :   且 又 分别 与正 方体 内切 .  

评注: 本 题 是 一 道典 型 的多球 与 几 何 体相 切 的  问题 . 四种 解 法 也 具 有 代 表 性 , 但 正 确 理 解 空 间 中 
点、 线、 面、 体关 系 , 增 强 直观认 识是 解题 的基 础.   例6   将3 个 半径 为 1的球 和 1 个 半径 为  一1   的球 叠为 两层放 在桌 面 上 , 上层 只放 1 个 较 小 的球 ,   4个球 两 两相 切 , 那 么 上 层 小球 的最 高点 到 桌 面 的 
距离 是 (  
A.

( 1 )求两 球 的半 径 之 和 ; ( 2 )球 的 半 径 为 多少  时, 两球体 积 之和最 小.  

) .  

学  

图 1 2  

B.  

解: 如图 l 2所 示 , 画出截面图 ( 对角 面) , 球 心 
0 。 , 0 2 在A C上 , 过0 l , 0 : 分别 作 A D, B C的垂 线交 于  E, F . 设 两个 球 0 。 , 0   的半 径分 别 为 r , R, 则由A B=  
图 1 1  

c.  

1 , A C=   得A O  =  
+R) :  

, C O :=  

’ . . . r+  +   ( r  

。.  

解: 如图 1 1 , 将球心 0 。 , 0 : , 0   , 0  连 结 起 来 构 
成侧 棱 长 为  , 底 面 边 长 为 2的 正 三 棱 锥  一   0   0   0 3 . 设底 面正三 角形 0   0 2 0 ,的 中 心 为 0, 则  0 1 0:   , 故 正三棱 椎 0  一 O l   0   0  的 高  :  

即 R+



= 

4 3  
+1  

= 

3一√ 3  
.  

‘  

( 2 )设两 球体 积之 和为  , 则 
4 仃( R  +r   ):了 4仃( r +R ) ( R   : 了


R r + r   )  



√ (  一 ( 学  ,  

=   仃?  

一  

十(  

显然 平 面 0 。 0 : 0 , 到桌 面的距 离为 1 , 所 以上层  小 球 的最 高点 A到桌 面 的距 离 为 1+   +(   一1 )  
: =  

于是 当 R =  

时,  有 最 小值 , 故当 R :r  

时, 体积之和有最小值.  
评注 : 例6 、 7 、 8是 比较 复 杂 的多 球 与 几 何 体 相 

3  ̄





4 6


_ -

故选 A.  

切 的问题 , 其难 点之 处 还是空 间中 的点 、 线、 面、 体之  例7  4 个 半径 为 1 的中球 上层 1 个、 下层3 个 两 
两相切 叠放 在起.  

间的相 对位 置关 系 , 若能 够 画 出 直观 图 ( 如例 8 )常  使 问题 变得 简单 , 但 是在 直观 图很 难 画 出的情况 下 ,   空 间想象 能力 的作 用 就尤 为重 要 了.   由此 可 见 , 几 何 体 的 内切 与 外 接球 问题 并 不 可  怕, 只要 我们 能够 搞 清楚 球 与 几 何 体 的 相对 位 置关  系, 通 过 画直观 图 或截 面 图 , 并 恰 当使 用 一 些 方 法 ,  
常常可 以找到 问题 的突破 口.  

( 1 )有 1 个空 心大 球能 把 4个 中球装 在里 边 , 求  大 球 的半 径 至少多 少 ;   ( 2 )在 它们 围成 的空 隙 内有 1 个 小球 与 这 4个 

中球 都外 切 , 求 小球 的半径 .  
解: ( 1 ) 连结 4 个 中球 的球 心得 到棱 长为 2的正 

四面体 ( 直 观 图略 ) , 它 的外 接 球 的 半 径 长  , 因此 
大球 的半径 至少 为  +1 .   ( 2 )该 小球 的半 径是 最小 大球 的半 径减 去 一个 


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