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1.1 集合的概念与表示

时间:2016-09-17


第一章 集合和命题

1.1 集合的概念与表示

观察下列对象:
(1) 2,4,6,8,10,12; (2)杨高高一年级全体学生;

(3)满足x-3>2 的实数;
(4)我国古代四大发明; (5)抛物线y=x2上的点.

定义
一般地, 指定的某些对象的

全体称为集合. 集合中每个对象叫做这个
集合的元素.

集合与元素的记法 集合常用大写字母表示,如A, B,C.

元素则常用小写字母表示如 a,b,c.

一、集合的概念
1、把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。

2、集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
元素 属于集合

a

? A

元素 不属于 集合

a

?

A

集合元素的性质: (1)确定性:集合中的元素必须 是确定的. 如果a是集合A的元素,就说a 属于集合A,记作a ∈ A;
如果a不是集合A的元素,就 说a不属于集合A,记作a ?A.

(2)互异性:集合中的元素必须

是互不相同的. (3)无序性:集合中的元素是无
先后顺序的. 集合中的任何两个 元素都可以交换位置.

重要数集:
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集 (2) N*: 正整数集(不含0) (3) Z:整数集 (4) Q:有理数集

(5) R:实数集

一、集合的概念(确定性, a ? A,a ? A)

(自学书P6页前六小节) 二、常用数集
课堂练习1

0 ____ ? N

? ? 0 ____Z

? Q 2 ____

? Z ? 2 ____

1 * ____ ? N ? 2 ____ R ? 2

一、集合的概念(确定性, a ? A,a ? A) * ? 二、常用数集( N, N , Z, Z , Z , Q, R )

三、集合的分类
1、有限集:含有有限个元素的集合; 无限集:含有无限个元素的集合。

2、空集

0 ____ ? ?

?

四、集合的表示 1.列举法:将集合中的元素一一列出来,在列举 时不考虑元素的顺序,并且写在大括号内. 例如:方程 x2 ? 1 ? 0 的解集是{1, ?1} 也可以写为{?1,1} 例如:方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集是{1}
2

?x ? y ? 0 例如:方程组 ? 的解集是{(1, ?1)} ?x ? y ? 2
注意:集合中的元素满足: 无序性、互异性、确定性

四、集合的表示 1.列举法:将集合中的元素一一列出来,在列举 时不考虑元素的顺序,并且写在大括号内. 2.描述法:在大括号内先写出元素的一般形式, 再画一条竖线,在竖线后写上集合中元素所共同 具有的特性.

{x | x满足性质p}
例如:绝对值小于4的整数组成的集合可以表示 为 {x | | x |? 4, x ? Z}

思考:上面的集合还可以怎么表示?

课堂练习2.用适当的方法表示下列集合:

(1)大于0且不超过6的全体奇数组成的集合; (2)被3除余1的自然数全体组成的集合;
?x ? y ? 5 (3)方程组 ? 的解集; ? x ? y ? ?1

(4)直角坐标系内第一象限的点组成的集合. 解: (1) {1,3,5} (2) {x | x ? 3k ? 1, k ? N } (3) {(2,3)} (4) {( x, y) | x ? 0, y ? 0, x ? R, y ? R} 解毕

a ? A,a ? A) 一、集合的概念(确定性,无序性,互异性, * ? 二、常用数集( N, N , Z, Z , Z , Q, R ) 三、集合的分类(有限集/无限集/ ? ) 四、集合的表示({a, b, c, d} {x | x满足的性质p} )

⑶ 图示法(Venn图)
我们常常画一条封闭的曲线,用 它的内部表示一个集合. 图1-2表示集合{1,2,3,4,5} .

例如,图1-1表示任意一个集合A;

A 图1-1

1,2,3, 5, 4.

图1-2

集合的表示方法
(1)列举法:把集合的元素一一 列举出来写在大括号的方法. (2)描述法:用确定条件表示某 些对象是否属于这个集合的方法.

(3)图示法.

5.例题讲解
例1 下面的各组对象能否 构成集合?
(1)高个子的人;

(2)小于2004的数;
(3)和2004非常接近的数.

例2.阐述你的观点 (1) a 与 {a} 是一个意思吗?

单元素集

(2) 为什么{x | x ?1 ? 0, x ? R} 表示
2

方程 x ? 1 ? 0 的解集?
2

(3) { y | y ? x , x ? R} 竖线右边含有字母 x ,而左
2

边没有,这样表示的集合有意义吗? (4) {x | x ? N } 是什么意思?

例3.用列举法表示下列集合:

6 ? Z , x ? Z} (1) {x | 3? x (2) 二元一次方程 x ? y ? 6, x ? N , y ? N 的解集
解: (1) {?3,0,1, 2, 4,5,6,9}

?x ? a (2) 我们用 ( a, b) 代表该方程的一个解 ? ?y ? b 因此方程的解集可以表示为 {(0,6),(1,5),(2, 4),(3,3),(4, 2),(5,1),(6, 0)}
解毕

例4.用列举法表示下列集合:
(1) { y | y ? x ? 1,0 ? x ? 2, x ? Z}
2

(2) {( x, y) | y ? x ? 1, ?1 ? x ? 2, x ? Z}
2

(3) { y | y ? x ? 1,0 ? x ? 2, y ? Z}
2

解: (1) {1, 2,5}
(2) {(?1, 2),(0,1),(1, 2),(2,5)} (3) {1, 2,3, 4,5}

解毕

(选讲)例4.用描述法表示下列集合
(1)奇数集

{x | x ? 2k ? 1, k ? Z}
*

(2)正偶数集 {x | x ? 2k , k ? N }

m (3)有理数集 {x | x ? , m ? Z , n ? Z , n ? 0} n
(4)被5除余2的正整数集 {x | x ? 5k ? 2, k ? N}

课外阅读材料
?, ?4, ?2,0, 2, 4,6,?

数轴上等间距数的表示

一些数在数轴上的点是等间距的,例如偶数:
我们发现任意两个数的差总是 2 的整数倍,所以 可以用 a ? 2k , k ? Z 来表示其中任意一个数,其中 a 是上面那列数中的某一个数. 所以偶数就可以写为 0 ? 2k , k ? Z 当然你也可以写为 ?2 ? 2k , k ? Z 通过改变 k 的范围我们还可以得到诸如 ? 正偶数的表示方法: 0 ? 2k , k ? Z

课外阅读材料

数轴上等间距数的表示

现在来看下面这列数你如何表示: ?, ?13, ?8, ?3, 2, 7,12,? 我们把这些数统称为被5除余2的数,它们的特点 和前面例子中偶数的特点是类似的:任意相邻两 数的差是5的整数倍. 我们又发现 2 是其中的一个数,所以这些数可以 2 ? 5k , k ? Z 写为:

思考: (1) ?3 ? 5k , k ? Z 可以表示上面这列数吗?
(2) 被5除余2的正整数该如何表示呢?

有责任感的人 今天可能平凡, 明天绝不平凡


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