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数学奥林匹克高中训练题(19)及答案

时间:2011-08-29


数学奥林匹克高中训练题(19)
第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. (训练题 24) 对于每一对实数 x, y , 函数 f 满足方程 f ( x + y ) ? f ( x ) ? f ( y ) = 1 + xy , f (1) = 1 . 且 那 么, f ( n) = n( n ≠ 1) 的整数 n 的个数共有(B)个. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2.(训练题 24)有六个座位连成一排,三人就座,恰有两个空位相邻的排法种数为(A). (A)72 (B)96 (C) 48 (D) 以上都不对 3.(训练题 24)在一次体育比赛中,红白两队各有 5 名队员参加,比赛记分办法是:队员在比赛中获第 几名就为本队得几分,且每个队员的得分均不同,得分少的队获胜,则可能获胜的分数是(C). (A)29 (B)28 (C) 27 (D) 13 4.(训练题 24)现有下面四个命题: ①底面是正多边形,其余各面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥. ②底面是正三角形,相临两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ③有两个面互相平行,其余四个面都是全等的等腰梯形的六面体是正四棱台. ④有两个面互相平行,其余各个面是平行四边形的多面体是棱柱. 其中,正确的命题的个数是(D). (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)0 5.(训练题 24)设 f : N → N ,且对所有正整数 n ,有 f ( n + 1) > f ( n), f ( f ( n)) = 3n . f (1997) 的值 为(C). (A)1997

(B)1268

(C)3804

(D)5991

? (1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 4 ) = 1 + y 7 的解 ( x, y ) 共有(B)组. 6.(训练题 24) ? 2 4 7 ?(1 + y )(1 + y )(1 + y ) = 1 + x
(A)4 (B)2 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) (C)1 (D)0

1.(训练题 24)数列 {an } 的前 14 项是 4,6,9,10,14,15,21,22,25,26,33,34,35,38,….按 此规律,则 a16 = 46 .

2.(训练题 24)函数 f ( x) = ( x ?

1 1 1 )( x ? 1 + ) ? 的值域是 x x ?1 x

(0,1)
13 ? 2 30 7



3.(训练题 24)方程 x ?
2

1 2 30 x + 1 + x2 ? x + 1 = 1 + 的解是 2 3 6



4. (训练题 24)若方程 x 2 + (1 ? 2i ) x + 3m ? i = 0( m ∈ R ) 有一实根、 一虚根, 则此虚根是 5 . ( 训 练 题 24) 平 面 上 有 四 点 A, B, C , D , 其 中 A, B 为 定 点 , 且 AB =

1 ? + 2i 2



3, C , D 为 动 点 , 且

AD = DC = BC = 1 , 记 S ?ABD = T 为?BCD 的 面 积 . 则 S 2 + T 2 的 取 值 范 围 是
2 3 ?3 7 ≤ S2 +T 2 ≤ 4 8
6.(训练题 24)使不等式 .

1 1 1 1 + +L + < a ? 1995 对一切自然数 n 都成立的最小自然数 n +1 n + 2 2n + 1 3

a是

1997



第二试
一、 (训练题 24)(本题满分 25 分)已知 F1 , F2 是椭圆 弦 AB 过焦点 F2 .求 ?F1 AB 的面积的最大值. 二、(训练题 24)(本题满分 25 分)若 xi > 0,

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点,c 为半焦距, a2 b2

∑x
i =1

n

i

= 1, xi +1 = x1 , n > 6 ,求证: ∏

1 > n!. i =1 x + x i i +1
n

三、(训练题 24)(本题满分 35 分)已知 ?ABC 是等腰三角形, AB = AC , CD 是腰 AB 上的高线, CD 的中点为 M , AE ⊥ BM 于E , AF ⊥ CE于F .求证: AF ≤

1 AB . 3

四、(训练题 24)(本题满分 35 分)46 个国家派代表队参加一次国际竞赛,比赛共 4 个题,结果统计如 下:做对第一题的选手 235 人,做对第一、二的选手 59 人,做对第一、三的选手 29 人,做对第一、 四的选手 15 人,全做对的 3 人.存在这样的选手,他做对了前三题,但没有做对第四题.求证:存在 一个国家,这个国家派的选手中至少有 4 个人,他们只做对了第一题.


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