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【志鸿优化设计】(浙江版)2016高考数学二轮复习 5.3空间中的角及动态问题专题能力训练

时间:2016-01-12


专题能力训练 13

空间中的角及动态问题

(时间:60 分钟 满分:100 分) 一、选择题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) 1.已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( A. C. B. D. ) )

2.(2015 浙江杭州第二次高考科目教学质量检测,文 6)已知 ABC-A1B1C1 是所有棱长均相等的直三棱 柱,M 是 B1C1 的中点,那么下列命题中正确的是( A.在棱 AB 上存在点 N,使 MN 与平面 ABC 所成的角为 45° B.在棱 AA1 上存在点 N,使 MN 与平面 BCC1B1 所成的角为 45° C.在棱 AC 上存在点 N,使 MN 与 AB1 平行 D.在棱 BC 上存在点 N,使 MN 与 AB1 垂直 3.(2015 浙江杭州二中仿真考,文 8)过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点与直线 BD1 所成角为 40°, 且与平面 ACC1A1 所成角为 50°的直线条数为( )

A.1 C.3 为( A.C. )

B.2 D.无数

4.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有顶点都在半径为的球面上,AB=AC=,AA1=2,则二面角 B-AA1-C 的余弦值 B.D. )

5.在平面四边形 ABCD 中,AD=AB=,CD=CB=,且 AD⊥AB,现将△ABD 沿着对角线 BD 翻折成△A'BD,则在 △A'BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中,直线 A'C 与平面 BCD 所成的最大角的正切值为(

A.1 形成的图形是(

B. )

C.

D.

6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 B1C1 的中点,动点 P 在底面 ABCD 内,且 PA1=A1E,则点 P 运动

A.线段

B.圆弧

1

C.椭圆的一部分

D.抛物线的一部分 )

7.在空间中,过点 A 作平面 π 的垂线,垂足为 B,记 B=fπ (A).设 α ,β 是两个不同的平面,对空间任 意一点 P,Q1=fβ [fα (P)],Q2=fα [fβ (P)],恒有 PQ1=PQ2,则( A.平面 α 与平面 β 垂直 B.平面 α 与平面 β 所成的(锐)二面角为 45° C.平面 α 与平面 β 平行 D.平面 α 与平面 β 所成的(锐)二面角为 60° 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 8.(2015 浙江第一次五校联考)已知三棱锥 A-BCD 中,AB=AC=BD=CD=2,BC=2AD=2,则直线 AD 与底面

BCD 所成角为
9.

.

(2015 浙江金华十校模拟(4 月),文 13)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为 AB 的中点,AA1=4,AB=6, 则异面直线 B1D 与 AC1 所成角的余弦值为 棱锥 D-ABC 中,给出下列三个命题:

.

10.如图,将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得平面 ADC⊥平面 ABC,在折起后形成的三

①△DBC 是等边三角形;②AC⊥BD;③三棱锥 D-ABC 的体积是;④AB 与 CD 所成的角是 60°.其中正确
命题的序号是

.

11.点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,则下列四个命题:

①三棱锥 A-D1PC 的体积不变; ②A1P∥平面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④平面 PDB1⊥平面 ACD1.
其中正确的命题序号是

.

2

三、解答题(本大题共 3 小题,共 45 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 12.(本小题满分 14 分)

(2015 湖南,文 18)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 BC,CC1 的中 点. (1)证明:平面 AEF⊥平面 B1BCC1; (2)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°,求三棱锥 F-AEC 的体积.

13.(本小题满分 15 分)

(2015 浙江大学附中,文 18)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为边长为 2 的菱形,PA⊥平面 ABCD, ∠ABC=60°,E 是 BC 的中点,PA=AB. (1)证明:AE⊥PD;

3

(2)若 F 为 PD 上的动点,求 EF 与平面 PAD 所成最大值的正切值.

14.(本小题满分 16 分)

(2015 浙江杭州第二中学高三仿真,文 18)已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为∠ABC=的菱形,PA⊥ 平面 ABCD,点 Q 在直线 PA 上. (1)证明:直线 QC⊥直线 BD; (2)若二面角 B-QC-D 的大小为,点 M 为 BC 的中点,求直线 QM 与 AB 所成角的余弦值.

4

参考答案 专题能力训练 13 空间中的角及动态问题 1.B 解析:

如图所示,取 AD 的中点 F,连接 EF,CF,则 EF∥BD,于是异面直线 CE 与 BD 所成的角即为 CE 与 EF 所 成的角∠CEF. 由题意知△ABC,△ADC 为正三角形,设 AB=2,则 CE=CF=,EF=BD=1. 在△CEF 中,由余弦定理,得 cos∠CEF=.故选 B. 2.B 解析:

如图所示,连接 A1M 和 AM,因为 AA1⊥平面 A1B1C1,A1M? 平面 A1B1C1,所以 AA1⊥A1M.设 AA1=2a,则

A1B1=A1C1=B1C1=2a,因为 M 是 B1C1 的中点,所以 A1M⊥B1C1.所以 A1M=a.在 Rt△AA1M 中,tan∠AMA1=>1,所
以∠AMA1>45°.所以在棱 AA1 上存在点 N,使 MN 与平面 BCC1B1 所成的角为 45°.故选 B. 3.B 解析:

取 DD1 的中点 P,A1C1 的中点为 O1,AC 的中点为 O2,O1O2 的中点为 O,连接 OP 和 PO2,则 OP⊥平面

ACC1A1,PO2∥BD1.在平面 ACC1A1 内,以点 O 为圆心,半径为画圆,则点 P 与此圆上的点的连线满足:过 DD1 的中点 P,且与平面 ACC1A1 所成的角为 50°,所以满足与 PO2 所成角为 40°的直线 PQ 有且只有 2
条.故选 B.

5

4.D 解析:

设 B1C1=m,由已知有∠BAC 即为二面角 B-AA1-C 的平面角,设∠BAC=α ,如图: 有=2r=2,即 m=2sin α ,由余弦定理有 m =3+3-2×cos α ,4sin α =6-6cos α , 从而可得(cos α -1)(2cos α -1)=0.
2 2

∵0<α <π ,∴cos α =. ∴二面角 B-AA1-C 的余弦值为.
5.C 解析:如下图,OA=1,OC=2.当 A'C 与圆相切时,直线 A'C 与平面 BCD 所成角最大,最大角为 30°, 其正切值为.

6.B 解析:由 PA1=A1E 知点 P 应落在以 A1 为球心,A1E 长为半径的球面上.又知动点 P 在底面 ABCD 内, 所以点 P 的轨迹是面 ABCD 与球面形成的交线,故为圆弧,所以选 B. 7.A 解析:

设 P1=fα (P),P2=fβ (P). 由条件中的新定义知:PP1⊥α ,P1Q1⊥β ,PP2⊥β ,P2Q2⊥α ,故 PP1∥P2Q2,PP2∥P1Q1,PP1⊥P1Q2,PP2 ⊥P2Q1,可知点 P,P1,P2,Q1,Q2 五点共面,记为平面 γ ,可得 α ⊥γ ,β ⊥γ .当 α ⊥β 时,PP2⊥PP1,此 时四边形 PP1Q2P2 为矩形,PP2⊥P2Q2,故 Q1 与 Q2 重合,满足题意,A 正确; B 中取正方体的一个底面及与其成 45°的一个体对角面,则当 PQ1=1 时,PQ2=,不成立;C 中取正 方体的一组相对的面,明显有 PQ1=1,PQ2=0,不成立;D 中与 B 类似,当 PQ1=时,PQ2=,不成立,故选 A.

6

8. 解析:取 BC 中点 E,连接 AE,DE,则 BC⊥AE,BC⊥DE,∴BC⊥平面 ADE.∴∠ADE 即为直线 AD 与平 面 BCD 所成的角,易得 AD=DE=AD=.∴∠ADE=,即直线 AD 与平面 BCD 所成角为. 9. 解析:

取 A1B1 的中点 E,连接 AE,C1E,因为四边形 AA1B1B 是矩形,D 是 AB 的中点,所以 ABA1B1.所以 ADEB1. 所以四边形 AEB1D 是平行四边形.所以 AE∥DB1.所以∠EAC1 就是异面直线 B1D 与 AC1 所成角. 在三角形 AEC1 中,AE==5,AC1==2,EC1=3, 所以 cos∠EAC1=. 10.①②④ 解析:设 AC∩BD=O,①根据图可知 BD=DO==1,再由 BC=DC=1,可知△DBC 是等边三角形;

②由 AC⊥DO,AC⊥BO,可得 AC⊥平面 DOB,从而有 AC⊥BD;③三棱锥 D-ABC 的体积=S△
ABC

·OD=×1×1×;④过点 O 作 OE∥AB,OF∥CD,则∠EOF(或补角)为所求角,在△OEF 中可解得∠

EOF=120°,故 AB 与 CD 所成的角为 60°.因此应填“①②④”.
11.①②④ 解析:由题意可得直线 BC1 平行于直线 AD1,并且直线 AD1? 平面 AD1C,直线 BC1?平面 AD1C, 所以直线 BC1∥平面 AD1C. 所以.点 P 到平面 AD1C 的距离不变,所以体积不变.即①是正确的; 连接 A1C1,A1B,可得平面 AD1C∥平面 A1C1B. 又因为 A1P? 平面 A1C1B,所以 A1P∥平面 ACD1. 所以②正确; 当点 P 运动到 B 点时△DBC1 是等边三角形, 所以 DP 不垂直 BC1.故③不正确; 因为直线 AC⊥平面 DB1,DB1? 平面 DB1, 所以 AC⊥DB1.同理可得 AD1⊥DB1. 所以可得 DB1⊥平面 AD1C.

7

又因为 DB1? 平面 PDB1, 所以可得平面 PDB1⊥平面 ACD1. 故④正确.综上,可知正确的序号为①②④. 12.(1)证明:

如图,因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AE⊥BB1. 又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 因此,AE⊥平面 B1BCC1. 而 AE? 平面 AEF,所以,平面 AEF⊥平面 B1BCC1. (2)解:设 AB 的中点为 D,连接 A1D,CD. 因为△ABC 是正三角形,所以 CD⊥AB. 又三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 CD⊥AA1. 因此 CD⊥平面 A1ABB1,于是∠CA1D 为直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角. 由题设,∠CA1D=45°,所以 A1D=CD=AB=. 在 Rt△AA1D 中,AA1=, 所以 FC=AA1=. 故三棱锥 F-AEC 的体积 V=S△AEC·FC=. 13.(1)

证明:∵四边形 ABCD 为菱形,且∠ABC=60°,

8

∴△ABC 为正三角形.又 E 为 BC 中点, ∴AE⊥BC.
又 AD∥BC,

∴AE⊥AD. ∵PA⊥平面 ABCD,又 AE? 平面 ABCD, ∴PA⊥AE. ∴AE⊥平面 PAD.又 PD? 平面 PAD, ∴AE⊥PD.
(2)解:连接 AF,由(1)知 AE⊥平面 PAD,

∴∠AFE 为 EF 与平面 PAD 所成的角.
在 Rt△AEF 中,AE=,∠AFE 最大当且仅当 AF 最短, 即 AF⊥PD 时∠AFE 最大, 依题意,此时在 Rt△PAD 中,PA·AD=PD·AF,

∴AF=,tan∠AFE=. ∴EF 与平面 PAD 所成最大角的正切值为.
14.(1)证明:显然 BD⊥AC,PA⊥平面 ABCD,则 PA⊥BD, 所以 BD⊥平面 PAC. 因为 QC? 平面 PAC,所以直线 QC⊥直线 BD. (2)解:由已知和对称性可知,二面角 B-QC-A 的大小为,设底面 ABCD 的棱长为单位长度 2,AQ=x,AC,BD 交于点 E,则有点 B 到平面 AQC 的距离 BE 为 1,过点 E 作 QC 的垂线,垂足设为 F,则有 tan∠BFE=tan,BE=1,则 EF=,点 A 到 QC 的距离为,则有=2x,得 x=. 过点 M 作 AB 的平行线交 AD 的中点为 G,则 GM=2,QG=,

AM=,则 QM=,
cos∠QMG=. 故所求的 QM 与 AB 所成角的余弦值为.

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