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第2讲 圆周角定理与圆的切线)

时间:2012-10-09


第2讲
【2013 年高考会这样考】

圆周角定理与圆的切线

考查圆的切线定理和性质定理的应用. 【复习指导】 本讲复习时, 牢牢抓住圆的切线定理和性质定理,以及圆周角定理和弦切角等有 关知识,重点掌握解决问题的基本方法.

基础梳理 1.圆周角定理 (1)圆周角:顶点在圆周上且两边都与圆相交的角. (2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧度数的一半. (3)圆周角定理的推论 ①同弧(或等弧)上的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. ②半圆(或直径)所对的圆周角是 90° ;90° 的圆周角所对的弦是直径. 2.圆的切线 (1)直线与圆的位置关系 直线与圆交点的个 数 相交 相切 相离 (2)切线的性质及判定 ①切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. ②切线的判定定理 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线. (3)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线长相等. 3.弦切角 两个 一个 无 直线到圆心的距离 d 与圆的半径 r 的关 系 d<r d=r d>r

(1)弦切角:顶点在圆上,一边与圆相切,另一边与圆相交的角. (2)弦切角定理及推论 ①定理:弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半. ②推论:同弧(或等弧)上的弦切角相等,同弧(或等弧)上的弦切 角与圆周角相等. 双基自测 1.如图所示,△ABC 中,∠C=90° ,AB=10,AC=6,以 AC 为直径的圆与斜 边交于点 P,则 BP 长为________. 解析 连接 CP.由推论 2 知∠CPA=90° ,即 CP⊥AB,由射影定理知,AC2= AP· AB.∴AP=3.6,∴BP=AB-AP=6.4. 答案 6.4 2.如图所示,AB、AC 是⊙O 的两条切线,切点分别为 B、C,D 是优弧 BC 上的点,已知∠BAC=80° 那么∠BDC=________. , 解析 连接 OB、OC,则 OB⊥AB,OC⊥AC,∴∠BOC=180° -∠BAC=100° , 1 ∴∠BDC= ∠BOC=50° . 2 答案 50° 3.(2011· 广州测试(一))如图所示,CD 是圆 O 的切线,切点为 C, 点 A、 在圆 O 上, B BC=1, ∠BCD=30° 则圆 O 的面积为________. ,

解析 连接 OC, OB, 依题意得, ∠COB=2∠CAB=2∠BCD=60° 又 OB=OC, , 因此△BOC 是等边三角形, OB=OC=BC=1,即圆 O 的半径为 1, 所以圆 O 的面积为 π×12=π. 答案 π 4.(2011· 深圳二次调研)如图,直角三角形 ABC 中,∠B=90° , AB=4,以 BC 为直径的圆交 AC 边于点 D,AD=2,则∠C 的大 小为________.

解析 连接 BD,则有∠ADB=90° Rt△ABD 中,AB=4,AD=2,所以∠A= .在 60° ;在 Rt△ABC 中,∠A=60° ,于是有∠C=30° . 答案 30° 5.(2011· 汕头调研)如图,MN 是圆 O 的直径,MN 的延长线与 圆 O 上过点 P 的切线 PA 相交于点 A,若∠M=30° ,AP=2 3, 则圆 O 的直径为________.

解析 连接 OP,因为∠M=30° ,所以∠AOP=60° ,因为 PA 切圆 O 于 P,所以 AP 2 3 OP⊥AP,在 Rt△ADO 中,OP= =tan 60° =2,故圆 O 的直径为 4. tan ∠AOP 答案 4

考向一

圆周角的计算与证明

【例 1】?(2011· 中山模拟)如图,AB 为⊙O 的直径,弦 AC、BD 交于点 P,若 AB

=3,CD=1,则 sin∠APB=________. [审题视点] 连结 AD,BC,结合正弦定理求解. 解析 连接 AD,BC.因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=∠ACB=90° .

又∠ACD=∠ABD,所以在△ACD 中,由正弦定理得:

CD AD = = sin∠DAC sin∠ACD

ABsin∠ABD AD 1 = =AB=3,又 CD=1,所以 sin∠DAC=sin∠DAP=3, sin∠ABD sin∠ABD

2 所以 cos∠DAP=3 2. 2 又 sin∠APB=sin (90° +∠DAP)=cos∠DAP=3 2. 2 答案 3 2 解决本题的关键是寻找∠APB 与∠DAP 的关系以及 AD 与 AB 的关系. 【训练 1】 如图,点 A,B,C 是圆 O 上的点,且 AB=4,∠ACB=30° ,则圆 O

的面积等于________. 解析 连接 AO, OB.因为∠ACB=30° 所以∠AOB=60° △AOB 为等边三角形, , , 故圆 O 的半径 r=OA=AB=4,圆 O 的面积 S=πr2=16π. 答案 16π 考向二 弦切角定理及推论的应用

【例 2】?如图,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC,过 B 引⊙O 的切线分别交 DA、CA 的延长线于 E、F.已知 BC=8,CD=5,AF=6,则 EF 的长为________.

[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC, 再由 AE∥BC 及 AB = CD 等条件转化为线 段之间的比例关系,从而求解. 解析 ∵BE 切⊙O 于 B,∴∠ABE=∠ACB. 又 AD∥BC,∴∠EAB=∠ABC, BE AB ∴△EAB∽△ABC,∴AC=BC. EF BE AB EF 又 AE∥BC,∴AF=AC,∴BC=AF. 又 AD∥BC,∴ AB = CD ,

CD EF 5 EF ∴AB=CD,∴ BC =AF,∴8= 6 , 30 15 ∴EF= 8 = 4 . 答案 15 4 (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系, 从而证明三角形全等或相似,可求线段或角的大小. (2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;关于圆周上的点,常作直线(或半 径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角. 【训练 2】 (2010· 新课标全国)如图,已知圆上的弧 AC = BD ,过 C 点的圆的 切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明:

(1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE×CD. 证明 (1)因为 AC = BD , 所以∠BCD=∠ABC. 又因为 EC 与圆相切于点 C,故∠ACE=∠ABC, 所以∠ACE=∠BCD. (2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, BC CD 所以△BDC∽△ECB,故 BE= BC , 即 BC2=BE×CD.

高考中几何证明选讲问题(二) 从近两年的新课标高考试题可以看出,圆的切线的有关知识是重点考查对象,并 且多以填空题的形式出现.

【示例】? (2011· 天津卷)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线上一点,且 DF=CF= 2,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若 CE 与圆相切,则 线段 CE 的长为________.


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