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高三一轮复习 等比数列 学案


云南衡水实验学校补习班学案

NO:31

编制:张福娥

审核:

王恺明

使用时间:2015. 10.

班级:
n

学号:

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教师评价:

学案 31<

br />[考纲要求]

等比数列的及其前 n 项和

a1(1-q ) 时,Sn= ;在判断等比数列单调性时,也必须对 a1 与 q 分类讨论. 1-q 1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( ) A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 2.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是________. 3.在数列{an}中,“an=2an-1,n=2,3,4,?”是“{an}是公比为 2 的等比数列”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若等比数列{an}满足 a1+a4=10,a2+a5=20,则{an}的前 n 项和 Sn=________.

1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从_______起,每一项与它的前一项的比等于______(不为零),那么这个数 列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的______,通常用字母 q 表示,定义的表达式为______= q. (2)等比中项: 如果 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.即:G 是 a 与 b 的等比中项?a,G, b 成等比数列?________________. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an=______________. ?na1,q=1, (2)前 n 项和公式:Sn=?a1(1-qn) a1-anq = ,q≠1. ? 1-q ? 1-q 3.等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列,Sn 是其前 n 项和.(m,n,p,q,r,k∈N*) (1)若 m+n=p+q=2r,则 am·an=ap·aq=a2 r; (2)数列 am,am+k,am+2k,am+3k,?仍是等比数列; (3)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍是等比数列(此时{an}的公比 q≠-1). an+1 2 - 提示:第 2 项;同一常数;公比; ;G =ab;a1qn 1. an 1.辨明三个易误点 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为 0,因此 q 也不能为 0,但 q 可为正数, 也可为负数. (2)由 an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. (3)在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q=1 这一 特殊情形而导致解题失误. 2.等比数列的三种判定方法 an+1 (1)定义: =q(q 是不为零的常数,n∈N*)?{an}是等比数列. an - (2)通项公式:an=cqn 1(c、q 均是不为零的常数,n∈N*)?{an}是等比数列. * (3)等比中项法:a2 n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N )?{an}是等比数列. 3.求解等比数列的基本量常用的思想方法 (1)方程的思想:等比数列的通项公式、前 n 项和的公式中联系着五个量:a1,q,n,an,Sn,已知 其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是 a1 与 q,在解题中根据已知条件建立 关于 a1 与 q 的方程或者方程组,是解题的关键. (2)分类讨论思想:在应用等比数列前 n 项和公式时,必须分类求和,当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1
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)

[高频考点]
考点一__等比数列的基本运算(高频考点)________ 等比数列的基本运算是高考的常考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中,属 中、低档题. 高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度: (1)求首项 a1、公比 q 或项数 n;(2)求通项或特定项;(3)求前 n 项和. (1)设等比数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,若 a1=1,a3=4,Sk=63,则 k= ________. (2)已知等比数列{an}为递增数列,且 a2 5 = a10 , 2(an + an + 2)= 5an + 1 ,则数列 {an} 的通项公式 an = ________. (3)已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,Sn 表示{an}的前 n 项和.设{bn}是首项为 2 的等比 数列,公比 q 满足 q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn.

?

考点二__等比数列的判定与证明________________ 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an+(-1)n(n∈N*). (1)求数列{an}的前三项 a1,a2,a3; 2 (2)求证:数列{an+ (-1)n}为等比数列,并求出{an}的通项公式. 3

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NO:31

编制:张福娥

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王恺明

使用时间:2015. 10.

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考点三__等比数列的性质______________________ 1 1 1 + +?+ 的结果可化为( ) a1a2 a2a3 anan+1 1 1 1 1 2 2 1- n? 1- n? A.1- n B.1- n C. ? D. ? 4 2 3? 4 ? 3? 2 ? (2)等比数列{an}满足 an>0,n∈N*,且 a3·a2n-3=22n(n≥2),则当 n≥1 时,log2a1+log2a2+?+ log2a2n-1=( ) A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 S4 S8 (3)若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 =5,则 =________. S2 S4 (1)等比数列{an}中,a1=1,q=2,则 Tn=

9.已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前 n 项和 Tn.

1.已知等比数列{an}的前三项依次为 a-1,a+1,a+4,则 an=( A.4× ( )

) D.4× ( )

3 2

n

B.4× ( )

2 3

n

C.4× ( )

3 2

n -1

2 3

n-1

10.已知数列{an}满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2). (1)求证:{an+1+2an}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

2.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3a9=2a2 ) 5,a2=2,则 a1=( 1 2 A. B. C. 2 D.2 2 2 3.已知数列{an}满足 1+log3an=log3an+1(n∈ N )且 a2+a4+a6=9,则 log 1 (a5+a7+a9)的值是
3
*

(

) 1 A. 5 1 B.- 5 C.5 D.-5 ) bn+1 11.已知数列{an},{bn}满足 a1=b1=3,an+1-an= =3,n∈N*,若数列{cn}满足 cn=ban,则 bn c2 015=( ) 2 014 A.9 B.272 014 2 015 C .9 D.272 015 12.等比数列{an}共有奇数项,所有奇数项和 S 奇=255,所有偶数项和 S 偶=-126,末项是 192, 则首项 a1=( ) A.1 B .2 C .3 D.4 1 13.设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,对任意 x,y∈R,都有 f(x)· f(y)=f(x+y),若 a1= ,an 2 * =f(n)(n∈N ),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是________.

4.等比数列{an}的公比 q>0,已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前 4 项和 S4=( 15 20 A.-20 B.15 C. D. 2 3 5.已知数列{an},则有( )

* n A.若 a2 ,则{an}为等比数列 n=4 ,n∈ * 2 B.若 an·an+2=an+1,n∈ ,则{an}为等比数列 * m+n C.若 am·an=2 ,m,n∈ ,则{an}为等比数列 * D.若 an·an+3=an+1·an+2,n∈ ,则{an}为等比数列

N

N

N

N

6.若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=________;前 n 项和 Sn=________. 7.若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1+ln a2+?+ln a20=________. 8.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+Sn=1(n∈N*),则通项公式 an=________.

课堂小结与学情分析:

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