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等差、等比数列性质的比较

时间:2012-04-24


等差数列与等比数列性质的比较
等差数列性质 等比数列性质

a n+1 -a n =d(n ≥ 1) ; a n -a n-1 =d(n ≥ 2)
定义

a n+1 =q(n ≥ 1) an
① an +1 ? an = a2 ? a1 ② an +1 ? an = d ③ an +1 ? an = an ? an ?1 ( n ≥ 2, n ∈ N )
*



an =q(n ≥ 2) a n-1
*

(n∈ N )
*

递 推 关 系

(n∈ N )
*



an +1 a2 = an a1

( n∈ N )②
*

( q ≠ 0, n ∈ N
*

an +1 =q an an +1 a = n ) ③ an an ?1
(n∈ N )
*

( n ≥ 2, n ∈ N ) (n∈ N )
*

① an = a1 + ( n ? 1) d 通 项 公 式 ② an = pn + q

① a n = a1 ? q ②

n ?1

* ( p, q为常数, n ∈ N )

an = p ? q n
*

的定义可知, S ③由 S n 的定义可知, n=1 时, 1 = a1 ; n≥2 当 当 时, a n = S n - S n ?1 , 即 an = ?

( p, q是常数, q ≠ 0, p ≠ 0, n ∈ N )

?S1 (n = 1) . ?S n ? S n ?1 (n ≥ 2)
(n∈ N )
*

① 2 S n = n( a1 + an ) 求 和 公 式 ② S n = na1 +
*

n(n ? 1) d 2

=

d 2 d n + ( a1 ? ) n 2 2

?na1 , q = 1 ? ① S n = ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , q ≠ 1 ?

( n ∈ N )当 d≠0,是一个常数项为零的二次式 当 ,
* ③ S n = An + Bn ( A, B是常数, n ∈ N ) 2

中项

a+b a、A、b 成等差数列 ? A= 、 、 ; 2 a n 是其前 k 项 a n-k 与后 k 项 a n+k 的等差中 a +a 项,即: a n = n-k n+k 2

A b = a A 2 (不等价于 A =ab ,只能 ? ); a n 是其前 k 项 a n-k 与后 k 项 a n+k 的
a、A、b 成等比数列 ? 、 、 等比中项, 等比中项,即: a n =a n-k ? a n+k
2

下标和公 式

a +a =a +a 特别地, m+n=2p,则 特别地,若 m+n=2p,则 a + a = 2 a
m+n=p+q,则 若 m+n=p+q,则
m n p q m n

m+n=p+q,则 若 m+n=p+q,则
p

a ?a = a ?a 特别地, m+n=2p,则 特别地,若 m+n=2p,则 a ? a = a
m n p q m n

2

p

首尾项性 质

等差数列的第 k 项与倒数第 k 项的和等于 首尾两项的和, 首尾两项的和 即:

等比数列的第 k 项与倒数第 k 项的积 等于首尾两项的积, 等于首尾两项的积 即:

a +a =a +a
1 n 2

n ?1

= K = a k + a n ?( k ?1)

a ?a = a ?a
1 n 2

n ?1

= K = a k ? a n ?( k ?1)

为等差数列, 成等差数列, a }为等差数列,若 m,n,p 成等差数列, 则 a , a , a 成等差数列
n m n p

{

{

a

n

}为等比数列,若 m,n,p 成等差 为等比数列,

数列, 数列,则

a ,a ,a
m n

p

成等比数列

(两个等差数列的和仍是等差数列) 两个等差数列的和仍是等差数列) 等差数列{ 等差数列 n },{ n }的公差分别为 d , e , 的公差分别为 结论

a

b

(两个等比数列的积仍是等比数列) 两个等比数列的积仍是等比数列) 等比数列{ 等比数列 n },{ n }的公比分别为 的公比分别为

则数列{ 则数列

d +e

a +b
n

n

}仍为等差数列,公差为 仍为等差数列, 仍为等差数列

b p, q ,则数列 a ? b 则数列{ 则数列
n

a

n

}仍为等比数 仍为等比数

列,公差为 pq 取出等比数列的所有奇( 数项, 取出等比数列的所有奇(偶)数项, 组成的新数列仍为等比数列, 且公比 组成的新数列仍为等比数列, 为

取出等差数列的所有奇( 数项, 取出等差数列的所有奇(偶)数项,组成 的新数列仍为等差数列, 的新数列仍为等差数列,且公差为 2d

q

2

等差数列与等比数列性质的比较 无此性质; 无此性质; 若 a m =n,a n =m(m ≠ n), 则 am + n = 0
若 Sm =n,Sn =m(m ≠ n), 则

S m + n = ? m + n) (


无此性质; 无此性质; 无此性质; 无此性质;

s

m

= s n (m ≠ n), 则 s m + m = 0
2m

s ,s
m

? sm , s3m ? s 2 m ,K 成等差数列, 成等差数列,
2

s ,s
m

2m

? sm , s3m ? s 2 m ,K 成等差

公差为 m d

数列, 数列,公比为
偶 奇

q

m

s ? s = nd s = a s a 当项数为奇数 2n ? 1 时, s ? s = a
当项数为偶数 2n 时,
奇 n 偶 n +1 奇 偶

当项数为偶数 2n 时,

s



= qs





当项数为奇数 2n ? 1 时,

s

= (2n ? 1) a中 2 n ?1
奇 偶

s



= a1 + q s偶

s s

=

n n ?1
①定义法: 定义法:

①定义法: an ? an ?1 = d ( n ≥ 2 ) 定义法:

an =q an ?1
2 n

②等差中项概念; 2an = an ?1 + an + 1 ( n ≥ 2 ) 等差中项概念;

a ②等差中项概念; n an + 2 = an +1 ( an ≠ 0) 等差中项概念;
③函数法:an = cq ( c,q 均为不为 0 的 函数法: ④数列 {a n } 的前 n 项和形如 S n = Aq n ? A ( A,q 均为不等于 0 的常 的等比数列. 常数, ∈ N + ), n 则数列 {an } 是等比数列.

等差(等比) 等差(等比) 数列的判断 方法

的等差数列; p ( ≠ 0 ) 的等差数列;

③函数法:an = pn + q(p ,q为常数) 关于 n 的一 函数法: p+q, 次函数 ? 数列{an }是首项为 p+q,公差为 ④数列 {a n } 的前 n 项和形如

S n = an 2 + bn

(a,b 为常数),那么数列 {a n } 是等差数列, 是等差数列, , 共性

数且 q≠1),则数列 {an } 是公比不为 1

非零常数列既是等差数列又是等比数列


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