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三角函数公式汇总

时间:2016-06-29


三角函数诱导公式
公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin ( 2kπ + α )= sinα cos ( 2kπ + α )= cosα tan ( 2kπ + α )= tanα cot( 2kπ + α )= cotα 公式二: 设 α 为任意角, π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( π + α )=-

sinα cos ( π + α )=- cosα tan ( π + α )= tanα cot( π + α )= cotα 公式三: 任意角 α 与 - α 的三角函数值之间的关系: sin (- α )=- sinα cos (- α )= cosα tan (- α )=- tanα cot(- α )=- cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π - α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( π - α )= sinα cos ( π - α )=- cosα tan ( π - α )=- tanα cot( π - α )=- cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2π - α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( 2π - α )=- sinα cos ( 2π - α )= cosα tan ( 2π - α )=- tanα cot( 2π - α )=- cotα 公式六: π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( π/2 + α )= cosα

cos ( π/2 + α )=- sinα tan ( π/2 + α )=- cotα cot( π/2 + α )=- tanα sin ( π/2 - α )= cosα cos ( π/2 - α )= sinα tan ( π/2 - α )= cotα cot( π/2 - α )= tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于 k·π/2±α(k ∈ Z) 的三角函数值 ①当 k 是偶数时,得到 α 的同名函数值,即函数名不改变; ②当 k 是奇数时,得到 α 相应的余函数值,即 sin → cos;cos → sin;tan → cot,cot → tan. 然后在前面加上把 α 看成锐角时原函数值的符号 例如: sin(2π - α ) = sin(4·π/2 - α) , k = 4 为偶数,所以取 sinα 当 α 是锐角时, 2π - α ∈ (270° , 360° ) , sin(2π - α) < 0 ,符号为 “ - ” 所以 sin(2π - α) =- sinα 上述的记忆口诀是:奇变偶不变,符号看象限 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀 “ 一全正;二正弦;三为 切;四余弦 ”

其他三角函数知识
同角三角函数的基本关系 倒数关系: tanα ·cotα = 1 sinα ·cscα = 1 cosα ·secα = 1 商的关系: sinα/cosα = tanα = secα/cscα cosα/sinα = cotα = cscα/secα 平方关系: sin^2(α) + cos^2(α) = 1 1 + tan^2(α) = sec^2(α) 1 + cot^2(α) = csc^2(α)

两角和差公式: sin ( α + β )= sinαcosβ + cosαsinβ sin ( α - β )= sinαcosβ - cosαsinβ cos ( α + β )= cosαcosβ - sinαsinβ cos ( α - β )= cosαcosβ + sinαsinβ tanα + tanβ tan ( α + β )= —————— 1 - tanα ·tanβ tanα - tanβ tan ( α - β )= —————— 1 + tanα ·tanβ 倍角公式: sin2α = 2sinαcosα cos2α = cos^2(α) - sin^2(α) = 2cos^2(α) - 1 = 1 - 2sin^2(α) 2tanα tan2α = ————— 1 - tan^2(α) 半角公式: 1 - cosα sin^2(α/2) = ————— 2 1 + cosα cos^2(α/2) = ————— 2 1 - cosα tan^2(α/2) = ————— 1 + cosα 万能公式: 2tan(α/2) sinα = —————— 1 + tan^2(α/2) 1 - tan^2(α/2) cosα = —————— 1 + tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα = ——————

1 - tan^2(α/2) 万能公式推导: sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......* 再把 * 分式上下同除 cos^2(α) ,可得 sin2α = 2tanα/(1 + tan^2(α)) 然后用 α/2 代替 α 即可 同理可推导余弦的万能公式,正切的万能公式可通过正弦比余弦得到 三倍角公式 sin3α = 3sinα - 4sin^3(α) cos3α = 4cos^3(α) - 3cosα 3tanα - tan^3(α) tan3α = —————— 1 - 3tan^2(α) 三倍角公式推导: tan3α = sin3α/cos3α = (sin2αcosα + cos2αsinα)/(cos2αcosα - sin2αsinα) = (2sinαcos^2(α) + cos^2(α)sinα - sin^3(α))/(cos^3(α) - cosαsin^2(α) - 2sin^2(α)cosα) 上下同除以 cos^3(α) ,得: tan3α = (3tanα - tan^3(α))/(1 - 3tan^2(α)) sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + cos2αsinα = 2sinαcos^2(α) + (1 - 2sin^2(α))sinα = 2sinα - 2sin^3(α) + sinα - 2sin^2(α) = 3sinα - 4sin^3(α) cos3α = cos(2α + α) = cos2αcosα - sin2αsinα = ( 2cos^2(α) - 1)cosα - 2cosαsin^2(α) = 2cos^3(α) - cosα + (2cosα - 2cos^3(α)) = 4cos^3(α) - 3cosα 即 sin3α = 3sinα - 4sin^3(α) cos3α = 4cos^3(α) - 3cosα 三倍角公式联想记忆 记忆方法:谐音、联想 正弦三倍角: 3 元 减 4 元 3 角(欠债了 ( 被减成负数 ) ,所以要 “ 挣钱 ”( 音似 “ 正弦 ”) ) 余弦三倍角: 4 元 3 角 减 3 元(减完之后还有 “ 余 ” ) ☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。 和差化积公式:

α+ β

α- β

sinα + sinβ = 2sin — ----· cos — --2 α+ β 2 α- β

sinα - sinβ = 2cos — ----· sin — ---2 α+ β 2 α- β

cosα + cosβ = 2cos — -----· cos — ----2 α+ β 2 α- β

cosα - cosβ =- 2sin — -----· sin — ----2 积化和差公式 sinα ·cosβ = 0.5[sin ( α + β )+ sin ( α - β ) ] cosα ·sinβ = 0.5[sin ( α + β )- sin ( α - β ) ] cosα ·cosβ = 0.5[cos ( α + β )+ cos ( α - β ) ] sin α ·sinβ =- 0.5[cos ( α + β )- cos ( α - β ) ] 和差化积公式推导 附推导: 首先 , 我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以 ,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理 , 若把两式相减 , 就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的 ,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以 , 把两式相加 ,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到 ,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理 , 两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 这样 , 我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 好 ,有了积化和差的四个公式以后 ,我们只需一个变形 , 就可以得到和差化积的四个公 式. 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: 2

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)


三角函数公式总结

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