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2016届百校联盟全国卷II高考《考试大纲》调研卷文科数学(第八模拟)(解析版)


百校联盟 2016 年全国卷 II 高考《考试大纲》调研卷文科数学(第八模拟)

一、选择题:共 12 题
1.设全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6,7},B={2,3,5,7},则(?UA)∩B=

A.{3,5} 【答案】A

B.{4,6}

C.{1,2,3,

5}

D.{1,2,4,6}

【解析】本题考查集合的交、补运算,解题时只需按照集合的运算法则计算即可. 由题意得?UA={1,3,5},所以(?UA)∩B={3,5}.

2.若复数

(b∈R,i 为虚数单位)的实部和虚部相等,则 b=

A. 【答案】C

B.3

C.6

D.7

【解析】 本题考查复数的除法运算及复数的实部与虚部的概念.首先对复数进行除法运算,再依据复数的实部 与虚部相等可求 b 的值. 因为 + i,且实部和虚部相等,所以 ,解得 b=6.故选 C.

3.某批产品的尺寸均在 5~20(单位:cm)之间,现将产品按照尺寸分成[5,10)、[10,15)、[15,20]三组,得到频率

分布直方图如图所示,已知尺寸在[5,10)内的产品有 200 件,据此估计这批产品的总量为

A.1 000 件 【答案】A

B.900 件

C.800 件

D.1 100 件

【解析】本题考查频率分布直方图的基础知识.高考中对于统计知识的考查,以基础知识为主,题目较简单,考 生在复习时要注意全面到位,不留遗漏.

1页

由频率分布直方图可知,三组不同尺寸的产品的频率分别为 0.2,0.5,0.3,又尺寸在[5,10)内的产品有 200 件,故 =1 000,因而产品的总量为 1 000 件.

4.已知命题 p:“x=0”是“x2=0”的充要条件,命题 q:“x=1”是“x2=1”的充要条件,则下列命题为真命题的是

A.p∧q 【答案】C

B.(?p)∨q

C.p∧(?q)

D.(?p)∧q

【解析】本题考查了充要关系的判断、复合命题真假的判断.先利用充要条件的定义判断命题 p、q 的真假, 再结合真值表进行判断. 易知命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,根据复合命题的真值表可知 p∧(?q)为真命题,故选 C.

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.

B.3

C.6

D.

【答案】D 【解析】本题主要考查三视图还原直观图的方法、几何体体积的计算,考查考生的空间想象能力及运算求解 能力.

该几何体为三棱柱截去一个三棱锥后的几何体,如图 ABCDEF 所示,故其体积为原三棱柱体积的 ,故该几何

体的体积 V=

× 2× 2× 4= .

2页

6.已知△ABC 是等边三角形,点 D 满足

+

=2

,且|

|=

,那么

· =

A.-

B.

C.-

D.

【答案】A 【解析】本题主要考查平面向量的运算,向量的模、数量积等,考查考生的运算求解能力. 设正△ABC 的边长为 2a,点 E 为 AC 的中点,则由题意知,D 为 BE 的中点,在 Rt△CDE 中,DE= a,又 CE=a,CD= ,

2 所以 a =

,

·

-

a2-a2=- a2=- .

7.已知圆 C:(x+1)2+(y-1)2=1 与 x 轴切于 A 点,与 y 轴切于 B 点,设劣弧

的中点为 M,则过点 M 的圆 C 的切

线方程是 A.y=x+2B.y=x+1C.y=x-2+ D.y=x+1-

【答案】A 【解析】因为圆 C 与两坐标轴相切,且 M 是劣弧 的中点,所以直线 CM 是第二、 四象限的角平分线,所以斜 ,所以|OM|= -1,所以 M( -1,1- ),所以切线

率为-1,所以过 M 的切线的斜率为 1.因为圆心到原点的距离为

方程为 y-1+ =x- +1,整理得 y=x+2-

.

8.如果实数 x,y 满足

,目标函数 z=kx+y(k>0)的最大值为 12,最小值为 3,那么实数 k 的值为

A.

B.2

C.

D.

【答案】B
3页

【解析】本题考查简单的线性规划知识.先画出变量 x,y 满足的平面区域,再探究目标函数 z 取得最大值和最 小值的最优解,即可求得 k 的值.

作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,易知直线 x=1 与直线 x-4y+3=0,3x+5y-25=0 的交点分别 是 A(1,1),B(1, ),直线 x-4y+3=0 与直线 3x+5y-25=0 的交点是 C(5,2).

解法一 z=kx+y 变形为 z-kx-y=0.结合图形分析知,当-k<- ,即 k> 时,目标函数 z=kx+y 在点 C 处取得最大值,

在点 A 处取得最小值,故

,解得 k=2;当- <-k<0,即 0<k< 时,目标函数 z=kx+y 在点 B 处取得最大

值,在点 A 处取得最小值,故

,此方程组无解,即不存在满足题意的 k;当-k=- ,即 k= 时,目标函数

z=kx+y 在线段 BC 上的任一点均取得最大值 5,不满足题意.综上可得,实数 k 的值为 2,故选 B. 解法二 当 k= 时,z=kx+y 在点 A(1,1)处取得最小值,又 +1≠3,故不满足题意;当 k=2 时,z=kx+y 在点 A(1,1)处取

1+1=3,2× 5+2=12,满足题意,故选 B. 得最小值,在点 C(5,2)处取得最大值,又 2×

9.如图,函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,|φ|≤ )的图象与坐标轴的三个交点 P、Q、R 满足 P(1,0),∠

PQR= ,M(2,-2)为线段 QR 的中点,则 A 的值为

4页

A.2

B.

C.

D.4

【答案】C 【解析】本题考查三角函数的图象与性质,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力. 依题意得,点 Q 的横坐标是 4,R 的纵坐标是-4,T= =2|PQ|=6,ω= ,因为 f( )=Asin( +φ)=A>0,即

sin( +φ)=1,又|φ|≤ , ≤ +φ≤ ,因此 +φ= ,φ=- ,又点 R(0,-4)在 f(x)的图象上,所以 Asin(- )=-4,A=

,选 C.

n 10. 已知等比数列{cn}的通项公式为 cn=(-1) ,等差数列{bn}的通项公式为 bn=2n-1,数列{an}由在数列{bn}的第

k 项和第 k+1 项之间依次插入 2k 个{cn}中的项构成,且 a1=b1,即数列{an}为 b1,c1,c2,b2,c3,c4,c5,c6,b3,c7,c8,c9,c10,c11,c12,b4,…,记数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2 016= A.1 008 【答案】B 【解析】 本题考查等差数列的求和.先计算出数列{an}中从 b1 到 bk+1 共有多少项,从而得到数列{an}的前 2 016 项的构成,进而用等差数列的求和公式求解.
2 2 由已知得,cn+cn+1=0,数列{an}中从 b1 到 bk+1 共有 k+1+2(1+2+3+…+k)=(k+1) 项.当 k=43 时,共有 44 =1 936 2 44× (1+88-1)=1 936. 项,当 k=44 时,共有 45 =2 025 项,所以 S2 016=(b1+b2+…+b44)+(c1+c2+…+c1 972) = ×

B.1 936

C.2 012

D.2 016

11.执行如图所示的程序框图,若 m=30,则输出的结果为

A.1

B.

C.

D.4

5页

【答案】C 【解析】 本题考查程序框图的有关知识及考生的计算能力.根据程序框图逐步进行计算,并检验判断框内的条 件是否满足,直至满足输出的条件即可得到结果. 初始值:P=2,S= ;

log24=1,P=2× 2=4,此时 P=4≤30,满足条件,所以进入循环体; 第一次循环:S= ×

log48=log48,P=2× 4=8,此时 P=8≤30,满足条件,所以进入循环体; 第二次循环:S=1× log816=log416=2,P=2× 8=16,此时 P=16≤30,满足条件,所以进入循环体; 第三次循环:S=log48× log1632,P=2× 16=32>30,不满足条件,退出循环,输出 S.所以输出的结果为 第四次循环:S=2× S=2× log1632=2× =2× .

12.已知函数 f(x)= (x∈R),若关于 x 的方程 f2(x)-tf(x)+t-1=0 恰好有 4 个不相等的实数根,则实数 t 的取值范

围为 A.( ,2)∪(2,e) B.( ,1) C.(1, +1) D.( ,e)

【答案】C 【解析】 本题考查导数的几何意义、 方程的根,考查数形结合思想及化归与转化能力.利用因式分解把问题转 化为|x|=(t-1)e 有 3 个根,利用图象分析方程有 3 个根的条件,进而求出 t 的取值范围. 已知方程分解因式得[f(x)-1][f(x)+1-t]=0,所以 f(x)=1 或 f(x)+1=t,易知 f(x)=1 只有 1 个根,所以只需 f(x)+1=t 恰
x x 好有 3 个根,即|x|=(t-1)e 恰好有 3 个根,结合图象可知 t-1>0,函数 y=(t-1)e 的斜率为 1 的切点坐标为(ln x

,1),

则此点需在 y=x(x>0)的下方,故 ln

>1,解得 1<t<1+ .

二、填空题:共 4 题
13.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-1,则 f(-2)=

.

【答案】-3 【解析】本题考查了函数的奇偶性、指数运算等,可以先求当 x<0 时的函数解析式,再求 f(-2),也可以利用奇 偶性直接转化为求 f(2),属于基础题.
6页

-x -x 2 解法一 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以当 x<0 时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(2 -1)=1-2 ,f(-2)=1-2 =-3. 2 解法二 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-2)=-f(2)=-(2 -1)=-3.

2 14. 已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,点 P 是抛物线 C 上一点,过 P 作 y 轴的垂线,垂足为 M,若|PF|=4,则△PFM

的面积为 【答案】3

.

【解析】本题主要考查抛物线的定义、性质,三角形面积的求解,考查考生的计算能力. 2 由题意,设 P( ,y0),则|PF|=|PM|+1= +1=4,所以 y0=± ,S△PFM= |PM||y0|= × 3× 2 =3 .

15.已知高与底面半径相等的圆锥的体积为 ,其侧面积与球 O 的表面积相等,则球 O 的体积为

.

【答案】

【解析】 本题主要考查考生对简单几何体及其特征的认识与几何体表面积及体积的计算等.先求得圆锥的底 面半径,再由题意求出球 O 的半径,最后求得球 O 的体积.
2 r= ,所以 r=2. 设圆锥的底面半径为 r,球 O 的半径为 R.因为高与底面半径相等的圆锥的体积为 ,所以 πr ·

2 又圆锥侧面积与球 O 的表面积相等,所以 π·r· r=4πR ,所以 R=

,所以球 O 的体积为 πR3=

.

16.已知 a,b,c 分别是△ABC 的内角 A,B,C 的对边,且 sinB= ,b=1,c=

,则

的值是

.

【答案】1 或-2 【解析】本题主要考查正弦定理的灵活运用,考查考生的运算能力.

7页

,又 c= 通解 由 sinB= 可得 B=30° 或 B=150°

>b=1,所以 B=30° ,根据正弦定理

,得

,解得

C=60° .当 C=60° ,则 或 120° 时,A=90°

=1;当 C=120° ,则 时,A=30°

=-2.

,又 c= 优解 由 sinB= 得 B=30° 或 B=150°

>b=1,所以 B=30° ,cos 30° =

,即 a2-3a+2=0,解得 a=2 或 1.

若 a=2,c=

,b=1,则

=1;若 a=1,c=

,b=1,则

=-2.

三、解答题:共 8 题
17.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=6,3Sn=an+1+2n+2-10.

(1)求证:数列{ -1}为等比数列;

(2)若 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<1.

3 【答案】(1)依题意知,3S1=a2+2 -10,又 S1=a1=6,所以 a2=20.

由于 3Sn=an+1+2

n+2

-10,
n+1

当 n≥2 时,3Sn-1=an+2

-10,
n+1

两式相减得 3an=an+1-an+2 整理得 an+1=4an-2
n+1

,

,即

=2× -1,

所以

-1=2( -1).

( -1), 又 -1= -1=4=2×

故数列{ -1}是首项为 -1=2,公比为 2 的等比数列.

(2)由(1)可得 -1=2n,所以 an=4n+2n,

8页

bn=

,

Tn =

+

+

+…+

+ +…+ .

因为 + +…+

=1-( )n<1.

故 Tn<1. 【解析】本题主要考查等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式等基础知识,考查考生灵活运用数学知识 分析问题和解决问题的能力.第(1)问要充分利用公式 an= 及等比数列的概念证明;第(2)问根

据式子的结构联想到利用放缩法完成,有一定难度. 【备注】高考数列解答题往往以等差、等比数列为背景,以递推式为载体设置.近几年,数列与其他知识交汇 的力度在加大,考查重点仍然是数列的通项公式、求和公式等,熟练掌握累乘法、累加法、错位相减法等至关 重要.

18. 某同学在研究性学习中,收集到某制药厂 2015 年前 5 个月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如下表所示:

(1)该同学为了求出 y 关于 x 的线性回归方程

x+ ,根据表中数据已经正确计算出 =0.6,试求出 的值,

并估计该厂六月份生产的甲胶囊的数量; (2)若某药店现有该制药厂二月份生产的甲胶囊 2 盒和三月份生产的甲胶囊 3 盒,小红同学从中随机购买了 2 盒,后经了解发现该制药厂二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记“小红同学所购买的 2 盒甲胶囊中存 在质量问题的盒数为 1”为事件 A,求事件 A 的概率. 【答案】(1) (1+2+3+4+5)=3, (4+4+5+6+6)=5,

因为回归直线

+ 过点( , ),所以

-

=5-0.6× 3=3.2.

6+3.2=6.8. 所以六月份生产的甲胶囊的数量为 =0.6×

(2)记该药店中二月份生产的 2 盒甲胶囊分别为 A1,A2,三月份生产的 3 盒甲胶囊分别为 B1,B2,B3,则总的基本 事件为(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3), 共 10 个.
9页

而事件 A 包含的基本事件为(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共 6 个. 故 P(A)= .

【解析】本题考查回归分析、古典概型的概率等.(1)由已知求得 , ,由回归直线

x+ 过点( , ),便可求

得 ,进而估计六月份的生产数量;(2)先分别计算出随机购买 2 盒甲胶囊的基本事件数,以及事件 A 所包含的

基本事件数,然后用古典概型的概率计算公式计算即可. 【备注】应用古典概型求解随机事件的概率,一般可按以下步骤进行:一是确定基本事件的总数,二是确定所 求事件所包含的基本事件数,三是应用古典概型的概率计算公式计算.

19.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC,点 D 在线段 AB 上,且平面 B1CD⊥平面 ABB1A1.

(1)确定点 D 的位置并证明; (2)证明:AC1∥平面 B1CD. 【答案】(1)当点 D 为线段 AB 的中点时,平面 B1CD⊥平面 ABB1A1. ∵点 D 为线段 AB 的中点,且 AC=BC,∴CD⊥AB. 又三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱,故 BB1⊥平面 ABC, 又 CD?平面 ABC,∴BB1⊥CD. 又 BB1,AB 是平面 ABB1A1 内的两条相交直线,故 CD⊥平面 ABB1A1,又 CD?平面 B1CD, ∴平面 B1CD⊥平面 ABB1A1.

(2)连接 BC1 交 B1C 于 E,连接 DE, ∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱,故侧面 BB1C1C 为矩形,则 E 为 BC1 的中点,从而 DE 为△ABC1 的中位线,∴ DE∥AC1. 又 DE?平面 B1CD,AC1?平面 B1CD,
10 页

故 AC1∥平面 B1CD. 【解析】本题考查了空间中面面垂直及线面平行的判定等.解题的关键是理清给定的线线、线面、面面间的 位置关系,利用相应的判定定理或性质定理进行证明. 【备注】(1)线面平行的证明是高考考查的热点,此类问题一般有两种思路:①利用线面平行的判定定理,通过 线线平行,证得线面平行;②利用面面平行的性质定理,通过面面平行,证得线面平行.(2)给定面面垂直时,注意 利用面面垂直的性质将其转化为线面垂直,从而得到线线垂直.

20.已知椭圆 C: +y2=1(a>0)经过点 P(1, ).

(1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)过椭圆右焦点 F 的直线(不经过点 P)与椭圆交于 A,B 两点,当∠APB 的平分线为 PF 时,求直线 AB 的斜率 k.
2 2 【答案】(1)把点 P(1, )代入 +y =1(a>0),可得 a =2.

2 故椭圆 C 的方程为 +y =1,

所以 c=1,椭圆的离心率为 e=

.

(2)由(1)知 F(1,0). 由 P(1, )和 F(1,0)知 PF⊥x 轴.

记 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,当∠APB 的平分线为 PF 时,PA,PB 的斜率满足 k1+k2=0.
2 由题意知直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y=k(x-1),代入椭圆方程 +y =1 并整理可

2 2 2 2 得,(1+2k )x -4k x+2(k -1)=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=

,x1x2=

,

又 P(1, ),则 k1=

+k,

k2=

+k,

11 页

所以 k1+k2=2k- ·

=2k-

,

即 2k-

=0,所以 k= .

2 【解析】本题考查椭圆的方程与性质、离心率公式、直线的斜率公式等.解题时,(1)代入法求 a ,利用公式求

离心率;(2)求出右焦点的坐标,找出斜率的关系,联立直线与椭圆的方程,利用根与系数的关系求出 k. 【备注】圆锥曲线问题是高考的必考题型,计算量较大,且有一定的技巧性,需要“精打细算”,是一道综合性较 强的试题,也是区分度较大的一个题目.解决此类问题要做好两个方面:一是转化,即把题中的已知和所求准 确转化为代数中的数与式,即形向数的转化;二是计算,即利用代数的方法研究所求解的问题,然后根据代数 式的结构特征采用相应的方法求解.

21.已知函数 f(x)=ax+ln(x-1),其中 a 为常数.

(1)若 h(x)=f(x+1),试讨论 h(x)的单调区间; (2)若 a= 时,存在 x 使得不等式 ≤ 成立,求实数 b 的取值范围.

【答案】(1)由已知得函数 h(x)=a(x+1)+lnx,其定义域为{x|x>0}, h'(x)=a+ .

当 a≥0 时,h'(x)>0 在定义域内恒成立,h(x)的单调递增区间为(0,+∞), 当 a<0 时,由 h'(x)=0 得 x=- >0,

当 x∈(0,- )时,h'(x)>0,当 x∈(- ,+∞)时,h'(x)<0,

h(x)的单调递增区间为(0,- ),单调递减区间为(- ,+∞).

(2)由(1)知当 a=

时,f(x)的单调递增区间为(1,e),单调递减区间为(e,+∞).

所以 f(x)max=f(e)=

+ln(e-1)<0,

所以

≥-f(e)=

-ln(e-1)恒成立,当 x=e 时取等号.

12 页

令 g(x)=

,则 g'(x)=

,

当 1<x<e 时,g'(x)>0,当 x>e 时,g'(x)<0, 从而 g(x)在(1,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 所以 g(x)max=g(e)= + .

所以存在 x 使得不等式

-



成立,

只需

-ln(e-1)-

≤ + ,

即 b≥- -2ln(e-1).

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等.(1)对 a 分情况讨论,即可求得 h(x)的单调区间;(2)构 造函数,利用函数的单调性求解. 【备注】 函数与导数解答题的特点往往是起点低、 落点高.一般情况下提供的条件非常容易入手,可以是相同 条件下的单独小问题,每问均考查不同的知识点;也可以是阶梯型问题,那就需要“拾级而上”了.极值点的判断 是函数与导数问题的常考内容,其中往往“掺杂”了很多知识,如不等式的基本性质、不等式恒成立、含参数的 不等式等,要注意参数对极值点的影响.

22.如图,AB、CD 是圆的两条平行弦,BE∥AC,BE 交 CD 于 E,交圆于 F,过点 A 的切线交 DC 的延长线于

P,PC=ED=1,PA=2.

(1)求 AC 的长; (2)求证:BE=EF. 【答案】本题考查相似三角形、相交弦定理等.(1)可依据题目所给条件得到△PAC∽△CBA,可得 AC 的长;(2) 利用相交弦定理可证.
2 PD,PA=2,PC=1,∴PD=4, 【解析】(1)∵PA =PC·

又 PC=ED=1,∴CE=2,又四边形 ABEC 为平行四边形,∴AB=CE=2. 连接 BC,∵∠PAC=∠CBA, ∠PCA=∠CAB,
13 页

∴△PAC∽△CBA,∴

,∴AC2=PC· AB=2,∴AC=

.

(2)∵BE=AC= ∴EF=

,CE=2,而 CE· ED=BE· EF, ,∴BE=EF.

23.已知直线 l 的参数方程是

(t 为参数),圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos(θ+ ).

(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 【答案】(1)∵ρ= cosθsinθ, ∴ρ2= x+ ρcosθy=0, ρsinθ,

2 2 ∴圆 C 的直角坐标方程为 x +y -

2 2 即(x- ) +(y+ ) =1,∴圆心 C 的直角坐标为( ,- ).

(2)直线 l 上的点向圆 C 所引切线长是 ≥2 ,

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2

.

【解析】 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、 圆的切线长等.(1)将圆的极坐标方程化为直角坐标方 程,即得圆心的直角坐标;(2)利用圆的切线的性质即可求解.

24.设函数 f(x)=|x+1|+|x-4|-a.

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的最小值;

14 页

(2)若 f(x)≥ +1 对任意的实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

【答案】(1)当 a=1 时,f(x)=|x+1|+|x-4|-1=

∴f(x)min=4.

(2)f(x)≥ +1 对任意的实数 x 恒成立?|x+1|+|x-4|-1≥a+ 对任意的实数 x 恒成立?a+ ≤4.

当 a<0 时,上式成立, 当 a>0 时,a+ ≥2 =4,

当且仅当 a= ,即 a=2 时上式取等号,即当 a=2 时,a+ ≤4 成立.

综上,实数 a 的取值范围为(-∞,0)∪{2}.

【解析】本题考查含绝对值的函数、零点分段法、基本不等式等.(1)把函数根据零点分段法转化成分段函数 即可找出最小值;(2)利用分离参数的方法求解 a 的取值范围.

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