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衡水中学2014年高考数学(理)压轴试题加名校冲刺试题

时间:2014-05-31


2014 高考数学压轴卷及答 案

(共三套)
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在试题卷和答题卡上。并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 在用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标 号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷、草稿纸 上无效。 3.填空题和解答题的作答:用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题和答题卡一并交上。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
[来源:Z,xx,k.Com]

一.选择题 (1)若复数 z ?

? A?

1 2

2i , 则 z 等于( ) 1? i ?B ? 2 ?C ? 1 ?D ? 2

2

(2) 若 A ? x ? Z 2 ? 2 2? x ? 8 , B ? x ? R log 2 x ? 1 ,则 A ? ?C R B ? 的元素个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2
?1

?

?

?

?

(D) 3

(3) 已知函数 y ? f ? x? 与 y ? f

? x ? 互 为 反 函 数 , 且 函 数 y ? f ? x ? 1? 与 函 数


y? f

?1

? x ? 1? 也互为反函数,若 f ?1? ? 0, 则 f ?1 ?2010? =(
0

? A?

?B ? 1

?C ?

? 2010

?D ?

? 2009


(4) 已知等比数列 ?a n ? 中,公比 q ? 0, 若 a 2 ? 4, 则 a 1 ? a 2 ? a 3 有( (A)最小值-4 (B)最大值-4 (C)最小值 12 (D)最大值 12

(5) 一圆形 餐桌依次有 A、B、C、D、E、F 共有 6 个座位.现让 3 个大人和 3 个小孩入座进 餐,要求任何两个小孩都不能坐在一起,则不同的入座方法总 数为 y P ( ) x A O B

(A)6

B)12

(C)72

(D)144

(6) 已知函数 y ? sin(?x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如右图所示,设 P 是 图象的最高点, A, B 是图象与 x 轴的交点,则 tan ?APB ? ( (A) 10 (B) 8 (C) )

8 7

(D)

4 7

(7) 在正方形 ABCD 中, AB ? 4, 沿对角线 AC 将正方形 ABCD 折成一个直二面角

B ? AC ? D ,则点 B 到直线 CD 的距离为(



? A?

2 2

?B ?

3 2
x

?C ?

2 3
?x

?D ?

2? 2 2

( 8 ) 设 a ? R, 函数 f ? x ? ? e ? a ? e

的导函数是 f ?? x ?, 且 f ?? x ? 是奇函数,若曲线

3 y ? f ? x ? 的一条切线的斜率是 , 则切点的横坐标为( 2
(A)



?

ln 2 2

(B) ? ln 2

(C) ln 2

(D)

ln 2 2

? 1? 1? x ? , x ? 0 ( m ? 0, m ? 1, n ? 2, n ? N ? ), 若 f ? x ? 在 x ? 0 (9) 已知 f ? x ? ? ? x 2 n ? ?log m 2 ? C n x , x ? 0
处连续,则 m 的值为( (A) ) (C)

1 8

(B)

1 4

1 2

(D) 2

(10)已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? 13 ,那么满足 ak ? ak ?1 ? 整数 k ( ) (B)有 2 个
2 2

? ak ?19 ? 102 的

(A)有 3 个

(C)有 1 个

(D)不存在

(11) 已知直线 l 交椭圆 4 x ? 5 y ? 80 于 M , N 两点,椭圆与 y 轴的正半轴交于 B 点,若

?BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线 l 的方程是(
(A) 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 (C) (B) 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 (D) 5 x ? 6 y ? 28 ? 0



5 x ? 6 y ? 28 ? 0

(12) 在半径为 R 的球内放入大小相等的 4 个小球,则小球半径 r 的最大值为( (A)



?

6?2 R

?

(B)

?

2 ?1 R

?

(C)

1 R 4

(D)

1 R 3

第Ⅱ卷
3.第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... .

1 ? ? (13)若 ? 1 ? 2 ? ?n ? N , n ? 1? 的展开式中 x ?4 的系数 为 a n , x ? ?
则 lim? ?

n

? 1 1 1 ? ?= ? ??? n? ? a an ? ? 2 a3 ?

.

(14) 当对数函数 y ? log a x ?a ? 0且a ? 1? 的图象 至少经过区域

? ? M ? ?? x , y ? ? ?

? x? y?0 ? ? ? ? x ? y ? 8 ? 0( x , y ? R ? 内 的 一 个 点 时 , 实 数 a 的 取 值 范 围 为 ? ? y?3?0 ? ?
.

(15)已知函数 f ? x ? ? cos x , x ? ?

?? ? ,3? ?, 若方程 f ? x ? ? m 有三个不同的实根,且从小到 ?2 ?
. 且 ?AFB ? 、B 在抛物线上,

大依次成等比数列,则 m 的值为 (16) 抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,A
2

?
2

, 弦 AB

的中点 M 在其准线上的射影为 N ,则

MN AB

的最大值为

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤.) (17 )(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) .........

?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 向量 m ? ?? 1,1?,

? 3? ? , 且 m ? n. n?? cos B cos C , sin B sin C ? ? ? 2 ? ? (Ⅰ) 求 A 的大小;
(Ⅱ)现给出下列四个条件:① a ? 1; ② b ? 2 sin B; ③ 2c ?

?

3 ? 1 b ? 0; ④ B ? 45? .

?

试从中再选择两个条件以确定 ?ABC ,求出你所确定的 ?ABC 的面积. (18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 在进行一项掷骰子放 球的游戏中规定:若掷出 1 点或 2 点,则在甲盒中放一球;否则,在 乙盒中放一球。现在前后一共掷了 4 次骰子,设 x 、 y 分别表示甲、乙盒子中球的个数。 (Ⅰ)求 1 ? y ? x ? 3 的概率; (Ⅱ)若 ? ? x ? y , 求随机变量 ? 的分布列和数学期望。 (19)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,底面 ABCD 是直 角梯形, AB // CD , ?ADC ? 90 , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 . (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC , 试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 为 45 . A (20)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 8, an ?1 ? S n ? 3n ?1 ? 5, n ? N ? . (Ⅰ)设 bn ? an ? 2 ? 3n , 证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)证明: D C B P

2 2 2 23 ? ? ? a1 a2 a3

?

2n ? 1. an

(21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知 ?AOB 的顶点 A 在射线 l1 : y ? 3 x ? x ? 0 ? 上, A 、 B 两点关于 x 轴对称,0 为坐标 原点, 且线段 AB 上有一点 M 满足 AM ? MB ? 3. 当点 A 在 l1 上移动时,记点 M 的轨迹为 W. (Ⅰ)求轨迹 W 的方程;

(Ⅱ) 设 N ? 2, 0 ? , 是否存在过 N 的直线 l 与 W 相交于 P,Q 两点, 使得 OP ? OQ ? 1? 若存在, 求出直线 l ;若不存在,说明理由.

(22)(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R ) . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行 ,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,
2

求 a 的取值

数学答案
一、选择题 题号 答案 (1) D (2) C (3) (4) D B (5) C (6) B (7) C (8) C (9) B (10) (11) B A (12) A

二、填空题: (13)2. (14) ? 2, 3 5 ? .

?

?

(15) ?

1 . 2

(16)

2 2

提示:

[来源:学|科|网]

(1) D. z ?

2i (1 ? i ) ? i ? 1, z ? 12 ? 12 ? 2 (1 ? i )(1 ? i )

(2) C. 化简 A ? ?0,1? , B ? ? 0,

? ?

1? 2? ?
?1

? 2, ?? ?
x, y

(3) D. 由 y ? f ? x ? 1? ? f

( y) ? x ? 1

,

互 换 得 ,

y ? f ?1 ( x ) ? 1



? f ?1 ? x ? ? 1 ? f ?1 ? x ? 1 ? ? f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? 1? ? 1 , 又f ?1 (0) ? 1 ,累加法: f ?1 ? 0 ? ? f ?1 ? 2010 ? ?

?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? ? f ? 0 ? ? f ? 1? ? ??? ? f ? 1? ? f ? 2 ? ? ??? ? f ? 2? ? f ? 3?? ??

?1 ?1 ?? ? f ? 2009 ? ? f ? 2010 ? ? ? = 2010

? f ?1 ? 2010 ? ? f ?1 ? 0 ? ? 2010= ? 2009
(4) B.

q ? 0, a2 ? 4,? a1 ? 0, a3 ? 0. ( ? a1 ) ? ( ? a3) ? 2 a1a3 = 2 a2 2 =8,当且仅当

a1 ? a3 时取=号

? a1 ? a2 ? a3 ? ?8 ? 4 ? ?4
B

A F

(5) C.若 A、C、E 坐大人,则 B、D、F 坐小孩; 若 B、D、F 坐大人,则 A、C、E 坐小孩.共有
3 3 2 A3 A3 ? 72
C

种方法.

E D

1 3 AB ? T ? 2 ? AH ? , HB ? y P (6) B.作 ,依题意, 2 2, AH 1 OB 3 ? , tan ? ? ? PH ? 1 ? tan ? ? 又 , PH 2 PH 2 , A O ? tan ?APB ? tan(? ? ? ) ? 8
PH ? AB于H
[来源:学科网]

x B
D

(7) C. 作 证 又 在 (8) C.

OD ? AC

,垂足是 O,则 O 是 AC 的中点,连结 OB,易 ,作

E O

?BOD ? 900

OE ? CD

于 E,E 是 CD 的中点,

A

c

[来源: 学科网]

BO ? 平面ACD ? BE ? CD
,

,BE 是点 B 到直线 CD 的距离.

B

Rt ?BOE

中,求
x

BE ? 2 3
?x

.

f ?? x? ? e ? a ? e

? f ? ? 0 ? ? 1 ? a ? 0 ? a ? 1 .设切 点为 P ( x0 , y0 ) ,

3 1 x0 ? ? x 0 ? ? e x 0 ? e ? x0 ? f e ? 2 或 ? 则 , ? x0 ? ln 2 2 ,解得 2 (舍 去)
1? 1? x ?1 1 f ? x ? 在 x ? 0 处连续, ? lim? ?? x ?0 x ?0 1 ? 1 ? x (9) B. x ? 0 x 2 ,因为 1 1 1 所以, f (0) ? ? ,即 log m 2 ? ? ,解得 m ? 2 2 4 ?13 ? n ( n ? 13) k ?1 a1 ? a2 ? ? a13 ? a14 ? ? a20 ? an ? ? (10) B. 因为 检验, 时, ? n ? 13 ( n ? 13) , lim? f ( x ) ? lim?
[来 源:Z。xx。k.Com]

? 12 ? 11 ?

?1? 0?1? 2?

?7?

k?2

时,

a2 ? a3 ?

? a13 ? a14 ?

13(12 ? 0) 7(1 ? 7) ? ? 106 ,不合题意. 2 2 ? a21 12(11 ? 0) 8(1 ? 8) ? ? 66 ? 36 ? 102 , 2 2

? 11 ? 10 ?

?1? 0?1? 2?

?7?8?

满足题意 由对称性知, (11) A. 设

36 ? 66 ? 102

.所以,

k ? 2或5

均满足题 , 由 重 心 坐 标 得

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

, 又

B(0, 4), F (2, 0)

0 ? x1 ? x2 4 ? y1 ? y2 ? 2, ?0 3 3 ? x1 ? x2 ? 6 (1) ?? MN (3, ?2) 的 中 点 为 . 因 为 点 ? y1 ? y2 ? ?4 (2) , 所 以 弦 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )
在椭圆上,

? ? 4 x1 ? 5 y1 ? 80 ? 2 ,作差得 2 所以, ? ? 4 x2 ? 5 y2 ? 80
2 2

4( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 将 ( 1 ) 和 ( 2 ) 代 入 得 y ? y2 6 kl ? 1 ? x1 ? x2 5 ,

6 y ? 2 ? ( x ? 3) 所以,直线 L 为: 5
R 2r

(12) A.当三个小球在下、 第四个小球在上相切时, 小球的半径最大.设小球的最大半径为 , 四个小球的球心分别为 A,B,C,D,大球半径为 .则四面体 A-BCD 是棱长为 的正四

r

面体,将正四面体 A-BCD 补形成正方体,则正方体棱长为 线 中 点 , 易 求

2r

,大球球心 O 为体对角 , 所 以

OA ?

1 6 ( 2r ) 2 ? ( 2r ) 2 ? ( 2 r ) 2 ? r 2 2

6 r ? ( 6 ? 2) R r 2 ,解得 1 1 1 n( n ? 1) 2 ? ? 2( ? ) an ? C n ( ?1)2 ? (13)2. an n?1 n 2 R ? r ? OA ?

?? 1 1? ?1 1? ? 2 ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? an 2? ? 2 3? ?? 1? ? ? lim 2 ? 1 ? ? ? 2 n ?? n? ? 1 1 ? ? a2 a3 ?

1 ?? 1? ? 1 ? ?? ? ?? ? 2 ? 1 ? ? n? ? n ? 1 n ?? ?

? 2, 3 3 ? . y ? log a x a (3, 3),(4, 4),(5, 3) ? 由可行域知, (14) ? 的图像分别过点 时, 的 3 ? 2, 3 3 ? . 2?33?35 a 3, 2, 3 5 ? ?
值分别为 , 因为 , 所以 的取值范围是

1 q y ? cos x y?m (15) 2 . 设公比为 , 问 题转化为 要 和 的图像有三个交点,由图 ?
像可知,

x ? x ? x ? ? 2? q ? ? ? x ? ? ? 3? ? xq ?? , 8 ? x ? xq ? 4? , 解 得 ? 1 ? 4? ? ?m ? f ? ?? ? 2 ? 3 ?

q ? 2, x ?

4? 3



2 1 1 MN ? ( AA1 ? BB1 ) ? ( AF ? BF ) (16) 2 . 如图, , 2 2 2 ( AF ? BF ) 2 2 2 AB ? AF ? BF ? , 2 AF ? BF
当且仅当
2

y A A1

时取“=”号
2

N

? MN ? ? AF ? BF ? ?? ? ?? ? AB ? ? ? 2 AB ? ? 1 2 AB
2

M x

B1
2

? 2

( AF ? BF ) AB 1 ? ? 2 2 AB 2

B

?

MN ? AB

1 2

三、解答题: (17)解: (Ⅰ)? m ? n,? ? cos B cos C ? sin B sin C ?

3 ? 0, ?????1 分 2

即 cos B cos C ? sin B sin C ? ?

3 3 , cos( B ? C ) ? ? , ?????2 分 2 2

? A ? B ? C ? 180?,? cos?B ? C ? ? ? cos A,
? cos A ? 3 , 又O ? A ? ? ,? A ? 30?. ?????4 分 2

(Ⅱ) 方法一:选择①③可确定 ?ABC . ?????5 分

? A ? 30?, a ? 1,2c ?
2 2

?

3 ? 1 b ? 0,
2

?

? 3 ?1 ? 3 ?1 ? ? 1 ? b ? 由余弦定理 ? 2 b ? ? 2b ? 2 b cos 30?, ?????6分 ? ?
整理得 b 2 ? 2, b ?

2, c ?

6? 2 . ?????8 分 2 3 ?1 . 4
?????10 分

? S ?ABC ?

1 1 6? 2 1 bc sin A ? ? 2 ? ? ? 2 2 2 2

(Ⅱ) 方法二:选择①④可确定 ?ABC . ?????5 分

? A ? 30?, a ? 1, B ? 45?, ? C ? 105?,

? sin 105? ? sin?60? ? 45? ? ? sin 60? cos 45? ? cos 45? sin 60? ?
???6分 由正弦定理

6? 2 , ?? 4

a b a sin B 1 ? sin 45? ? , 得b ? ? ? 2 , ?????8 分 sin A sin B sin A sin 30?
1 1 6? 2 ab sin C ? ? 1 ? 2 ? ? 2 2 4 3 ?1 . 4
?????10 分

? S ?ABC ?

(18)解:依题意知,掷一次骰子,球被放入甲盒、乙盒的概率分别为

1 2 , . ????2 分 3 3

(Ⅰ)若 1 ? y ? x ? 3, 则只能有 x ? 1, y ? 3, 即在 4 次掷骰子中,有 1 次在甲盒中

1 ? 2? 32 放球,有 3 次在乙盒中放球,因此所求概率 P ? C ? ? ? ? ? .? 3 ? 3? 81
1 4

3

?5 分 (Ⅱ)由于 ? ? x ? y , 所以 ? 的可能取值有 0,2,4????6 分

24 40 ? 1? ? 2? 1 ? 1 ?? 2 ? 3? 1? ? 2? P ?? ? 0? ? C ? ? ? ? ? , P ?? ? 2 ? ? C4 ? C4 ? , ? ? ? ? ? ? ? ? 81 ? 3? ? 3? ? 3 ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 81
2 4

2

2

3

3

17 ?1? 4? 1? P ?? ? 4 ? ? C ? ? ? C4 ? ? ? 81 ? 3? ? 3?
0 4

4

4

????9 分

所以随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

2

4

24 81

40 81

17 81

故随机变量 ? 的数学期望为 E? ? 0 ?

24 40 17 148 ? 2? ? 4? ? . ????12 分 81 81 81 81

[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]

(19)解法一: (Ⅰ )平面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,所以 PD ? 平面 ABCD ,………1 分 所以 PD ? AD , .……2 分 P z Q y C B

如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 A(1, 0, 0), B (1,1, 0), C (0, 2, 0), P(0, 0,1). ………3 分
[来源 :Z|xx|k.Com]

D A x

DB ? (1,1, 0) , BC ? (?1,1, 0) ,
所以 BC ? DB ? 0 , BC ? DB ,……………4 分

又由 PD ? 平面 ABCD ,可得 PD ? BC ,所以 BC ? 平面 PBD .……………6 分 (Ⅱ )平面 PBD 的法向量为 BC ? (?1,1, 0) ,…………………………………………7 分

PC ? (0, 2, ?1) , PQ ? ? PC , ? ? (0,1)
所以 Q (0, 2? ,1 ? ? ) , ………………………………………………………………8 分 设平面 QBD 的法向量为 n = (a, b, c) , DB ? (1,1, 0) , DQ ? (0, 2? ,1 ? ? ) , 由 n ? DB ? 0 , n ? DQ ? 0 ,得 所以, ?

?a ? b ? 0 ,………………………………………………….……9 分 ?2?b ? (1 ? ? )c ? 0
2? ) ,………………………………………………………….…10 分 ? ?1

所以 n = (?1,1, 所以 cos 45 ?

n ? BC n BC

?

2 2 2?( 2? 2 ) ? ?1

?

2 ,……………………...……11 分 2

注意到 ? ? (0,1) ,得 ? ?

2 ?1.

…………………………….………………12 分

法二: (Ⅰ) ∵面 PCD⊥底面 ABCD, 面 PCD∩底面 ABCD=CD, PD ? 面 PCD, 且 PD⊥CD ∴PD⊥面 ABCD,………1 分 又 BC ? 面 ABCD,∴BC⊥PD 取 CD 中点 E,连结 BE,则 BE⊥CD,且 BE=1 在 Rt△ABD 中, BD ? ①…. .…..……2 分

2 ,在 Rt△BCE 中,BC= 2 . . ……………………...……4 分
②…………… …...……5 分

∵ BD 2 ? BC 2 ? ( 2 ) 2 ? ( 2 ) 2 ? 22 ? CD 2 , ∴BC⊥BD

由①、②且 PD∩BD=D ∴BC⊥面 PBD. ……….………………………………………….…...……6 分

(Ⅱ)过 Q 作 QF//BC 交 PB 于 F,过 F 作 FG⊥BD 于 G,连结 GQ. ∵BC⊥面 PBD,QF//BC ∴QF⊥面 PBD,∴FG 为 QG 在面 PBD 上的射影, 又∵BD⊥FG ∴BD⊥QG ∴∠FGQ 为二面角 Q-BD-P 的平面角;由题意,∠FGQ=45°. …………….…...……8 分 设 PQ=x,易知 PC ?

5 , PB ? 3
P

PQ FQ PQ ∵FQ//BC,∴ ? BC ? ? 即 FQ ? BC PC PC
PF PQ ? PB PC
∵FG//PD∴

2 x 5
A

Q F E C B

D G

PQ 3 即PF ? ? PB ? x PC 5

BF 1 FG BF ? PD ? 1 ? x ………………..…...……10 分 ? 即 FG ? PD PB PB 5

在 Rt△FGQ 中,∠FGQ=45° ∴FQ=FG,即 ∵ PQ ? ? PC (20)解: (Ⅰ)

1 2 x x ? 1? 5 5

∴x?

5 ? 5 ( 2 ? 1) ……..….........……11 分 2 ?1
∴? ?

∴ 5 ( 2 ? 1) ? ? 5

2 ? 1 ……..…............……12 分

an?1 ? Sn ? 3n ?1 ? 5, ? an ? S n ?1 ? 3n ? 5 ? n ? 2 ? ,
????2 分

? an?1 ? an ? an ? 2 ? 3n , 即an ?1 ? 2an ? 2 ? 3n ? n ? 2 ? ,
当 n ? 2 时,

n bn ?1 an?1 ? 2 ? 3n ?1 2an ? 2 ? 3n ? 2 ? 3n?1 2 ? an ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? 2, ????5 分 bn an ? 2 ? 3 n an ? 2 ? 3 n an ? 2 ? 3 n



b1 ? a1 ? 2 ? 31 ? 2, b2 ? a2 ? 2 ? 32 ? 4,?

b2 ? 2, b1

? 数列 ?bn ? 是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列。????6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 2 ,? an ? 2 ? 3 ? 2 , ? an
n n n

? 2 ? 3n ? 2n ,
n

2n 2n ? ? an 2 ? 3 n ? 2 n

1 ? 2? ? ? ? ? ? ????9 分 n n 2 ? 3? ? 3? ? 3? 2?? ? ? 1 2?? ? ? 2? ? 2? 1 1

[来源:Z_xx_k.Com]

2 22 23 ? ? ? ? a1 a2 a3

2 3 2n 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? an 2 ? ?3 ? 3 ? ? 3?
n

? 2? ?? ? ? 3?

n

? ? ? ?

2? ? 2? ?1 ? ? ? 1 3? ? ? 3? = ? 1 2 1? 3

? ? n ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1. ????12 分 ? 3? ? ?

(21)解: (Ⅰ)因为 A,B 两点关于 x 轴对称, 所以 AB 边所在直线与 y 轴平行. 设 M ? x , y ? , 由题意, 得 A x , 3 x , B x , ? 3 x ,

?

? ?

?

AM ? MB ? 3,

?

?

3x ? y

??

3 x ? y ? 3, x 2 ?

?

y2 ? 1, 3

所以点 M 的轨迹 W 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 ? x ? 0 ? . ????4 分 3

(Ⅱ)假设存在,设 l : y ? k ? x ? 2 ? 或x ? 2,P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,

? 2 y2 ?1 ? x ? 当直线 l : y ? k ? x ? 2 ? 时,由题意,知点 P,Q 的坐标是方程组 ? 的解, 3 ? y ? k ? x ? 2? ?
消去 y 得

?3? k ? x
2

2

? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0, ????6 分

所以 ? ? 4k 2

?

?

2

? 4 ? 3 ? k 2 ?? ?4k 2 ? 3 ? ? 36 ? k 2 ? 1? ? 0且3 ? k 2 ? 0

4k 2 4k 2 ? 3 x1 ? x2 ? 2 ,x x ? , ????7 分 k ? 3 1 2 k2 ? 3
直线 l 与双曲线的右支 (即 W) 相交两点 P,Q,? x1 ? x2 ? 即 k 2 ? 3. ①????8 分

4k 2 4k 2 ? 3 ? 0, x x ? ? 0, 1 2 k2 ? 3 k2 ? 3

y1 y2 ? k ? x1 ? 2 ? ? k ? x2 ? 2 ? ? k 2 ? ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ?

? OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? 1 ? k 2 ? x1 x2 ? 2k 2 ? x1 ? x2 ? ? 4k 2
? ?1 ? k 2 ? ? 4k 2 ? 3 4k 2 3 ? 5k 2 2 2 ? 2 k ? ? 4 k ? ????10 分 k2 ? 3 k2 ? 3 k2 ? 3

要使 OP ? OQ ? 1, 则必须有

3 ? 5k 2 ? 1, 解得 k 2 ? 1, 代入①不符合。 2 k ?3

所以不存在直线 l ,使得 OP ? OQ ? 1, ????11 分 当直线 l : x ? 2 时, P ? 2, 3 ? , Q ? 2, ?3 ? , OP ? OQ ? ?5, 不符合题意, 综上:不存在直线 l ,使得 OP ? OQ ? 1, ????12 分 (22)解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? 1分 (Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? (Ⅱ) f ?( x) ?

2 ( x ? 0) . x

??????

2 . 3

???? ??3 分

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x

??????4 分

①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . ②当 0 ? a ? ??????5 分

1 1 时, ? 2 , 2 a 1 a 1 a

在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . ????6 分 ③当 a ? ④当 a ?

1 a

1 a

1 ( x ? 2) 2 时, f ?( x) ? , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) . ???7 分 2 2x 1 1 时, 0 ? ? 2 , 2 a 1 a

在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 的单调递 增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . (Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x) max ? g ( x) max . 由已知, g ( x) max ? 0 ,由(Ⅱ)可知, ①当 a ?

1 a

1 a

1 a

???8 分

??????9 分

1 时, f ( x) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f ( x) max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2 ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2 ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1 ,故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?

1 . ?????10 分 2

1 1 1 时, f ( x) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a
1 a 1 ? 2 ln a . 2a

故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ?

由a ?

1 1 1 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e

所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x) max ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1 . ??????12 分

高考数学压轴卷第二套
本试卷三大题 21 小题,全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1. i 为虚数单位,则 ? A.- i

? 1? i ? ? ? 1? i ?

2011

= C. i D.1

B.-1

2.已知 U ? ? y | y ? log 2 x, x ? 1? , P ? ? y | y ?

? ?

1 ? , x ? 2? ,则 CU P = x ?
C .

A. [ , ??)

1 2

B. ? 0, ? D. (??, 0][ , ??)

? ?

1? 2?
1 2

? 0, ???

3.已知函数 f ( x) ? 3sin x ? cos x, x ? R ,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围为

A. ? x | k? ?

? ?

?

? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? 3 ?

B. ? x | 2k? ? C. { x | k ? ?

? ?

?

? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 3 ?

5? , k ? Z} 6 6 ? 5? , k ? Z} D. { x | 2 k ? ? ? x ? 2 k ? ? 6 6 ? x ? k? ?
4.将两个顶点在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数 记为 n,则 A.n=0 D.n ? 3

?

B.n=1

C.

n=2

2 5.已知随机变量 ? 服从正态分布 N 2,a ,且P( ? <4)= 0.8 ,则P(0< ? <2)=

?

?

A.0.6

B.0.4

C.0.3

D.0.2

6.已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 和偶函数 g ? x ? 满足 f ? x ? ? g ? x ? ? a ? a
2

?2

? 2( a >

0,且 a ? 0 ) .若 g ? 2 ? ? a ,则 f ? 2 ? = A.2 B.

15 4

C.

17 4

D. a

2

K 正常工作且 A1 、 A2 至少有 7.如图,用 K、 A 1 、 A2 三类不同的元件连接成一个系统。当
一个正常工作时,系统正常工作,已知 K、 A 1 、 A2 正常工作的概率依次为 0.9、0.8、 0.8,则系统正常工作的概率为

A.0.960

B.0.864

C.0.720

D.0.576

8.已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z) ,且 a⊥ b.若 x,y 满足不等式 x ? y ? 1 ,则 z 的取值 范围为 A.[-2,2]

B.[-2,3]

C.[-3,2]

D.[-3,3]

9. 若实数 a,b 满足 a ? 0, b ? 0, 且 ab ? 0 , 则称 a 与 b 互补, 记 ? (a, b) ?

a 2 ? b2 ? a ? b, ,

那么 ? ? a, b? ? 0 是 a 与 b 互补的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要的条件 10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象 称为衰变。假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含量 M(单位:太贝克)与 时间 t(单位:年)满足函数关系: M (t ) ? M 0 2
? t 30

,其中 M0 为 t=0 时铯 137 的含量。

已知 t=30 时,铯 137 含量的变化率是-10In2(太贝克/年) ,则 M(60)= A.5 太贝克 B.75In2 太贝克 C.150In2 太贝克 D.150 太贝克 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,一题两空的题,其中答案按先后次序填写。答错位置,书写不清,模棱俩可均不 给分。

1 ? ? 15 11. ? x ? ? 的展开式中含 x 的项的系数为 3 x? ?

18

(结果用数值表示)

12.在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期。从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到一瓶已 过保质期饮料的概率为 。 (结果用最简分数表示) 13. 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 升。

14.如图,直角坐标系 xOy 所在的平面为 ? ,直角坐标系 x Oy (其中 y 轴一与 y
' ' '

轴重合)所在的平面为 ? , ?xOx ? 45? 。
'

(Ⅰ)已知平面 ? 内有一点 P' (2 2, 2) ,则点 P 在平面 ? 内的射影 P 的
'

坐标为


' '

(Ⅱ) 已知平面 ? 内的曲线 C 的方程是 ( x' ? 2)2 ? 2 y'2 ? 2 ? 0 , 则曲线 C 在平面 ? 内 的射影 C 的方程是 。 15.给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当 n ? 4 时,在所有不同的着色方案中, 黑色正方形互不相邻 的着色方案如下图所示: ....

由此推断,当 n ? 6 时,黑色正方形互不相邻 的着色方案共有 ....

种,至少有两个

黑色正方形相邻 的着色方案共有 种, (结果用数值表示) .. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 10 分) 设 ?ABC 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c,已知 a ? 1.b ? 2.cos C ? (Ⅰ)求 ?ABC 的周长 (Ⅱ)求 cos ? A ? C ? 的值

1 . 4

17. (本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。 在一般情况下, 大桥上 的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的的 车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流 密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位: 辆 /每小时) f ? x ? ? x.v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值 (精确到 1 辆/小时)

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各棱长都是 4, E 是 BC 的中点,动点 F 在 侧棱 CC1 上,且不与点 C 重合. (Ⅰ)当 CF =1 时,求证: EF ⊥ A1C ; (Ⅱ)设二面角 C ? AF ? E 的大小为 ? ,求 tan ? 的最小值.

19. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a1 ? a (a ? 0) , an ? 1 ? rSn

( n ? N* ,

r ? R, r ? ?1) .
(Ⅰ)求数列 ?an? 的通项公式; (Ⅱ)若存在 k ? N*,使得 Sk ? 1 ,Sk ,Sk ? 2 成等差数列,是判断:对于任意的 m ?N*, 且 m ? 2 , am ? 1 , am , am ? 2 是否成等差数列,并证明你的结论.

20. (本小题满分 14 分) 平面内与两定点 A1(?a, 0) ,A2(a,0) (a ? 0) 连续的斜率之积等于非零常数 m 的点 的轨迹,加上 A1 、 A 2 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭 圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值得关系; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,对应的曲线为 C1 ;对给定的 m ? (?1,0)U (0, ??) ,对应的曲线为

C2 ,设 F1 、 F2 是 C2 的两个焦点。试问:在 C1 撒谎个,是否存在点 N ,使得△
F1 N F2 的面积 S ?| m | a2 。若存在,求 tan F1 N F2 的值;若不存在,请说明理
由。

21. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? Inx ? x ? 1 , x ? (0, ??) ,求函数 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)设 ak , bk (k ? 1, 2 ?, n) 均为正数,证明: (1)若 a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? b1 ? b2 ? ? bn ,则 a1 1 a22
k k kn an ?1;

(2)若 b1 ? b2 ? ? bn =1,则

1 k2 ? b1k1 b2 n

kn 2 bn ? b12 ? b2 ?

2 ? bn .

参考答案

[来源:Zxxk.Com]

一、选择题:本题主要考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分。 AABCCBBDCD 二、填空题:本题主要考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 25 分。 11.17 12.

28 145

13.

67 66

14. (2,2) , ( x ?1) ? y ? 1
2 2

15.21,43

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 16. 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识, 同时考查基本运算能力。 (满分 10 分) 解: (Ⅰ)

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?

1 ?4 4

? c ? 2. ? ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.
(Ⅱ)

1 1 15 cos C ? ,? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 4

15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? c 2 8
a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角,

? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

15 2 7 ) ? . 8 8

? cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?

7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 8 16

17.本小题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。 (满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20时, v( x) ? 60 ;当 20 ? x ? 200时, 设v( x) ? ax ? b

1 ? a?? , ? ?200a ? b ? 0, ? 3 解得 ? 再由已知得 ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 ?

0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v( x) 的表达式为 v( x) ? ? 1 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3 0 ? x ? 20, ?60 x, ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ( x) ? ? 1 x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3
当 0 ? x ? 20时, f ( x) 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60×20=1200;

1 1 x ? (200 ? x) 2 10000 x(200 ? x) ? [ ] ? 3 3 2 3 当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立。 10000 . 所以,当 x ? 100时, f ( x) 在区间[2 0,200]上取得最大值 3 10000 ? 3333 。 综上,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间[0,200]上取得最大值 3
当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ? 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时。 18. 本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识, 同时考查空间想象能 力、推理论证能力和运算求解能力。 (满分 12 分) 解法 1: 过 E 作 EN ? AC 于 N,连结 EF。 (I)如图 1,连结 NF、AC1,由直棱柱的性 质知, 底面 ABC ? 侧面 A1C。 又度面 ABC 侧面 A,C=AC,且 EN ? 底面 ABC, 所以 EN ? 侧面 A1C,NF 为 EF 在侧面 A1C 内的射影, 在 Rt ?CNE 中, CN ? CE cos 60? =1, 则由

CF CN 1 ? ? ,得 NF//AC1, CC1 CA 4

又 AC1 ? AC 1 , 故 NF ? AC 1 。 由三垂线定理知 EF ? AC 1 .

(II)如图 2,连结 AF,过 N 作 NM ? AF 于 M,连结 ME。 由(I)知 EN ? 侧面 A1C,根据三垂线定理得 EM ? AF , 所以 ?EMN 是二面角 C—AF—E 的平面角,即 ?EMN ? ? , 设 ?FAC ? ? , 则0? ? ? ? 45? 在 Rt ?CNE 中, NE ? EC ? sin 60? ? 3, 在 Rt ?AMN中, MN ? AN ? sin a ? 3sin a, 故 tan ? ?

NE 3 ? . MN 3sin a 2 , 2

又 0? ? ? ? 45?,? 0 ? sin a ?

故当 sin a ?

2 ,即当? ? 45? 时, tan ? 达到最小值; 2

tan ? ?

3 6 ,此时 F 与 C1 重合。 ? 2? 3 3

解法 2: (I)建立如图 3 所示的空间直角坐标系,则由已知可得

A(0,0,0), B(2 3,2,0), C(0,4,0), A1(0,0,4), E( 3,3,0), F (0,4,1),
于是 CA 1 ? (0, ?4, 4), EF ? (? 3,1,1). 则 CA 1 ? EF ? (0, ?4,4) ? (? 3,1,1) ? 0 ? 4 ? 4 ? 0, 故 EF ? AC 1 . (II)设 CF ? ? ,(0 ? ? ? 4) , 平面 AEF 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) , 则由(I)得 F(0,4, ? )

AE ? ( 3,3,0), AF ? (0, 4, ?) ,于是由 m ? AE, m ? AF 可得
? ? 3x ? 3 y ? 0, ?m ? AE ? 0, ? 即? ? ? ?4 y ? ? z ? 0. ?m ? AF ? 0, ?
取 m ? ( 3?, ??, 4).

又由直三棱柱的性质可取侧面 AC1 的一个法向量为 n ? (1, 0, 0) , 于是由 ? 为锐角可得 cos ? ?

| m?n | 3? ? 2 ? 16 , ? ,sin ? ? | m | ? | n | 2 ?2 ? 4 2 ?2 ? 4

[来源:Zxxk.Com]

所以 tan ? ?

? 2 ? 16 1 16 , ? ? 3 3? 2 3?
1

由 0 ? ? ? 4 ,得

?

?

1 1 1 6 ,即 tan ? ? ? ? , 4 3 3 3

故当 ? ? 4 ,即点 F 与点 C1 重合时, tan ? 取得最小值

6 , 3

19.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,同时考查推理论证能力,以及特殊与 一般的思想。 (满分 13 分) 解: (I)由已知 an?1 ? rSn , 可得 an?2 ? rSn?1 ,两式相减可得

an?2 ? an?1 ? r ( S ) , n?1 ? S n ? ra n ?1
即 an?2 ? (r ? 1)an?1 , 又 a2 ? ra1 ? ra, 所以 r=0 时, 数列 {an } 为:a,0,?,0,?; 当 r ? 0, r ? ?1 时,由已知 a ? 0, 所以an ? 0 ( n ? N ) ,
*

于是由 an?2 ? (r ? 1)an?1 , 可得

an ? 2 ? r ? 1(n ? N ? ) , an ?1

?a2 , a3 ,

, an ?

成等比数列,

?当n ? 2时 , an ? r (r ?1)n?2 a.

综上,数列 {an } 的通项公式为 an ? ?
*

?an ?r (r ? 1)

n ? 1,
n?2

a, n ? 2

(II)对于任意的 m ? N ,且 m ? 2, am?1 , am , am?2 成等差数列,证明如下: 当 r=0 时,由(I)知, am ? ?

?a, n ? 1, ?0, n ? 2

? 对于任意的 m ? N * ,且 m ? 2, am?1 , am , am?2 成等差数列,
当 r ? 0 , r ? ?1 时,

Sk ?2 ? Sk ? ak ? 1? ak ? , 2 Sk ? ? 1 ak ? . 1
若存在 k ? N ,使得 Sk ?1 , S1 , Sk ?2 成等 差数列,
*

则 Sk ?1 ? Sk ?2 ? 2Sk ,

?2Sk ? 2ak?1 ? ak?2 ?2 Sk 即 , a? 2 a? k2 ? ? k1 ,
由(I)知, a2 , a3 ,
*

, am ,

的公比 r ? 1 ? ?2 ,于是

对于任意的 m ? N ,且 m ? 2, am?1 ? ?2am , 从而am?2 ? 4am , 成等差数列, ?am?1 ? am?2 ? 2 am, 即 am , am ?1 , am ? 2 综上,对于任意的 m ? N ,且 m ? 2, am?1 , am , am?2 成等差数列。
*

20.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分 类与整合和数形结合的思想。 (满分 14 分) 解: (I)设动点为 M,其坐标为 ( x, y ) , 当 x ? ? a 时,由条件可得 kMA1 ? kMA2 ? 即 mx ? y ? ma ( x ? ?a) ,
2 2 2

y y y2 ? ? 2 ? m, x ? a x ? a x ? a2

又A 1 (?a,0), A 2 ( A,0) 的坐标满足 mx ? y ? ma ,
2 2 2

故依题意,曲线 C 的方程为 mx ? y ? ma .
2 2 2

当 m ? ?1 时, 曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1, C 是焦点在 y 轴上的椭圆; a 2 ?ma 2
2 2 2

当 m ? ?1 时,曲线 C 的方程为 x ? y ? a ,C 是圆心在原点的圆;

当 ?1 ? m ? 0 时,曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1,C 是焦点在 x 轴上的椭圆; a 2 ? ma 2

当 m ? 0 时,曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1, C 是焦点在 x 轴上的双曲线。 a 2 ma 2

(II)由(I)知,当 m=-1 时,C1 的方程为 x2 ? y 2 ? a2 ; 当 m ? (?1,0)

(0, ??) 时,

C2 的两个焦点分别为 F 1 (?a 1 ? m,0), F 2 (a 1 ? m,0). 对于给定的 m ? (?1,0)

(0, ??) ,

[来源:Zxxk.Com]

C1 上存在点 N ( x0 , y0 )( y0 ? 0) 使得 S ?| m | a 的充要条件是
2
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , y0 ? 0, ? ?1 2 ? ? 2a 1 ? m | y0 |?| m | a . ?2

① ②

由①得 0 ?| y0 |? a, 由②得 | y0 |?

|m|a . 1? m

当0 ?

| m| a 1? 5 ? a,即 ? m ? 0, 2 1? m
1? 5 时, 2

或0 ? m ?

存在点 N,使 S=|m|a2; 当

|m| a 1? 5 ? a,即-1<m< , 2 1? m
1? 5 时, 2
?1 ? 5 ? ,0? ? 2 ? ? ? 1? 5 ? ? ? 0, 2 ? 时, ? ?

或m ?

不存在满足条件的点 N, 当 m??

由 NF 1 ? (?a 1 ? m ? x0 ? y0 ), NF 2 ? (a 1 ? m ? x0 , ? y0 ) ,
2 2 2 2 可得 NF 1 ? NF 2 ? x0 ? (1 ? m)a ? y0 ? ?ma ,

令 | NF 1 |? r 1 ,| NF 2 |? r 2 , ?F 1 NF 2 ?? , 则由 NF1 ? NF2 ? r1r2 cos ? ? ?ma , 可得r1r2 ? ?
2

ma 2 , cos ?

从而 S ?

1 ma 2 sin ? 1 r1r2 sin ? ? ? ? ? ma 2 tan ? , 2 2cos ? 2

于是由 S ?| m | a 2 , 可得 ?

1 2|m| ma 2 tan ? ?| m | a 2 , 即 tan ? ? ? . 2 m

[来源:学科网 ZXXK]

综上可得: 当m??

?1 ? 5 ? ,0? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S ?| m | a2 , 且 tan F 1 NF 2 ? 2; ? ? 2 ?

当 m ? ? 0,

? 1? 5 ? 2 ? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S ?| m | a , 且 tan F1NF2 ? ?2; ? 2 ? ?

当 m(?1,

1? 5 1? 5 ) ( , ??) 时,在 C1 上,不存在满足条件的点 N。 2 2

[来源:学科网]

21.本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行 推理论证的能力,以及化归与转化的思想。 (满分 14 分) 解: (I) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,令 f '( x) ?

1 ? 1 ? 0, 解得x ? 1. x

当 0 ? x ?1 时, f '( x) ? 0, f ( x) 在(0,1)内是增函数; 当 x ? 1 时, f '( x) ? 0, f ( x)在(1, ??) 内是减函数; 故函数 f ( x)在x ? 1 处取得最大值 f (1) ? 0. (II) (1)由(I)知,当 x ? (0, ??) 时, 有 f ( x) ? f (1) ? 0,即ln x ? x ? 1.

ak , bk ? 0 ,从而有 ln ak ? ak ? 1 ,
得 bk ln ak ? ak bk ? bk (k ? 1, 2,
n n n

, n) ,

求和得

? ln akk1 ? ? ak bk ? ? bk .
k ?1 k ?1 k ?1

? ak bk ?
k ?1

n

2 ? b,k ? ?l n ka k ? 0,

n

n

k ?1

k ?1

即 ln(a1 1 a22
k

k

k

kn k2 an ) ? 0, ? a1k1 a2
k

kn an ? 1.

(2)①先证 b1 1 b2 2 令 ak ?
n

1 bnkn ? . n

1 (k ? 1, 2, nbk

, n),



n n 1 a b ? ? 1 ? bk , 于是 ? ? ? k k k ?1 k ?1 n k ?1

由(1)得 (
k2 ? b1k1 b2

1 k1 1 k2 ) ( ) nb1 nb2

(

1 kn 1 ) ? 1 ,即 k1 k2 ? nk1 ? k2 ? kn nbn b1 b2 bn

? kn

? n,

1 kn bn ? . n
k k kn 2 bn ? b12 ? b2 ? 2 ? bn .

②再证 b1 1 b2 2 记S ?
n n 2 k

? b , 令a
k ?1 k k

k

?

bk (k ? 1, 2, S

, n) ,



?a b
k ?1

?

n 1 n 2 b1 ? 1 ? ? bk , ? S k ?1 k ?1

于是由(1)得 ( 即 b1 1 b2 2
k2 ?b1k1 b2 k k

b1 k1 b2 k2 ) ( ) S S
? kn

(

bn kn ) ? 1. S

kn bn ? S k1 ?k2 ?

? S,
2 ? bn .

kn 2 bn ? b12 ? b2 ?

综合①②, (2)得证。

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式:锥体的体积公式 V ? 样本数据 x1 , x2 ,

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 为锥体的高. 3 2 2 2 1 , xn 的方差 s 2 ? ? x1 ? x ? x2 ? x ? ? xn ? x ? , ? ? ? n?

?

? ?

?

?

?

其中 x , y 表示样本均值.

高考数学压轴卷第三套

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 M ? ??1,0,1? 和 N ? ?0,1, 2,3? 的关系的韦恩( Venn )图如图 1 所示,则阴 影部分所示的集合是 A. ?0? C. ??1, 2,3? 2. B. ?0,1? D. ??1,0,1, 2,3? M 图1 N

命题“存在实数 x ,使 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ”的否定是 A.对任意实数 x , 都有 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 C.对任意实数 x , 都有 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 B.不存在实数 x ,使 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 D.存在实数 x ,使 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0

3.

1 ? bi 1 ? ( i 是虚数单位, b 是实数) ,则 b ? 2?i 2 1 1 A. ?2 B. ? C. 2 2
若复数

D.2

4.

已知平面向量 AB ? (1, 2) , AC ? (2, y ) ,且 AB ? AC ? 0 ,则 2 AB ? 3 AC ? A. (8,1) B. (8, 7) C. ? ?8,8? D. ?16,8 ? y

5.

已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? 0 时 f ? x ? 的图像 如图 2 所示,则 f ? ?2? ? A. ?3 C. ?1 B. ?2 D. 2 2 O

1

3 图2

x

6.

? x ? y ? 2 ? 0, ? 已知变量 x , y 满足约束条件 ? y ? 2, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? y ? 0, ?
A.2 B.3
x

C.4

D.6

7.

设函数 f ? x ? ? e ? 3x ,则 A. x ?

3 为 f ( x) 的极大值点 e

B. x ?

3 为 f ( x) 的极小值点 e

C. x ? ln3 为 f ( x) 的极大值点 8.

D. x ? ln3 为 f ( x) 的极小值点

已知直线 Ax ? y ? C ? 0 , 其中 A, C , 4 成等比数列, 且直线经过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点, 则 A?C ? A. ?1 B.0 C.1 D.4 如图 3 所示,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等腰梯 形,等腰直角三角形和长方形,则该几何体体积 2 1 为 A.

9.

5 3
4 2 3

正视图

侧视图

B.

7 3 10 D. 3
C.

4 俯视图 图3

10. 对于任意两个复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di ( a, b, c, d ? R ) ,定义运算“ ? ”为:

z1 ? z2 ? ac ? bd .则下列结论错误的是
A. ? ?i ? ? ? ?i ? ? 1 C. i ? ?1 ? 2i ? ? 2 B. i ? ? i ? i ? ? 1 D. ?1 ? i ? ? ?1 ? i ? ? 2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 函数 f ( x) ?

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是________. 频率 x ?1

组距

12. 某公司为了了解员工们的健康状况,随机抽取了部分 员工作为样本,测量他们的体重(单位:公斤) ,体重 的分组区间为 [50,55 ) , [55,60 ) , [60,65 ) , [65,70 ) ,

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 50 55 60 65 70 75 体重 图4

[70,75],由此得到样本的频率分布直方图,如图 4 所示.根据频率分布直方图,估计该 公司员工体重的众数是_________;从这部分员工中随机抽取 1 位员工,则该员工的体 重在[65,75]的概率是_________. 13. 已知 ?ABC 中,?A ,?B ,?C 的对边分别为 a ,b ,c , 若 a ? 1 ,b ? 3 ,B ? 2 A , 则 A ? _________. (二)选做题(14-15 小题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) ? 0 ? ? ?

? ?

??

? 中,曲线 ? sin ? ? 1 与 2?
A

? ? 4sin ? 的交点的极坐标为________.
15. (几何证明选讲选做题) 如图 5 所示, 过圆 O 外一点 P 分 别作圆的切线和割线交圆于 A , B , C ,且 P PC ? 3PB ? 3 ,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 D ,则 AD ? _______.

B

D

O

C

图5 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 2 , a3 ? 6 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 Sk ? 110 ,求 k 的值; (3)设数列 ?

?1? ? 的前 n 项和为 Tn ,求 T2013 的值. ? Sn ?
?x ? ? ? ? ? A ? 0,0 ? ? ? ? ? 的最大值是 1,且 f ? 0? ? 1 . ?2 ?

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? A sin ?

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的解析式; ( 3 ) 已 知 锐 角 ?ABC 的 三 个 内 角 分 别 为 A , B , C , 若

3 5 f ? 2 A? ? ,f ? 2 B ? ? ? ? ? ,求 f ? 2C ? 的值. 5 13
18. (本小题满分 13 分) 某校高三年级在 5 月份进行一次质量考试,考生成绩情况如下表所示:

?0, 400 ?
文科考生 理科考生 67 53

?400, 480? ?480,550? ?550,750?
35 19 6

x

y

z

已知用分层抽样方法在不低于 550 分的考生中随机抽取 5 名考生进行质量分析, 其中文 科考生抽取了 2 名. (1)求 z 的值; 13 2 4 (2) 图 6 是文科不低于 550 分的 6 名学生的语文成绩的茎叶图, 计 12 0 5 8 算这 6 名考生的语文成绩的方差; 11 1 (3)已知该校不低于 480 分的文科理科考生人数之比为 1: 2 ,不低 于 400 分的文科理科考生人数之比为 2 : 5 ,求 x 、 y 的值. 图6 19. (本小题满分 14 分) 将棱长为 a 正方体截去一半(如图 7 所示)得到如图 8 所示的几何体,点 E , F 分别 是 BC , DC 的中点. D1 D1 C1 (1)证明: AF ? ED1 ; A1 A1 B1 (2)求三棱锥 E ? AFD1 的体积. D A 20. (本小题满分 14 分) 图7 B C A 图8 D F E B C

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆心在 x 轴上, 半径为 4 的圆 C 位于 y 轴右侧, 且与 y 轴相切. (1)求圆 C 的方程; (2)若椭圆

4 x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 ,且左右焦点为 F1 , F2 .试探究在圆 C 上是否 5 25 b

存在点 P , 使得 ?PF1 F2 为直角三角形?若存在, 请指出共有几个这样的点?并说明理由 (不 必具体求出这些点的坐标) . 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x)=x +
3

3 ? a ? 1? x 2 ? ?ax ? 1,x ? R 2

(1)讨论函数 f (x) 的单调区间; (2)当 a ? 3 时,若函数 f (x) 在区间 [ m, 2] 上的最大值为 28,求 m 的取值范围.

数学答案

说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 A 5 B 6 D 7 D 8 A 9 A 10 B

答案详细解析: 1.阴影部分所示的集合是 M

N ? ?0,1? .

2.存在量词变成任意量词,结论变.

?2 ? b 1 ? ? 1 ? bi ?1 ? bi ?? 2 ? i ? ? 2 ? b ? ? ? 2b ? 1? i 1 ? 5 1 2 ? ? ? ,∴ ? 3.∵ ,解得 b ? . 2 ? i ? 2 ? i ?? 2 ? i ? 5 2 2 ? 2b ? 1 ? 0 ? ? 5
4.∵ AB ?AC ? 0 ,∴ 2 ?2 y ?0 ,解得 y ? ?1 ,∴ 2 AB ?3AC ? ? 2,4 ?? 6,? 3 ? 5. f ? ?2? ? ? f ? 2? ? ?2 . 6.如图,作出可行域,当目标函数直线经过点 A 时取得最大值.由

? ? 8,1?
y

?.
A

? y ? 2, 解得 A ? 2, 2 ? ,∴ zmax ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 . ? x ? y ? 0, ?
7 .由 f ? ? x ? ? e ? 3 ? 0 ,得 x ? ln3,又 x ? ln3 时, f ? ? x ? ? 0 ,
x

O

x

x ? ln3 时, f ? ? x ? ? 0 ,∴ f ? x ? 在 x ? ln3 时取得极小值.
8 .∵ A, C , 4 成等比数列,∴ C 2 ? 4 A ①,∵直线经过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点 ? 2, 0 ? ,∴ ② 2A ? C ? 0 ② ,由① 联立解得 A ? 1, C ? ?2 或 A ? 0, C ? 0 (舍去) ,∴ A ? C ? ?1 . 9.该几何体的直观图如图所示,由题意知该几何体可分割为两个等体积的四棱锥和一个直 三 棱 柱 . 四 棱 锥 的 体 积 为 V1 ?

1 2 1 ? 1? 2 ? ? ,直三棱柱的体积为 3 2 3

V2 ?

1 5 ? 1? 1? 2 ? 1 ,∴该几何体的体积为 2V1 ? V2 ? . 2 3

10. i ? ? i ? i ? ? i ?1 ? 0 . 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. ? ?1,1? 12.62.5,

3 10

13.

π 6

14. ? 2,

? ?

??
? 6?

15.

3 2

说明:第12题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. 答案详细解析: 11.∵ ?

?x ?1 ? 0 ,∴ ?1 ? x ? 1 .∴函数的定义域是 ? ?1,1? . ?1 ? x ? 0

60 ? 65 ? 62.5 ,∵各分组频率分别为 0.15,0.25,0.3,0.2,0.1,∴该员工的 2 0.2 ? 0.1 3 体重在[65,75]的概率是 ? . 1 10 a b a b ? ? 13 . 由 正 弦 定 理 , 又 ∵ B ? 2A , ∴ ,∴ sin A sin B sin A 2 sAi n Ac o s
12.众数是

coA s ?

π b 3 ,∴ A ? . ? 6 2a 2

? ? 1与 ? ? 4sin ? 分 别 转 化 为 直 角 方 程 得 y ? 1 , x2 ? y 2 ? 4 y 。 联 立 14 . 曲 线 ? s i n
? ?x ? ? 3 ?y ?1 ?x ? 3 ? ,解得 ? 或? (舍去) 。∴ ? ? ? 2 2 ? ? ?y ?1 ?y ?1 ?x ? y ? 4 y
又0 ?? ?

? 3? ?1
2

2

? 2 , tan ? ?

1 3 , ? 3 3

?
2

,∴ ? ?

? ? ?? .∴交点的极坐标为 ? 2, ? . 6 ? 6?

? ? ? 2 ? ? ? ?2 ? ? sin ? ? 1 ? ? 另解: 联立 ? , 解得 ? , ∴曲线 ? sin ? ? 1 与 ? ? 4sin ? ? 或? ?(舍去) ? ? ? ? ? ? ? ? 4sin ? ? 6 ? 6 ? ?
的交点的极坐标为 ? 2,

? ?

??

?. 6?

15.连接 AO .根据切割线定理 PA2 ? PB ? PC ? 3 ,∴ PA ? 3 .∵ PA ? AO ? PO ?AD

(等面积) ,∴ 3 ?1 ? 2 AD ,∴ AD ?

3 . 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d , ∵?

?a1 ? 2 , ?a3 ? a1 ? 2d ? 6
?????????????????????????????2

∴d ?2 分

数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 ? ? n ?1? ? 2 ? 2n ???????????????????4 分 (2)方法一:∵ S k ? ka1 ?

k (k ? 1) k (k ? 1) d ? 2k ? ? 2 ? k 2 ? k ? 110 ???????6 2 2

分 解得 k ? 10 或 k ? ?11 (舍去) ?????????????????????????8 分 方法二:∵ S k ?

k ? 2 ? 2k ? ? 110 , ???????????????????????6 2

分 解得 k ? 10 或 k ? ?11 (舍去) ?????????????????????????8 分 (3)∵ Sn ? 分 ∴ T2013 ? T1 ? T2 ? T3 ?

1 1 1 1 n(2 ? 2n) ? ? ? n(n ? 1) ,∴ ? Sn n(n ? 1) n n ? 1 2

?????????9

? T2013
1 ? ? 1 ?? ? ? ? 2013 2014 ?

? 1? ?1 1? ?1 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? 3 4?

? 1?

1 2013 ? 2014 2014

?????????????????????????????

12 分 17. (本小题满分 13 分) 解: (1)函数 f ( x) 的最小正周期是 分

T?

2? ? 4? 1 ?????????????????2 2

(2)∵函数 f ( x) 的最大值是 1, A ? 0 ∴ A ? 1 ???????????????????????????????????3 分 ∵ f ? 0? ? sin ? ? 1 又∵ 0 ? ? ? ? ∴? ? 分 ∴ f ( x) 的解析式是 f ? x ? ? sin ? 分 (3) f ? 2 A? ? cos A ?

?
2

?????????????????????????????????5

x ?x ?? ? ? ? cos ?????????????????6 2 ?2 2?

3 , 5

f ? 2 B ? ? ? ? cos
分 ∵ A, B ? ? 0,

1 ?? 5 5 ? 2B ? ? ? ? cos ? ?????8 ? B ? ? ? ? sin B ? ? ,∴ sin B ? 2 2? 13 13 ?

? ?

??
? 2?
2 2 2

4 ?3? ? 5 ? 12 ? ? ? ∴ sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 1 ? ? ? ? 5 13 ?5? ? 13 ?
10 分 ∴ f ? 2C ? ? cos C ? cos ? ?? ? ? A ? B ? ? ?

? ? cos ? A ? B ? ? ? cos A cos B ? sin A sin B
3 12 4 5 16 ?? ? ? ? ?? 5 13 5 13 65
13 分 18. (本小题满分 13 分) 解: (1)依题意 分 (2) x ? ?????????????????????????

2 5?2 ? ,∴ z ? 9 6 z

?????????????????????3

111 ? 120 ? 125 ? 128 ? 132 ? 134 ? 125 6

???????????????5

分 ∴这 6 名考生的语文成绩的方差

1 2 2 2 2 2 2 s 2 ? ? ??111 ? 125? ? ?120 ? 125? ? ?125 ? 125? ? ?128 ? 125? ? ?132 ? 125? ? ?134 ? 125? ? ? 6 ? 1 ? ?? 142 ? 52 ? 02 ? 32 ? 7 2 ? 92 ? ???????????????????8 ? ? 60 6 ?
分 (3)依题意 11 分 解得 x ? 100, y ? 41 ?????????????????????????????

19 ? 6 1 35 ? 19 ? 6 2 ? , ? y?9 2 x? y?9 5

???????????????????

13 分 19. (本小题满分 14 分) (1)证:连接 DE ,交 AF 于点 O ???????????????????????1 分 ∵ D1 D ? 平面 ABCD , AF ? 平面 ABCD ∴ D1D ? AF 分 ∵点 E , F 分别是 BC , D1C 的中点,∴ DF ? CE 又∵ AD ? DC , ?ADF ? ?DCE ? 90 ∴ ?ADF ≌ ?DCE ,∴ ?AFD ? ?DEC 又∵ ?CDE ? ?DEC ? 90 A ∴ ?CDE ? ?AFD ? 90 ∴ ?DOF ? 180 ? ? ?CDE ? ?AFD? ? 90 ,即 AF ? DE 分 又∵ D1D A1 D1 ???????????????????????????????3

D

F O

C E B

???????????5

DE ? D
?????????????????????????????7

∴ AF ? 平面 D1 DE 分

又∵ ED1 ? 平面 D1 DE ∴ AF ? ED1 分 (2)解:∵ D1 D ? 平面 ABCD ,∴ D1 D 是三棱锥 D1 ? AEF 的高,且 D1D ? a ???9 ???????????????????????????????8

分 ∵点 E , F 分别是 BC , D1C 的中点,∴ DF ? CF ? CE ? BE ? ∴ S?AEF ? S正方形ABCD ? S?ADF ? S?FCE ? S?ABE

a 2

1 1 1 ? a 2 ? ? AD ? DF ? ? CF ? CE ? ? AB ? BE 2 2 2

a 2 a 2 a 2 3a 2 ?a ? ? ? ? 4 8 4 8
2

?????????????????????????

12 分 ∴ VE ? AFD1 ? VD1 ? AEF

1 1 3a 2 a3 ? ? S?AEF ? D1D ? ? ?a ? 3 3 8 8
14 分 20. (本小题满分 14 分)

???????????????????????

2 解: (1)依题意,设圆的方程为 ? x ? a ? ? y ? 16 ? a ? 0 ? . 2

???????????1

分 ∵圆与 y 轴相切,∴ a ? 4 ∴圆的方程为 ? x ? 4? ? y2 ? 16
2

???????????????????????4

分 (2)∵椭圆

4 x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 25 b

∴e ?

c 25 ? b2 4 ? ? a 5 5
?????????????????????????????????6

解得 b 2 ? 9 分

∴ c ? a 2 ? b2 ? 4 ∴F 1 ? ?4,0 ? , F 2 ? 4,0 ? , 分 ∴ F2 ? 4,0? 恰为圆心 C 分 (i)过 F2 作 x 轴的垂线,交圆 P 1, P 2 ,则 ?PF 1 2F 1 ? ?P 2 F2 F 1 ? 90 ,符合题意; ? ? ? ???????????????????????????8 ???????????????????????????7

10 分 (ii)过 F1 可作圆的两条切线,分别与圆相切于点 P 3, P 4, 连接 CP 3 , CP 4 ,则 ?F 1P 3F 2 ? ?F 1P 4 F ? 90 ,符合题意. ????????????? 13 分 综上,圆 C 上存在 4 个点 P ,使得 ?PF1 F2 为直角三角形.????????????? 14 分 21. (本小题满分 14 分) 解:(1) f ?(x)=3x +3? a ?1? x ??a ? 3? x ?1?? x ? a ? .
2

?????????????2

分 令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? ?a 分 (i)当 ? a ? 1 ,即 a ? ?1 时, f ?(x )=3 ? x ? 1? ? 0 , f (x) 在 ? ??, ?? ? 单调递增 ???4
2

?????????????????????????3

分 (ii)当 ? a ? 1 ,即 a ? ?1 时, 当 x ? x2或x ? x1 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ? ??, x2 ? 和? x1,? ?? 内单调递增 当 x2 ? x ? x1 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ? x2 , x1 ? 内单调递减 分 (iii)当 ? a ? 1 ,即 a ? ?1 时, 当 x ? x1或x ? x2 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ? ??, x1 ? 和? x2 ,? ?? 内单调递增 当 x1 ? x ? x2 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ? x1 , x2 ? 内单调递减 分 综上, 当 a ? ?1 时, f (x) 在 ? ??, x1 ? 和? x2 ,? ?? 内单调递增, f (x) 在 ? x1 , x2 ? 内单调递减; 当 a ? ?1 时, f (x) 在 ? ??, ?? ? 单调递增; 当 a ? ?1 时, f (x) 在 ? ??, x2 ? 和? x1,? ?? 内单调递增, f (x) 在 ? x2 , x1 ? 内单调递减. (其中 x1 ? 1, x2 ? ?a ) 分 (2)当 a ? 3 时, f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 1, x ?[m, 2] ???????????????????????????7 ?????????????6 ?????????????5

f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ?1)

令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? ?3 分

?????????????????????????8

将 x , f ?( x ) , f ( x) 变化情况列表如下:

x
f ?( x ) f ( x)

(??,?3)

?3
0 极大

( ?3,1)
?


1 0 极小

(1,2]

?


?


??????????????????????????????????????? 10 分 由此表可得

f ( x)极大 ? f (?3) ? 28 , f ( x)极小 ? f (1) ? ?4
11 分

?????????????????

又 f (2) ? 3 ? 28 ??????????????????????????????? 12 分

(? ?, ? 3] . ??????????? 故区间 [ m, 2] 内必须含有 ? 3 ,即 m 的取值范围是
14 分


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河北衡水中学2017届全国高三大联考试题及答案

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