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4.6两角和与差的三角函数


一.课题:两角和与差的三角函数 二.教学目标:掌握两角和与差的三角函数公式,掌握二倍角公式;能运用这些公式进 行三角化简,求值等有关运算问题. 三.教学重点:公式的灵活运用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.两角和与差的三角函数公式;二倍角公式; 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2.降次公式: cos 2 ? ? , sin 2 ? ? . 2 2 (二)主要方

法: 1.寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系,把握式子的变形方向,准确运用公 式; 2.三角变换主要体现在:函数名称的变换、角的变换、 1 的变换、和积的变换、幂的 变换等方面; 3.掌握基本技巧:切割化弦,异名化同名,异角化同角等. (三)例题分析:
1 11 ? ? , cos(? ? ? ) ? ? , ? ? (0, ) , ? ? ? ? ( , ? ) 求 ? 的值. 7 14 2 2 1 ? 4 3 解:∵ cos ? ? , ? ? (0, ) ,∴ sin ? ? , 7 2 7 11 ? 5 3 又∵ cos(? ? ? ) ? ? , ? ? ? ? ( , ? ) ,∴ sin ? ? , 14 2 14 1 ∵ cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? , 2

例 1.已知 cos ? ?

? ? 又∵ ? ? (0, ) , ? ? ? ? ( , ? ) , ? ? (0, ? ) , 2 2 ? ∴? ? . 3

例 2.已知 A 为一三角形的內角,求 y ? cos 2 A ? cos 2 (

2? 1 ? cos 2( ? A) 2 ? 1 ? cos 2 A 3 解: cos2 A ? cos2 ( ? A) ? ? 3 2 2 4? 4? ? 1 ? cos 2 A ? cos cos 2 A ? sin sin 2 A 3 3 1 3 ? ? 1 ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1 ? cos(2 A ? ) . 2 2 3 1 ? ∵ A 为一三角形內角, ? ? cos(2 A ? ) ? 1 , 2 3

2? ? A) 的取值范围. 3

2? 1 ? A) 的取值范围是 ( ,1] . 3 2 2sin 50 ? sin80 (1 ? 3 tan10 ) 例 3.求值: . 1 ? cos10 2sin 80 2sin 80 1 3 cos(60 ? 10 ) 2sin 50 ? ( cos10 ? sin10 ) 2sin 50 ? cos10 cos10 2 2 ? 解:原式 ? 2 cos 5 2 cos 5 2 2 2( sin 50 ? cos 50 ) 2cos(50 ? 45 ) 2 2 ? ? ?2. cos 5 cos 5

∴ y ? cos 2 A ? cos 2 (

2? ? ; (2) tan ? tan ? ? 2 ? 3 同时成 3 2 立,若存在,求出 ? , ? 的值;若不存在,说明理由.

例 4.是否存在两个锐角 ? , ? 满足(1) ? ? 2? ?

解: 由 (1) 得

?
2

?? ?

?
3

, ∴ 3 ?t a n (

?
2

?) ? ?

t a n

?
2

? t a n

?

1 ?t a n t a n 2

?

? t a n ? ? , ∴? ?t ? a n ? ?

? ?

t a n ? 2 2 ? t a n

? 2? ? 3


? 3? ? 3

? tan ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ? tan ? 2 ? 3 ? ∴? 或? ? (∵ 0 ? ? ,∴ tan ? 1,舍去) , 2 2 4 2 tan ? 1 ? ? ? tan ? ? 1 ? 2 ? ? ?? ? ? 6 ∴? 为所求满足条件的两个锐角. ? ?? ? ? ? 4
(四)巩固练习: 1 ? tan15 1.化简 等于 1 ? tan15 ( A )
( A) 3 (B)

3 2

(C ) 3
7 . 5 1 . 2

( D) 1

2.已知 sin ? ? 2cos ? ? 0 ,则 sin 2? ? cos 2? ? ?

3.在 ?ABC 中, (1 ? cot A)(1 ? cot B) ? 2 ,则 log 2 sin C ? ?

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 26,智能训练 4,5,6,10,11,12,13,14.


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《两角和与差的余弦公式》教学设计

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