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高考复习 数列通项公式的几种求法及高考真题


数列通项公式的求法
1.观察法:已知数列的前几项,要求写出数列的一个通项公式,主要从以下几个方面来
考虑,一是对数列的项进行分拆以后,寻找分拆项之间的规律;二是如果数列中出现正负项 相间的话,则需用 ?? 1? 或 ?? 1?
n n ?1

来调节;三是和等差与等比数列相联系,利用特殊数列求

解。 例 1、

求下列数列的一个通项公式。 ① 2 , ?4

1 5

3 5 7 ,8 , ?16 10 15 20

②1,0,1,0 ④11,103,1005,10007

③3,33,333,3333

2.前 n 项和法(知 S n 求 an ) a n ? ?

( n ? 1) ?S1 ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)

1、若数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2 n ,求该数列的通项公式。

2、若数列 {an } 的前 n 项和 S n ?

3 a n ? 3 ,求该数列的通项公式。 2

3、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,且满足 a1 ? 通项公式。

1 , an ? ?2S n S n ?1 (n ? 2) ,求数列 ?an ? 的 2

3.形如 an?1 ? an ? f (n) 型(累加法)
(1)若 f(n)为常数,即: a n?1

? an ? d ,此时数列为等差数列,则 a n = a1 ? (n ? 1)d .
3n ? 1 2

(2)若 f(n)为 n 的函数时,用累加法. 例 1.已知数列{an}满足 a1 ? 1, an ? 3n?1 ? an?1 (n ? 2) ,证明 a n ?

例 2.已知数列 ?an ? 的首项为 1,且 an?1 ? an ? 2n(n ? N * ) 写出数列 ?an ? 的通项公式.

例 3.已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , a n ? a n ?1 ?

1 (n ? 2) ,求此数列的通项公式. n(n ? 1)

注意:形如 an?1 ? an ? f (n) 型 (1)若 a n?1 ? a n ? d (d 为常数) ,则数列{ a n }为“等和数列”,它是一个周期数列,周 期为 2,其通项分奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为 an?1 ? an ? f (n) 型,通过累加 来求出通项;或用逐差法(两式相减)得 an?1 ? an?1 ? f (n) ? f (n ? 1) ,,分奇偶项来分求通 项. 例 1. 数列{ a n }满足 a1 ? 0 , a n?1 ? a n ? 2n ,求数列{an}的通项公式.

a n ?1 ? f (n) 型(累乘法) an a (1) 当 f(n)为常数, 即: n ?1 ? q (其中 q 是不为 0 的常数) , 此数列为等比且 a n = a1 ? q n?1 . an

4.形如

(2)当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法. 例 1、在数列 {an } 中 a1 ? 1, a n ?

n a n ?1 (n ? 2) ,求数列的通项公式。 n ?1

练习、在数列 {an } 中 a1 ? 1, (n ? 1 )an ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 a n 与S n 。

pan ?1 型(取倒数法) ra n ?1 ? s a n?1 (n ? 2) ,求通项公式 an 例 1. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a n ? 2a n?1 ? 1

5.形如 a n ?

例 2.若数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2an an?1 ,求通项公式 an .

6.形如 an?1 ? qan ? d ,(c ? 0 ,其中 a1 ? a )型(构造新的等比数列)
(1)若 c=1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 d=0 时,数列{ a n }为等比数列; (3)若 c ? 1, d ? 0 时,数列{ a n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数 列来求. 方法如下:设 an?1 ? A ? q(an ? A) ,利用待定系数法求出 A

例 1.已知数列 {an } 中, a1 ? 2, a n ?1 ?

1 1 a n ? , 求通项 a n . 2 2

练习.若数列 {an } 中, a1 ? 1 , a n ?1 ?

2 a n ? 1 ,求通项公式 an 。 3

7.形如 a n?1 ? pan ? f (n) 型(构造新的等比数列)
(1)若 f (n) ? q n (其中 q 是常数,且 n ? 0,1) ①若 p=1 时,即: a n?1 ? an ? q n ,累加即可 ②若 p ? 1 时,即: a n?1 ? p ? an ? q n ,后面的待定系数法也用指数形式。 两边同除以 q 令 bn ?
n ?1

. 即:

a n?1
n ?1

,则可化为 bn ?1 qn 1、已知 a1 ? 2 , an ? 2an?1 ? 2n (n ? 1) ,求 an 。

an

q p 1 ? ? bn ? .然后转化为类型 6 来解, q q

?

p an 1 ? ? , q qn q

2、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 3 ? 2 n ,求通项公式 an 。

8.形如 an?1 ? pan ? qan?1 (其中 p,q 为常数)型
(1)当 p+q=1 时 用转化法 例 1.数列 { an } 中,若 a1 ? 8, a 2 ? 2 ,且满足 an? 2 ? 4an?1 ? 3an ? 0 ,求 an .

(2)当 p 2 ? 4q ? 0 时

用待定系数法.

例 2. 已知数列 { an } 满足 an? 2 ? 5an?1 ? 6an ? 0 ,且 a1 ? 1, a2 ? 5 ,且满足,求 an .

r 9. 形如 an?1 ? pan (其中 p,r 为常数)型

(1)p>0, a n ? 0 用对数法. (2)p<0 时
2 例 1. 设正项数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a n ? 2a n a n ? 的通项公式. ?1 (n≥2).求数列 ?

用迭代法.

例 2 已知数列 {an } 的各项都是正数 , 且满足 : a 0 ? 1, a n ?1 ? (1)证明 an ? an?1 ? 2, n ? N ;

1 a n (4 ? a n ), n ? N , 2

(2)求数列 {an } 的通项公式 an.

练习:
1.(2014 全国大纲卷.文 17)数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 2 . (Ⅰ)设 bn ? an ?1 ? an ,证明 {bn } 是等差数列; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式;

2. (全国 II)设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S4 ? 1, S8 ? 17, 求通项公式an

3. (全国卷 I)已知 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ?

20 ,求 ?an ? 的通项式。 3

4. (安徽卷)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件 求数列 ?an ? 的通项公式;

S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2, Sn n ?1



5. (辽宁卷) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? 2a ? q( p, q ? R), n ? N 求 q 的值;

6. (全国卷 I) 设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ? 通项 an ;

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? ,n ? 1, 2,3, 3 3 3

求首项 a1 与

7.(福建卷)已知数列{a n }满足 a 1 =1,a n?1 =2a n +1(n∈N )求数列{a n }的通项公式;

?

8. (福建卷)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式;

9. (江西卷)已知数列{an}满足:a1=

3 3na n-1 ,且 an= (n ? 2,n ? N?) 2 2a n-1+n- 1

求数列{an}的通项公式;

a1 ? 10. (山东卷) 已知数列 { an } 中,

1 ,点(n, 2an ?1 ? an) 在直线 y=x 上, 其中 n=1,2,3?. 2

(Ⅰ)令 bn ? an?1 ? an ? 3, 求证数列 (Ⅱ)求数列 ?an ? ?bn ?是等比数列; 的通项;

数列通项公式的求法
1.观察法:已知数列的前几项,要求写出数列的一个通项公式,主要从以下几个方面来
考虑,一是对数列的项进行分拆以后,寻找分拆项之间的规律;二是如果数列中出现正负项 相间的话,则需用 ?? 1? 或 ?? 1?
n n ?1

来调节;三是和等差与等比数列相联系,利用特殊数列求

解。 例 1、求下列数列的一个通项公式。 ① 2 , ?4

1 5

3 5 7 ,8 , ?16 10 15 20

②1,0,1,0 ④11,103,1005,10007
n

③3,33,333,3333

解:①此数列可拆为三部分,第一部分为 2,4,8,16 通项是 2 ,第二部分分子部分为

1,3,5,7 ,通项是 2n ? 1 ,第三部分分母部分为 5,10,15,20 通项是 2 n ,再由 ?? 1?
负号即可,故 an ? ? ?1?
n ?1

n ?1

来调节正

(2n ?

2n ? 1 ); 5n

② 此 数 列 是 由 两 个 基 本 数 列 1,1,1,1?????? 和 ?1, ?1, ?1, ?1?????? 求 得 , 故

1 ? ?? 1? an ? 2

n ?1



1 1 1 1 ? 9 ? 10 1 ? 1 , 33 ? ? 99 ? 10 2 ? 1 , 3 3 3 3 1 1 3 1 1 4 1 n 333 ? ? 999 ? 10 ? 1 , 3333 ? ? 9999 ? 10 ? 1 从而可得 a n ? 10 ? 1 3 3 3 3 3
③ 在 此 数 列 中

3?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

④此数列是由两个基本数列 10,100,1000,10000 ?????? 与 1,3,5, 7 ?????? 对应项求和而 得,故通项公式为 an ? 10n ? 2n ? 1

2.前 n 项和法(知 S n 求 an ) a n ? ? 1 ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)
1、若数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2 n ,求该数列的通项公式。答案: a n ? ?

?S

( n ? 1)

?2 ?2
n ?1

( n ? 1) ( n ? 2)

2、若数列 {an } 的前 n 项和 S n ?

3 a n ? 3 ,求该数列的通项公式。答案: an ? 2 ? 3n 2

3、例 5、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,且满足 a1 ?

1 , an ? ?2S n S n ?1 (n ? 2) ,求数列 2

?an ?的通项公式。
解:∵当 n ? 2 时有, an ? ?2Sn Sn?1 , an ? Sn ? Sn?1 ∴ Sn ? Sn?1 ? ?2Sn Sn?1 ,∴

1 1 ? ?2, Sn Sn?1

则?

?1? 1 1 ? 是以 ? ? 2 为首项,2 为公差的等差数列。 S1 a1 ? Sn ?



1 1 , ( n ? 2) ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ∴ S n ? 2n Sn

∵ an ? Sn ? Sn?1 ,∴ an ?

1 1 1 ? ?? , (n ? 2) 2n 2(n ? 1) 2n(n ? 1)

?1 , (n ? 1) ? 1 ?2 又 a1 ? ,故 an ? ? 为所求的通项公式。 1 2 ?? , (n ? 2) ? ? 2n(n ? 1)

3.形如 an?1 ? an ? f (n) 型(累加法)
(1)若 f(n)为常数,即: a n?1

? an ? d ,此时数列为等差数列,则 a n = a1 ? (n ? 1)d .
3n ? 1 2

(2)若 f(n)为 n 的函数时,用累加法. 例 1.已知数列{an}满足 a1 ? 1, an ? 3n?1 ? an?1 (n ? 2) ,证明 a n ? 证明:由已知得: an ? an?1 ? 3n?1 , 故

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
3n ? 1 3n ? 1 . an ? . 2 2 例 2.已知数列 ?an ? 的首项为 1,且 an?1 ? an ? 2n(n ? N * ) 写出数列 ?an ? 的通项公式.
=3
n ?1

? 3n?2 ? ? ? 3 ? 1 ?

?

2 答案: n ? n ? 1

例 3.已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , a n ? a n ?1 ? 答案: a n ? 4 ?

1 (n ? 2) ,求此数列的通项公式. n(n ? 1)

1 n 评注:已知 a1 ? a , an?1 ? an ? f (n) ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、指数函数、分
式函数,求通项 a n . ①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;

②若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ③若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。 注意:形如 an?1 ? an ? f (n) 型 (1)若 a n?1 ? a n ? d (d 为常数) ,则数列{ a n }为“等和数列”,它是一个周期数列,周 期为 2,其通项分奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为 an?1 ? an ? f (n) 型,通过累加 来求出通项;或用逐差法(两式相减)得 an?1 ? an?1 ? f (n) ? f (n ? 1) ,,分奇偶项来分求通 项. 例 1. 数列{ a n }满足 a1 ? 0 , a n?1 ? a n ? 2n ,求数列{an}的通项公式. 分析 1:构造 转化为 an?1 ? an ? f (n) 型 解 法 1 : 令

bn ? (?1) n an
.



bn?1 ? bn ? (?1) n?1 an?1 ? (?1) n an ? (?1) n?1 (an?1 ? an ) ? (?1) n?1 ? 2n
?bn ? bn ?1 ? (?1) n ? 2(n ? 1) ? n ?1 ?bn ?1 ? bn ? 2 ? (?1) ? 2(n ? 2) ? 时, ??? ?b ? b ? (?1) 2 ? 2 ? 1 1 ? 2 ?b1 ? ?a1 ? 0 ?
各式相加: bn ? 2 (?1) n (n ? 1) ? (?1) n?1 (n ? 2) ? ? ? (?1) 3 ? 2 ? (?1) 2 ? 1 当 n 为偶数时, bn ? 2?(n ? 1) ? (?1) ? 当 n 为奇数时, bn ? 2(?

n?2

?

?

? ?

n ? 2? ? n .此时 an ? bn ? n 2 ? ?

n ?1 ) ? ?n ? 1 2

此时 bn ? ?a n ,所以 a n ? n ? 1 .故 解法 2:? a n?1 ? a n ? 2n

?n ? 1, n为奇数, an ? ? ?n, n为偶数.

? n ? 2 时, a n ? a n?1 ? 2(n ? 1) ,

两式相减得:a n?1 ? a n?1 ? 2 .? a1 , a3 , a5 , ?, 构成以 a1 ,为首项,以 2 为公差的等差数列;

a2 , a4 , a6 , ?, 构成以 a 2 ,为首项,以 2 为公差的等差数列

?n ? 1, n为奇数, ? a2k ?1 ? a1 ? (k ? 1)d ? 2k ? 2 a2k ? a2 ? (k ?1)d ? 2k . ? a n ? ? ?n, n为偶数.
评注:结果要还原成 n 的表达式.

a n ?1 ? f (n) 型(累乘法) an a (1) 当 f(n)为常数, 即: n ?1 ? q (其中 q 是不为 0 的常数) , 此数列为等比且 a n = a1 ? q n?1 . an

4.形如

(2)当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法. 例 1、在数列 {an } 中 a1 ? 1, a n ?

n a n ?1 (n ? 2) ,求数列的通项公式。 n ?1

答案: a n ?

2 n ?1

练习、在数列 {an } 中 a1 ? 1, n ? 1an ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) ,求 a n 与S n 。 答案: a n ?

2 n(n ? 1)

pan ?1 型(取倒数法) ra n ?1 ? s a n?1 (n ? 2) ,求通项公式 an 例 1. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a n ? 2a n ?1 ? 1 1 1 1 1 解:取倒数: ? ?2? ? ?2 a n a n?1 a n a n ?1 1 1 3 ? ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? a n a1 2

5.形如 a n ?

2 . 4n ? 3 例 2.若数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2an an?1 ,求通项公式 an . ? an ?
答案: a n ?

1 2n ? 1

6.形如 an?1 ? qan ? d ,(c ? 0 ,其中 a1 ? a )型(构造新的等比数列)
(1)若 c=1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 d=0 时,数列{ a n }为等比数列; (3)若 c ? 1, d ? 0 时,数列{ a n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数 列来求. 方法如下:设 an?1 ? A ? q(an ? A) ,利用待定系数法求出 A

例 1.已知数列 {an } 中, a1 ? 2, a n ?1 ? 分析:待定系数法构造 an?1 ? 解:由 a n ?1 ? 则 an ?1 ? 1 ?

A ? c(an ? A) 构造新的等比数列。

1 1 a n ? , 求通项 a n . 2 2

1 1 1 a n ? , 设 an ?1 ? A ? (an ? A) ,解出 A=-1, 2 2 2

1 1 (an ? 1) 所以数列 {an ? 1} 构成以 a1 ? 1 ? 1 为首项,以 为公比的等比数列 2 2 1 n ?1 1 n ?1 ?1. 所以 a n ? 1 ? ( ) ,即 a n ? ( ) 2 2

练习.若数列 {an } 中, a1 ? 1 , a n ?1 ?

2 2 a n ? 1 ,求通项公式 an 。答案: a n ? 3 ? 2 ? ( ) n ?1 3 3

7.形如 a n?1 ? pan ? f (n) 型(构造新的等比数列)
(1)若 f (n) ? q (其中 q 是常数,且 n ? 0,1)
n

①若 p=1 时,即: a n?1 ? an ? q n ,累加即可 ②若 p ? 1 时,即: a n?1 ? p ? an ? q n ,后面的待定系数法也用指数形式。 两边同除以 q n?1 . 即: 令 bn ?

a n?1
n ?1

,则可化为 bn ?1 qn 1、已知 a1 ? 2 , an ? 2an?1 ? 2n (n ? 1) ,求 an 。

an

q p 1 ? ? bn ? .然后转化为类型 6 来解, q q

?

p an 1 ? ? , q qn q

a1 ? 1 , 2、 已知数列 ?an ? 中, 求通项公式 an 。 答案: an?1 ? 3an ? 3 ? 2 n , an ? 7 ? 3n?1 ? 3 ? 2 n

评注:本题的关键是两边同除以 2 ,进而转化为类型 5,构造出新的等比数列,从而将求 一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.

n ?1

8.形如 an?1 ? pan ? qan?1 (其中 p,q 为常数)型
(1)当 p+q=1 时 用转化法 { a } 例 1.数列 n 中,若 a1 ? 8, a 2 ? 2 ,且满足 an? 2 ? 4an?1 ? 3an ? 0 ,求 an . 解:把 an? 2 ? 4an?1 ? 3an ? 0 变形为 an? 2 ? an?1 ? 3(an?1 ? an ) . 则数列 ?a n ?1 ? a n ?是以 a 2 ? a1 ? ?6 为首项,3 为公比的等比数列,则

an?1 ? an ? ?6 ? 3n?1

利用类型 3 的方法可得

an ? 11 ? 3n .

(2)当 p 2 ? 4q ? 0 时

用待定系数法.

例 2. 已知数列 { an } 满足 an? 2 ? 5an?1 ? 6an ? 0 ,且 a1 ? 1, a2 ? 5 ,且满足,求 an . 解:令 a n? 2 ? xan?1 ? y(a n?1 ? xan ) ,即 an? 2 ? ( x ? y)an?1 ? xyan ? 0 ,与已知

?x ? 2 ?x ? 3 ?x ? y ? 5 ,故 ? 或? an?2 ? 5an?1 ? 6an ? 0 比较,则有 ? ?y ? 3 ?y ? 2 ? xy ? 6 ?x ? 2 由? 来运算,即有 a n?2 ?2an?1 ? 3(an?1 ? 2an ) , ?y ? 3 则数列 ?a n ?1 ? 2a n ?是以 a 2 ? 2a1 ? 3 为首项,3 为公比的等比数列,故
an?1 ? 2an ? 3 ? 3n?1 ? 3n ,即 an?1 ? 2an ? 3n ① ?x ? 3 由? 来运算,即有 a n?2 ?3an?1 ? 2(an?1 ? 3an ) , ?y ? 2 则数列 ?an?1 ? 3an ?是以 a2 ? 3a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列,故

an?1 ? 3an ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n ,即 an?1 ? 3an ? 2 n
由①②可得 a n ? 3 ? 2 .
n n



评注: 形如 an? 2 ? aan?1 ? ban 的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种 方 法 比 较 复 杂 , 我 们 采 用 特 征 根 的 方 法 : 设 方 程 ( x ? a) x ? b 的 二 根 为 ? , ? , 设

an ? p ? ? n ? q ? ? n ,再利用 a1 , a 2 的值求得 p,q 的值即可.
r 9. 形如 a n?1 ? pan (其中 p,r 为常数)型

(1)p>0, a n ? 0 (2)p<0 时

用对数法.

2 例 1. 设正项数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a n ? 2a n a n ? 的通项公式. ?1 (n≥2).求数列 ?

用迭代法.
a

解:两边取对数得: log2n ? 1 ? 2 log2n?1 , log2n ? 1 ? 2(log2n?1 ? 1) ,设 bn ? log2n ? 1 ,
a a a

a

则 bn ? 2bn?1

?bn ?是以 2 为公比的等比数列, b1 ? log1 2?1 ? 1
a n?1 n , log2n ? 2 n?1 ? 1 ,∴ a n ? 2 2 bn ? 1 ? 2 n?1 ? 2 n?1 , loga 2 ?1? 2
n ?1

?1

练习 数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , a n ? 2 a n ?1 ( n ≥ 2 ) ,求数列 ?a n ? 的通项公式 . 答案:

a n ? 2 2? 2

2?n

例 2(江西 2005) 已知数列 {an } 的各项都是正数 , 且满足 : a 0 ? 1, a n ?1 ? (1)证明 an ? an?1 ? 2, n ? N ; 解: (1)略(2)a n ?1 ?

1 a n (4 ? a n ), n ? N , 2

(2)求数列 {an } 的通项公式 an.

1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 所以 2(an?1 ? 2) ? ?(an ? 2) 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1? 2 ??? 2 2 2 又 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn ?1 ? ? (? bn ? 2 ) ? ? ? ( ) 2 bn bn ?1 ? ? ? ?( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 n ?1 1 n , 即a n ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 . bn=-1,所以 bn ? ?( ) 2 2
2 n ?1 n

方法 2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.

解法 3:设 c n ? ?bn ,则 c n ?

1 2 c n ?1 ,转化为上面类型(1)来解. 2

练习:
1.(2014 全国大纲卷.文 17)数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 2 . (Ⅰ)设 bn ? an ?1 ? an ,证明 {bn } 是等差数列; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式;

2. (全国 II)设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S4 ? 1, S8 ? 17, 求通项公式an . 解:设 {an } 的公比为 q,由 S4 ? 1, S8 ? 17知q ? 1 ,所以得

a1 (q 4 ? 1) ? 1 ?① q ?1

a1 (q8 ? 1) q8 ? 1 ? 17 ??②由①、②式得整理得 4 ? 17 解得 q 4 ? 16 所以 q=2 或 q=-2 q ?1 q ?1
将 q = 2 代 入 ① 式 得 a1 ?

1 1 2n ?1 ,所以 a ? 将 q = - 2 代 入 ① 式 得 a1 ? ? , 所 以 15 15 5

an ?

( ?1) n ? 2 n ?1 5

3. (全国卷 I)已知 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ?

20 ,求 ?an ? 的通项式。 3

a3 2 2 20 解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= = , a4=a3q=2q 所以 + 2q= , 解得 q q q 3 1 q1= , q2= 3, 3 1 1 n-1 18 2 2 3-n 当 q1= , a1=18.所以 an=18×( ) = n-1 = 2×3 . 当 q=3 时, a1= , 所以 an= ×3n- 3 3 3 9 9 1=2×3
n-3

.

4. (安徽卷)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件 求数列 ?an ? 的通项公式; 解:设 等差数列 ?an ? 的公差为 d , 由

S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2, Sn n ?1



S2 n 4n ? 2 a ? a2 得: 1 ? ? 3 ,所以 a2 ? 2 , 即 a1 Sn n ?1

4n ? 2 S 2 n ? ? d ? a2 ? a1 ? 1 ,又 n ?1 Sn
所以 an ? n 。

an ? nd ? a1 ? 2n 2(a ? nd ? a ) 2(a ? n ? 1) n n 1 2 = , ? an ? a1 a ? 1 a ? a n n 1 ?n 2

5. (辽宁卷) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? 2a ? q( p, q ? R), n ? N 求 q 的值; 解法一:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? p ? 2 ? q , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? pn2 ? 2n ? q ? p(n ?1)2 ? 2(n ?1) ? q ? 2 pn ? p ? 2 .

?an ? 是等差数列,? p ? 2 ? q ? 2 p ? p ? 2 ,? q ? 0 ············4 分
解法二:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? p ? 2 ? q , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? pn2 ? 2n ? q ? p(n ?1)2 ? 2(n ?1) ? q ? 2 pm ? p ? 2 . 当 n ? 3 时, a1 ? an?1 ? 2 pn ? p ? 2 ? [2 p(n ?1) ? p ? 2] ? 2 p .

a2 ? p ? 2 ? q ? 2 p ? 3 p ? 2 ? q .又 a2 ? 2 p ? 2 ? p ? 2 ? 3 p ? 2 ,所以 3 p ? 2 ? q ? 3 p ? 2 ,
得 q ? 0 ··4 分 6. (全国卷 I) 设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ? 通项 an ; 4 1 4 1 2 n+1 2 解: 由 Sn= an- ×2 + , n=1,2,3,? , ① 得 a1=S1= a1- ×4+ 所以 a1=2. 3 3 3 3 3 3 4 1 4 1 n 2 再由①有 Sn-1= an-1- ×2 + , n=2,3,4,?将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= (an-an-1)- × 3 3 3 3 3 (2 - 2 ),n=2,3, ?整理得 : an+2 =4(an - 1+2
n n+1 n n n-1

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? ,n ? 1, 2,3, 3 3 3

求首项 a1 与

),n=2,3, ? , 因而数列 { an+2 } 是首项为
n-1

n

a1+2=4, 公比为 4 的等比数列 , 即 : an+2 =4 × 4 n=1,2,3, ?,

= 4 , n=1,2,3, ? , 因而 an=4 - 2 ,

n

n

n

7.(福建卷)已知数列{a n }满足 a 1 =1,a n?1 =2a n +1(n∈N )求数列{a n }的通项公式; 解析:本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题 能力。 解:

?

an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ), ?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1), ??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为

公比的等比数列。? an ? 1 ? 2n. 即

an ? 22 ?1(n ? N * ).

8. (福建卷)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式; (I)证明:

an?2 ? 3an?1 ? 2an ,

? an ? 2 ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ), a1 ? 1, a2 ? 3, ? an ? 2 ? an?1 ? 2(n ? N * ). an ?1 ? an

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。

(II)解:由(I)得 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n ?1 ? 2n ?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).

9. (江西卷)已知数列{an}满足:a1=

3 3na n-1 ,且 an= (n ? 2,n ? N?) 2 2a n-1+n- 1

求数列{an}的通项公式; 解: 将条件变为:1-

1 n-1 n n =( ,因此{1- }为一个等比数列,其首项为 1- ) a n-1 an 3 an

1 1 n ? 3n 1 1 n 1- = ,公比 ,从而 1- = ,据此得 an= n (n?1)????1? 3 3 -1 a1 3 a n 3n
a1 ? 10. (山东卷) 已知数列 { an } 中, 1 ,点(n, 2an ?1 ? an) 在直线 y=x 上, 其中 n=1,2,3?. 2

(Ⅰ)令 bn ? an?1 ? an ? 3, 求证数列 (Ⅱ)求数列 ?an ? ?bn ?是等比数列; 的通项; 解: (I)由已知得

a1 ?

1 , 2an ?1 ? an ? n, 2

3 3 1 3 a2 ? , a2 ? a1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? , 4 4 2 4

又 bn ? an?1 ? an ?1, bn?1 ? an?2 ? an?1 ?1,

b a ? a ?1 ? n ?1 ? n ?1 n ? bn an ? 2 ? an ?1 ? 1

an ?1 ? (n ? 1) an ? n an ?1 ? an ? 1 ? 1 2 2 ? 2 ? . an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 2

3 1 ?{bn } 是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列. 4 2 3 1 n ?1 3 1 (II)由(I)知, bn ? ? ? ( ) ? ? ? n , 4 2 2 2

3 1 3 1 ? an ?1 ? an ? 1 ? ? ? n , ? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? , 2 2 2 2 3 1 3 1 a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 , ?????? ? an ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2
将以上各式相加得:

3 1 1 1 ? an ? a1 ? (n ? 1) ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ?1 ), 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 3 2 1 3 1 3 2 ? an ? a1 ? n ? 1 ? ? ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 ? an ? n ? n ? 2. 2


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