第二章：圆锥曲线3

练习三 一、选择题 1．平面上到点 A(－5,0)、B(5,0)距离之和为 10 的点的轨迹是( A．椭圆 C．线段 2．已知椭圆 B．圆 D．轨迹不存在 ＋ ＝1 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在椭圆上．若 P、F1、 16 9 ) 9 7 7 9 4 )

x

2

y

2

>
F2 是一个直角三角形的三个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为(
9 A. 5 3．椭圆 B．3 C. D.

＋ ＝1 的一个焦点为 F1，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点 M 在 y 12 3 ) C．± 3 2 D．± 3 4 2 2

x2

y2

轴上，那么点 P 的纵坐标是( A．± 3 4 B．±

4．椭圆 ＋y2＝1 的两个焦点为 F1、F2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交， 4 一个交点为 P，则|PF2|＝( A. 3 2 B. 3 ) C. 7 2 D．4 于 A、B 两 长 D．2 2 ) 是

x2

5．过椭圆 4x2＋y2＝1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交 点，则 A、B 与椭圆的另一个焦点 F2 构成△ABF2 的周 ( ) B．4 C.
2

A．2

2

6．已知椭圆的方程为 A．－4≤m≤4 C．m>4 或 m<－4 二填空题

y 16 m

x

2

＋ 2＝1，焦点在 x 轴上，则 m 的取值范围是( B．－4<m<4 且 m≠0 D．0<m<4

x2 y2 7．F1，F2 分别为椭圆 2＋ 2＝1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，△POF2 是面积为 3 a b
的正三角形，则 b2＝______. 1 1 8. 已知 A(－ ，0)，B 是圆 F：(x－ ) 2＋y2＝4(F 为圆心)上一动点，线段 AB 2 2 的垂直平分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为____________． 三解答题 9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 1 (2)坐标轴为对称轴，并且经过两点 A(0,2)，B( ， 3) 2

1 10．在面积为 1 的△PMN 中，tanM＝ ，tanN＝－2，建立适当的坐标系，求以 M、 2

N 为焦点且过点 P(x0，y0)(y0>0)的椭圆方程．

练习三 4 1．C；2.D；3.C；4.C；5.B；6.B；7. 2 3；8. x2＋ y2＝1； 3

y2 x2 9．[解析] (1)由于椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 2＋ 2＝ a b
1(a>b>0) 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 4 0 ? ?a ＋b ＝1， ∴? 0 1 ? ?a ＋b ＝1.
2 2 2 2

?a ＝4， ?? 2 ?b ＝1
2

故所求椭圆的方程为 ＋x2＝1. 4

y2

x2 y2 (2)设所求椭圆的方程为 ＋ ＝1(m>0，n>0)． m n
1 ∵椭圆过 A(0,2)，B( ， 3)， 2 0 4 ? ?m＋n＝1， ∴? 1 3 ? ?4m＋n＝1，
2

?m＝1， 解得? ?n＝4.

∴所求椭圆方程为 x ＋ ＝1. 4 10．[解析] 以线段 MN 的中点为原点，MN 所在直线为 x 轴，建立坐标系．

y2

设 M(－c,0)，N(c,0)，c>0， 又 P(x0，y0)，y0>0. ＝－2， ? ?x －c 1 由? y ＝ ， x ＋c 2 ? ?cy ＝1

y0
0

0

0

5 ? x ＝ c， ? 3 ?? 4 y ＝ c， ? ? 3
0 0

?P(

5 2 3

，

2 )． 3

0

设椭圆方程为

x2

b2＋

y2 3 b
4

＋ 2＝1，又 P 在椭圆上，

故b(

2

3 2 2 3 2 2 2 2 ) ＋(b ＋ )( ) ＝b (b ＋ )， 4 4 2 3 3

5

整理得 3b4－8b2－3＝0?b2＝3. 所以所求椭圆方程为

x2
15 4

＋ ＝1. 3

y2