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数列函数极限和函数连续性


数列、函数极限和函数连续性
数列极限
定义 1( ? ? N 语言) ?an ? 是个数列,a 是一个常数,若 ?? ? 0 ,? 正整数 N , :设 使得当 n ? N 时,都有 an ? a ? ? ,则称 a 是数列 ?an ? 当 n 无限增大时的极限,或 称 ?an ? 收敛于 a ,记作 lim an ? a ,或 an ? a ? n ? ??

? .这时,也称 ?an ? 的极限
n ???

存在. 定义 2( A ? N 语言) :若 A ? 0 , ? 正整数 N ,使得当 n ? N 时,都有 an ? A ,则称

?? 是数列 ?an ? 当 n 无限增大时的非正常极限,或称 ?an ? 发散于 ?? ,记作
n ???

lim an ? ?? 或 an ? ?? ? n ? ??? ,这时,称 ?an ? 有非正常极限,对于 ??, ? 的定

义类似,就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫,我们先介绍一些常用 定理. 1.2 数列极限求法的常用定理

定理 1.2.1(数列极限的四则运算法则) 若 ?an ? 和 ?bn ? 为收敛数列,则

?an ? bn?,?an ? bn ?,?an ? bn ? 也都是收敛数列,且有
lim ? an ? bn ? ? lim an ? lim bn , lim ? an ? bn ? ? lim an ? lim bn .
n?? n ?? n ?? n?? n?? n ??

?a ? 若再假设 bn ? 0 及 lim bn ? 0 ,则 ? n ? 也是收敛数列,且有 n?? ? bn ?

?a ? lim ? n ? ? lim an / lim bn . n?? b n?? ? n ? n??
定理 1.2.2(单调有界定理) 在实数系中,有界的单调数列必有极限.

1

定理 1.2.3(
n ???

? Stoltz 公式) 设有数列 ? xn ? , ? yn ? ,其中 ? xn ? 严格增,且 ?
n ???

lim xn ? ?? (注意:不必 lim yn ? ?? ).如果
yn ? yn ?1 ? a (实数, ?? , ?? ) , xn ? xn ?1

n ???

lim



n ???

lim

yn y ? yn ?1 ? a ? lim n . n ??? x ? x xn n n ?1

0 定理 1.2.3'( Stoltz 公式) 设 ? xn ? 严格减,且 lim xn ? 0 , lim yn ? 0 .若 n ??? n ??? 0
n ???

lim

yn ? yn ?1 ? a (实数, ?? , ?? ) , xn ? xn ?1


n ???

lim

yn y ? yn ?1 . ? a ? lim n n ??? x ? x xn n n ?1
n??

定理 1.2.4(几何算术平均收敛公式) 设 lim an ? a ,则 (1) lim
n ??

a1 ? a2 ? ... ? an ?a, n
n ??

(2)若 an ? 0 ? n ? 1, 2,...? ,则 lim n a1a2 ...an ? a . 定理 1.2.5(夹逼准则)设收敛数列 ?an ? ,?bn ? 都以 a 为极限,数列 ?cn ? 满足:存 在正数 N 0 ,当 n ? N0 时,有

an ? cn ? bn ,
则数列 ?cn ? 收敛,且 lim cn ? a .
n??

定理 1.2.6 (归结原则) f 在 U ? ? x0 ; ? ?? 内有定义. lim f ? x ? 存在的充要条件是: 设
x ? x0

对任何含于 U ? ? x0 ; ? ?? 且以 x0 为极限的数列 ?xn ? ,极限 lim f ? xn ? 都存在且相等.
n ??

2

数列极限的求法

2.1 极限定义求法 在用数列极限定义法求时, 关键是找到正数 N .我们前面一节的定理 1.2.4 (几何算术平均收敛公式)的证明就可用数列极限来证明,我们来看几个例子. 例 2.1.1 求 lim n a ,其中 a ? 0 .
n ??

解: lim n a ? 1 .
n ??

事实上,当 a ? 1 时,结论显然成立.现设 a ? 1 .记 ? ? a n ? 1 ,则 ? ? 0 .

1



? 1 ? n a ? ?1 ? ? ? ? 1 ? n? ? 1 ? n ? a n ? 1? , ? ?

a n ?1 ?
1

a ?1 . n
a ?1
1

(5)
1

任给 ? ? 0 ,由(5)式可见,当 n ? 以 lim n a ? 1 .
n ??

?

? N 时,就有 a n ? 1 ? ? .即 a n ? 1 ? ? .所

对于 0 ? a ? 1 的情况,因

1 1 ? 1 ,由上述结论知 lim n ? 1 ,故 n ?? a a
1 1 ? ? 1. n 1/ a 1

lim n a ? lim
n ?? n ??

综合得 a ? 0 时, lim n a ? 1 .
n ??

例 2.1.2

定理 1.2.4(1)式证明.
n??

证明:由 lim an ? a ,则 ?? ? 0 ,存在 N1 ? 0 ,使当 n ? N1 时,有

an ? a ? ? / 2 ,

a1 ? a2 ? ... ? an 1 ?a ? a1 ? a ? ... ? aN1 ? a ? aN1 ?1 ? a ? ... ? an ? a . n n

?

?

令 c ? a1 ? a ? ... ? aN1 ? a ,那么

3

a1 ? a2 ? ... ? an c n ? N1 ? ?a ? ? ? . n n n 2

由 lim

c c ? ? 0 ,知存在 N 2 ? 0 ,使当 n ? N2 时,有 ? . n ?? n n 2

再令 N ? max ?N1, N2 ? ,故当 n ? N 时,由上述不等式知
a1 ? a2 ? ... ? an ? n ? N1 ? ? ? ?a ? ? ? ? ? ?? . n 2 n 2 2 2

所以

lim

a1 ? a2 ? ... ? an ?a. n ?? n

例 2.1.3

求 lim

7n . n ?? n !

解: lim

7n ? 0. n ?? n !

7n 7 7 7 7 7 7 77 7 77 1 ? ? ? ? ? . 事实上, ? ? ... ? ... n ! 1 2 7 8 n ? 1 n 7! n 6! n



7n 77 1 ?0 ? ? . n! 6! n

? 77 1 ? 对 ?? ? 0 ,存在 N ? ? ? ? ,则当 n ? N 时,便有 ? 6! ? ?
7n 7n 77 1 所以 lim ? 0 . ? 0 ? ? ? ?, n ?? n ! n! 6! n

注:上述例题中的 7 可用 c 替换,即 lim

cn ? 0 ? c ? 0? . n ?? n !

2.2 极限运算法则法 我们知道如果每次求极限都用定义法的话,计算量会太大.若已知某些极限 的大小,用定理 1.2.1 就可以简化数列极限的求法. 例 2.2.1 求 lim

am nm ? am?1nm?1 ? ... ? a1n ? a0 ,其中 m ? k,am ? 0,bk ? 0 . n?? b n k ? b n k ?1 ? ... ? b n ? b k k ?1 1 0

解:分子分母同乘 n ? k ,所求极限式化为

4

lim

am nm?k ? am?1nm?1?k ? ... ? a1n1?k ? a0 n? k . n?? bk ? bk ?1n?1 ? ... ? b1n1?k ? b0 n? k

由 lim n ?? ? 0, ? 0 ? 知, ??
n ??

当 m ? k 时,所求极限等于

am ;当 m ? k 时,由于 nm?k ? 0 ? n ? 0? ,故此时所求 bm

极限等于 0.综上所述,得到

? am am nm ? am?1nm?1 ? ... ? a1n ? a0 ? , k ? m lim ? ? bm . n ?? b n k ? b n k ?1 ? ... ? b n ? b k k ?1 1 0 ?0, k ? m ?
n 例 2.2.2 求 lim a ,其中 a ? ?1 . n ?? a n ? 1

解: 若 a ? 1 ,则显然有 lim

an 1 ? ; n n ?? a ? 1 2

若 a ? 1 ,则由 lim a n ? 0 得
n ??

lim

an ? lim a n / lim a n ? 1 ? 0 ; n ?? a n ? 1 n ?? n ??

?

?

若 a ? 1 ,则
lim an 1 1 ? lim ? ?1 n n ?? a ? 1 n ?? 1 1? 0 1? n . a

2.3 夹逼准则求法 定理 1.2.5 又称迫敛性, 它不仅给出了判定数列收敛的一种方法,而且也提 供了一个求极限的工具. 例 2.3.1 求极限 lim 解:因为
2n ? 4n2 ? 4n2 ? 1 ? 2 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?,n ? 1 ? ? 2n ? 1? ? ? 2n ? 1? ,

1? 3 ??? ? 2n ? 1? . n ?? 2 ? 4 ??? ? 2n ?

所以

5

0?

1? 3 ??? ? 2n ? 1? 1 3? 3 2n ? 1 ? 2n ? 1 1 . ? ? ??? ? 2 ? 4 ??? ? 2n ? 1? 3 3 ? 5 2n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1

因 lim

n ??

1 ? 0 ,再由迫敛性知 2n ? 1

lim
例 2.3.2 求数列
n

1? 3 ??? ? 2n ? 1? ?0. n ?? 2 ? 4 ??? ? 2n ?

? n ? 的极限.
n ? ?1 ? hn ? ?
n

解: 记 an ? n n ? 1 ? hn ,这里 hn ? 0 ? n ? 1? ,则
n ? n ? 1? 2 hn , 2

由上式得

0 ? hn ?

2 ? n ? 1? ,从而有 n ?1 1 ? an ? 1 ? hn ? 1 ? 2 , n ?1

(2)

? 2 2 ? ? ? 数列 ?1 ? ? 是收敛于 1 的,因对任给的 ? ? 0 ,取 N ? 1 ? 2 ,则当 n ? N 时 ? n ?1 ? ? ? ?

有 1?

2 ? 1 ? ? .于是,不等式(2)的左右两边的极限皆为 1,故由迫敛性得 n ?1

lim n n ? 1 .
n ??

例 2.3.3 设 a ? 1 及 k ? N * ,求 lim
nk ?0. n ?? a n

nk . n ?? a n

解: lim

事实上,先令 k ? 1 ,把 a 写作 1 ? ? ,其中? ? 0 .我们有
0? n n ? ? n n a ?1 ? ? ? n 2 ? . n ? n ? 1? 2 ? n ? 1?? 2 1 ? n? ? ? ? ... 2

6

? ? nk n ? 2 ?n? 由于 lim , ? 0 ? n ? 2 ? ,可见 ? n ? 是无穷小.据等式 n ? ? n ?? ? n ? 1?? 2 ? ? a1/ k ?n ? a ?a ? ? ?
? ? ? nk ? ? n ? ? 1, 由方才所述的结果 ? ? 是无穷小.最后的等式表明,? n ? 可 1/ k n ?a ? ??a ? ? ? ?

k

注意到 a

1/ k

表为有限个( k 个)无穷小的乘积,所以也是无穷小,即
nk lim n ? 0 . n ?? a

2.4 单调有界定理求法 有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛,再求其极限,此时该方法将会 对我们有很大帮助,我们来看几个例子. 例 2.4.1 求例 2.1.3 注解中的 lim
cn ? 0 ? c ? 0? . n ?? n ! cn ? 0 ? c ? 0? . n ?? n !

解: lim

cn 事实上,令 xn ? ,n ? N * .当 n ? c 时, n!

xn?1 ? xn

c ?x . ? n ? 1? n

因此 ? xn ? 从某一项开始是递减的数列,并且显然有下界 0.因此,由单调有界原 理知极限 x ? lim xn 存在,在等式 xn?1 ? xn
n??

c 的等号两边令 n ?? ,得到 ? n ? 1?

x ? x ? 0 ? 0 ,所以 ? xn ? 为无穷小.从而

lim

cn ? 0 ? c ? 0? . n ?? n !

例 2.4.2 求极限 lim 3 3 ??? 3 ( n 个根号).
n??

解:设 an ? 3 3 ??? 3 ? 1 ,

7

又由 a1 ? 3 ? 3 ,设 an ? 3 ,则 an?1 ? 3an ? 3? 3 ? 3 . 因 an?1 ? 3an ? an ,故 ?an ? 单调递增. 综上知 ?an ? 单增有上界,所以 ?an ? 收敛.
1 令 lim an ? a,? a ? 3, an?1 ? 3an , 由
n ??

对两边求极限得 a ? 3a ,故 a ? 3 . 2.5 函数极限法 有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便, 再利用归结原则即可求出 数列极限. 例 2.5.1 用函数极限法求例 2.1.1,即求 lim n a .
n ??

解:先求 lim a ,因 lim a ? lim a
x

x

1/ x

x ??

x ??

x ??

? lim e
x ??

ln a x

?e

x??

lim

ln a x

? e0 ? 1 ,

再由归结原则知 lim n a ? 1 .
n ??

例 2.5.2 用函数极限求例 2.3.2,即求 lim n n .
n ??

解:先求 lim x x .因 lim x x ? lim e
x ??

ln x x

x ??

x ??

? e x??

lim

ln x x

? e0 ? 1,

再由归结原则知 lim n n ? 1 .
n ??

例 2.5.3 用函数极限求例 2.3.3,即设 a ? 1 及 k ? N ,求 lim
*

nk . n ?? a n

xk kx k ?1 k! xk lim x ? lim x ? ..... ? lim x ?0 k 解:先求 lim x .因 x ?? a (由洛比达法则) , x ?? a ln a x ?? a ? ln a ? x ?? a

nk 再由归结原则知 lim n ? 0 . n ?? a

2.6 定积分定义法 通项中含有 n !的数列极限,由于 n !的特殊性,直接求非常困难,若转化成 定积分来求就相对容易多了.
n

例 2.6.1 求 lim

n ??

n! . n
8

解:令 y ?

n

n! 1 n i ,则 ln y ? ? ln .而 n n i ?1 n

lim ln y ? lim
n ??

1 1 1 n i ? ln n ? ?0 ln xdx ? ?lim+ ?? ln xdx ? ?lim+ ??1 ? ?? ln ? ? ? ?? ? ?1 , ? ? n ?? n ?0 ?0 i ?1

也即 ln lim y ? ?1 ,所以 lim y ? lim
n ??

n

n ??

n ??

n! ? e?1 . n

? 2? ? ? ? sin n sin n sin ? ? 例 2.6.2 求极限 lim ? . ? ? ... ? n ?? 1? n ?1 n ? 1 ? n? ? 2 n? ? 解:因为 ? 2? ? 2? sin ? sin ? ... ? sin ? sin sin n n n? n ? ... ? sin ? ? 1 n ?1 n ?1 n ? 1 n? 2 n ? 2? sin ? sin ? ... ? sin ? n n , ? 1 n? n
sin lim ?
n ??

?
n

? sin

2? ? ... ? sin ? n 1 ?? ? ? 2? ?? n ? lim ? ? ? sin ? sin ? ... ? sin ? ? ? n ?? n ? 1 ? ? n n ?1 n n ?? ? ?

?? ? ? 2? ?? lim ? ? sin ? sin ? ... ? sin ? ? ? ? n?? ? n ? n n ?? 1

?

??

1

?

0

sin xdx ?

2

?



类似地

sin lim
n ??

?
n

? sin

2? ? ... ? sin ? n 1 n? n

n2 1 ? ? ? ? 2? ?? 2 ? lim 2 ? ? ? ? sin ? sin ? ... ? sin ? ?? ? , n?? n ? 1 ? n n ?? ? ?n ?
由夹逼准则知 ? 2? ? ? ? sin n sin n sin ? ? 2 . lim ? ? ? ... ? ? n ?? 1? ? n ?1 n ? 1 ? n? ? 2 n? ?
9

注:在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz 公式法
yn y ? yn ?1 ? a ? lim n . 在求某些极限时非常方便,尤其是当 n ??? x ? x xn n n ?1

Stoltz 公式, lim
n

n ???

yn ? ? ak 时特别有效.
k ?1

例 2.7.1 同例 2.1.2,定理 1.2.4(1)式证明. 证明:前面用 ? ? N 定义法证明,现用 Stoltz 公式证明. 令 yn ? a1 ? a2 ? ... ? an , xn ? n ,则由 Stoltz 公式得到

lim
n ??

a1 ? a2 ? ... ? an n ? a ? a ? ... ? an ? ? ? a1 ? a2 ? ... ? an?1 ? ? lim 1 2 n ?? n ? ? n ? 1?
an ? lim an ? a . n ?? 1 n ??

? lim

例 2.7.2 求 nlim ??? 解:
lim

1k ? 2k ? ... ? n k . n k ?1

1k ? 2k ? ... ? n k nk ? lim k ?1 k ?1 n ??? n ??? n k ?1 n ? ? n ? 1?

(Stoltz 公式)

= lim

nk
1 Ck ?1n k ? Ck2?1n k ?1 ? ... ? ? ?1? k ?1

n ???

(二项式定理)



1 1 ? . 1 Ck ?1 k ? 1

2.8 几何算术平均收敛公式法 上面我们用 Stoltz 公式已得出定理 1.2.4,下面我们通过例子会发现很多 * n *, 类型的数列极限可以用此方法来简化其求法. n 例 2.8.1 同例 2.1.1 一样求 lim n a ,其中 a ? 0 .
n ??

解:令 a1 ? a, a2 ? a3 ? ... ? an ? 1,由定理 1.2.4(2)知

10

lim n a ? lim an ? 1 .
n ?? n ??

例 2.8.2 同例 2.3.2 一样求 lim n n .
n ??

解:令 a1 ? 1,an ?

n ? n ? 2,3,...? ,由定理 1.2.4(2)知 n ?1 n lim n n ? lim an ? lim ? 1. n ?? n ?? n ?? n ? 1
n ?? n

例 2.8.3 同例 2.6.1 相似求 lim
n n

n . n!

? 1 ? ? n ? 1? 解:令 an ? ?1 ? ? ? ,则 nn ? n?

? n ? 1? 21 32 43 a1 ? a2 ????an ? ? 2 ? 3 ???? 1 2 3 nn
? n ? 1? =
n!
所以
n

n

n

n n ? n ? 1? . ? ? n! nn
n

a1 ? a2 ????an ?

n

n n ?1 ? , n! n

也即

n

n n ? n a1 ? a2 ????an ? ,而由定理 1.2.4(2)知 n ?1 n!

? 1? lim a1 ? a2 ????an ? lim an ? lim ?1 ? ? ? e . n?? n?? n?? ? n?
n

n


lim
n ?? n

n n n ? lim n a1 ? a2 ????an ? ? e ? lim ?e. n ?? n ? 1 n ?1 n ! n??

例 2.8.3 求 lim

1 ? 2 ? 3 3 ? ... ? n n . n ?? n

解:令 an ? n n , ? n ? 1, 2,3...? ,则由定理 1.2.4(1)知
lim 1 ? 2 ? 3 3 ? ... ? n n ? lim an ? lim n n ? 1 . n ?? n ?? n ?? n

11

2.9 级数法 若一个级数收敛,其通项趋于 0( n ? 0 ),我们可以应用级数的一些性质来 求数列极限,我们来看两个实例来领会其数学思想. 例 2.9.1 用级数法求例 2.1.3 注 lim 解:考虑级数 ?
cn ? c ? 0? . n ?? n !

cn ,由正项级数的比式判别法,因 n!

lim

cn?1 cn c / ? lim ? 0 ? 1, n?? ? n ? 1? ! n ! n?? n ? 1

故级数 ?

cn cn 收敛,从而 lim ? 0 ? c ? 0 ? . n ?? n ! n! nk . n ?? a n

例 2.9.2 用级数法求例 2.3.3,即设 a ? 1 及 k ? N * ,求 lim
nk 解:考虑正项级数 ? n ,由正项级数的比式判别法,因 a

? n ? 1? lim
n ??

k

a n ?1

nk 1 ? n ?1 ? 1 / n ? lim ? ? ? ? ? 1, n ?? a a a ? n ?
k

故正项级数 ?

nk nk 收敛,所以 lim n ? 0 . n ?? a an

?1 1 1 ? ? ... ? 例 2.9.3 求极限 lim ? 2 ? . 2 2? n ?? n ? n ? 1? ? 2n ? ? ? ? ?

解: 因级数 ?

1 收敛,由级数收敛的柯西准则知,对 ?? ? 0 ,存在 N ? 0 , 2 n ?1 n

?

使

得当 n ? N 时,

?k ??k
k ?1 2 k ?1

2n

1

n ?1

1
2

?? ,

此即 所以

1 1 1 ? ? ... ? ?? , 2 2 2 n ? n ? 1? ? 2n ?

12

?1 1 1 ? lim ? 2 ? ? ... ? ? 0. 2 2? n ?? n ? n ? 1? ? 2n ? ? ? ? ?

n ? ?1 2 例 2.9.4 求极限 lim ? ? 2 ? ... ? n ? ? a ? 1? . n ?? a a a ? ?

解:令 x ?

1 ,所以 x ? 1.考虑级数 a
n ?1

? nx
n ?1

?

n



因为 lim

? n ? 1? x an?1 ? lim n?? a n?? nx n n
? n ?1

? x ? 1,所以此级数收敛.
? ?

令 s ? x ? ? ? nx n ,则 s ? x ? ? x ? ? nx n ?1 .再令 f ? x ? ? ? nx n ?1 ,
n ?1 n ?1

?

x

0

f ? t ? dt ? ? ? nt n?1dt ? ? x n ?
x n ?1 0 n ?1

?

?

x . 1? x

所以

1 ? x ?? . f ? x? ? ? ? ? 2 ? 1 ? x ? ?1 ? x ?
而 s ? x? ? x ? f ? x? ? 所以
n ? a ?1 ?1 2 lim ? ? 2 ? ... ? n ? ? s ? x ? ? . 2 n ?? a a a ? ? ?1 ? a ?1 ? x

?1 ? x ?

2

?

?1 ? a?1 ?

a ?1

2

,

2.10 其它方法 除去上述求数列极限的方法外,针对不同的题型可能还有不同的方法,我们 可以再看几个例子. 例 2.10.1 求 limsin 2 ? n2 ? n .
n??

?

?

解:对于这个数列极限可用三角函数的周期性.

limsin 2 ? n2 ? n ? limsin 2 ? n2 ? n ? n?
n?? n??

?

?

?

?
?
1? 1 ?1 n

= lim sin 2
n ??

n? n ?n ?n
2

? lim sin 2
n ??

13

= sin 2

?
2

?1.

c c a2 例 2.10.2 设 0 ? c ? 1,a1 ? ,an ?1 ? ? n , 2 2 2

证明: ?an ? 收敛,并求其极限. 解:对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛. 首先用数学归纳法可以证明

0 ? an ? c, ? n ? 1, 2...? .
事实上, 0 ? a1 ? 则 0 ? an ?1 ? 令 f ? x? ?
c ? c .假设 0 ? an ? c ? 1, 2

2 c an c c 2 c c ? ? ? ? ? ? c. 2 2 2 2 2 2

c x2 ? ,则 f ? ? x ? ? x . 2 2

an ?1 ? an ? f ? an ? ? f ? an ?1 ? ? f ? ?? ? ? an ? an ?1

= ? ? an ? an?1 ? c an ? an?1 ,

(1)

其中 ? 介于 a n 和 an ?1 之间.由于 0 ? c ? 1 ,再由(1)式知 ?an ? 为压缩数列,故收敛. 设 lim an ? l ,则
n ??

c ? l ? c. 2

由于
2 c an an ?1 ? ? , 2 2

所以
l? c l2 2 ? , l ? 2l ? c ? 0 . 2 2

解得 l ? 1 ? 1 ? c (舍去) l ? 1 ? 1 ? c . , 综上知 lim an ? 1 ? 1 ? c .
n ??

注:对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.

函数极限
一、函数极限的定义

14

定义一:若当 x 无限变大时,恒有|f(x)-a|< ? ,其中 ? 是可以任意小的正数, 则称当 x 趋向无穷大时,函数 f(x)趋向于 a,记作 lim f(x)=a 或 f(x)→a(x
x ? ??

→+ ? )。 定义二:若当 x 无限接近 x 0 时,恒有|f(x)-a|< ? ,其中 ? 是可以任意小的正数, 则称当 x 趋向 x 0 时, 函数 f (x)趋向于 a,记作 lim f(x)=a 或 f(x) →a(x- x 0 )。
x?x 0

二、函数极限的求法 下面我们以相关的概念、定理及公式为依据,解决常见函数极限的求解方法:

1、直接代入法 适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为 ? 。

2x 2 ? x ? 5 例 1:求 lim x ?2 3x ? 1
分析:由于
x ?2

lim (2 x 2 +x-5)=2 lim x 2 + lim x- lim 5=2· 2 2 +2-5=5, x ?2 x ?2 x ?2 lim (3x+1)=3 lim x+ lim 1=3·2+1=7
x ?2 x ?2

x ?2

所以采用直接代入法。

lim 2x 2 ? x ? 5) (
解:原式=
x ?2

lim(3x ? 1)
x ?2

=

2 ? 22 ? 2 ? 5 5 = 7 3? 2 ?1

2、利用极限的四则运算法则求极限 这是求极限的基本方法,主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干 基本函数的极限结果进行极限的计算,为此有事往往要对函数作一些变形。 定理 若 lim f(x)=A lim g(x)=B
x?x 0 x?x 0

(1) lim [f(x)±g(x)]= lim f(x) ± lim g(x)=A+B
x?x 0 x?x 0 x?x 0

(2) lim [ f(x)·g(x)]= lim f(x) · lim g(x)=A·B
x?x 0 x?x 0 x?x 0

(3)若 B≠0

则:

15

x?x 0

lim f ( x) A lim f ( x ) = x?x =
0

g ( x)

x ? x0

lim g ( x)

B

(4) lim C·f(x)=C· lim f(x)=CA
x?x 0 x?x 0

(C 为常数)

上述性质对于 x→ ? ,x→+ ? ,x→- ? 时也同样成立

x 2 ? 3x ? 5 例 2:求 lim x ?2 x?4 x 2 ? 3x ? 5 2 2 ? 3 ? 2 ? 5 5 解: lim = = x ?2 x?4 2 2?4
3、利用极限定义求解 函数极限 ? - ? 定义:
x? x 0

lim f ( x) =A: ?? ? 0, ?? ? 0, 当 0<|x- x 0 |< ? 时,|f(x)- A |< ?

x? x0

lim f ( x) =A: ?? ? 0, ?? ? 0, 当- ? <x- x 0 <0 时, |f(x)- A |< ? lim f ( x) =A: ?? ? 0, ?? ? 0, 当 0< x- x 0 < ? 时,|f(x)- A |< ?

? x ? x0

x ??

lim f ( x) ? A : ?? ? 0, ?M ? 0, 当|x|>M 时,|f(x)- A |< ? lim f ( x) ? A : ?? ? 0, ?M ? 0, 当 x>M 时,|f(x)- A |< ? lim f ( x) ? ? : ?G ? 0, ?X ? 0, 当 x<-X 时,|f(x)|>G
例 3:用极限定义证明: lim
x ?2

x ???

x ? ??

x 2 - 3x ? 2 =1 x-2

证:由

x 2 ? 3x ? 2 x 2 ? 4x ? 4 ?1 = x?2 x?2

( x ? 2) 2 = = x?2 x?2
?? ? 0

取? =?

则当 0<|x-2|< ? 时,就有

x 2 ? 3x ? 2 ?1 <? x?2

16

由函数极限 ? - ? 定义有: lim
x ?2

x 2 - 3x ? 2 =1 x-2

4、利用无穷小量的性质求解 性质 1、无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量 性质 2、无穷小量与无穷大量的关系:若在自变量的同一变化过程中 f(x)为 1 无穷小量,且 f(x)≠0,则 为无穷大量,反之亦然。 f(x) 性质 3、乘积因子的等价无穷小量代换: 这函数 f、g、h 在 U0 (x0 ) 内有定义,且有 f(x)~g(x) (1)若 lim f(x)h(x)=A,则 lim g(x)h(x)=A;
x?x 0 x?x 0

(x→ x 0 )

(2)若 lim

x?x 0

h( x) =B; g ( x)

(3)当 x→0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ e x ? 1 ~ln(x+1)并且
1 1-cosx~ x 2 。 2 1 例 4:求 lim xsin x ?0 x 1 1 解:因为|sin |≤1,所以|sin |是有界变量,又 lim x=0, x ?0 x x 1 所以当 x→0 时,xsin 是有界变量与无穷小量的乘积,根据无穷小量 x 1 1 的性质可知,xsin 是无穷小量,所以 lim xsin =0 x ?0 x x
1 注意: (1)无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。例如,当 x→ ? , 是 x 无穷小量,2x 个这种无穷小之和的极限显然为 2。 (2)无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。

(3)无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如,当 x→ x 0 时, x 2 是无穷大量,
1 1 是有界量,显然 x 2 · 2 →0。 2 x x

?x 2,x ? 0 (4) X→*下, f(x)>0, 其极限 lim f(x)未必大于 0, 例如, x) ? f ( = x ?* ? 8,x ? 0
17

显然 f(x)=0. 5、利用无穷大量与无穷小量的关系求解
5x x ?4
2

例 5:求 lim
x ?2

解:因为 lim x 2 -4=0, lim 5x=10,所以我们可以求出 lim
x ?2 x ?2 x ?2

x2 ? 4 0 = =0 10 5x

这就是说,当 x→2 时, 数是无穷大量,所以

x2 ? 4 为无穷小量,由于恒不为零的无穷小量的倒 5x

5x 5x 为 x→2 时的无穷大量,即 lim 2 =? x ?2 x ? 4 x ?4
2

6、利用初等函数的连续性质求解(适用于求函数在连续点处的极限) 利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果: (1) 若 f(x)在 x 0 处连续,则 lim f(x)= f( x 0 );
x?x 0

lim lim (2) 若 x ? x ? (x)=A,y=f(u)在 u=A 处连续则 x ? x f[ ? (x)]=f(A);
0 0

( x ?? )

( x ?? )

lim lim lim (3) 若 x ? x f(x)=A>0, x ? x g(x)=B,则 x ? x [ f ( x)]g ( x) = A B 0 0 0
( x ?? ) ( x ?? ) ( x ?? )

例 6: lim ln 2 (7x-6)
x ?1

解:因为 y= ln 2 (7x-6)是初等函数,在定义域(

6 ,+ ? )内是连续的,所以 7
x ?1

在 x=1 处也连续, 根据连续的定义, 极限值等于函数值, 所以 lim ln 2(7x-6) = ln 2 (7-6)=0

7、利用约零因子法求解
x -3 x2 ? 9

例 7:求 lim
x ?3

18

分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是 0,不能直接使用法则四,故 采用消去零因子法. 解: 原式= lim
x ?3

x -3 (x - 3)(x ? 3) 1 (x ? 3)

(因式分解)

= lim
x ?3

(约分消去零因子

)

=

(应用法则)

= 当分子和分母的极限同时为零时,可以考虑约去分子、分母的零因子(若不 方便约分,可以考虑用重要极限或等价无穷小量代换或洛比达法则求解) 。 0 想例题这种含根式 型(或差式 ? - ? 型)求极限时,一下看不出零因子, 0 常常需要分子、分母有理化(或通分) ,然后再因式分解约去零因子进行求 解。 8、利用等价无穷小量代换求解 当 x→0 时,有(1)sinx~x, (2)tanx~x,(3) arcsinx~x,(4) arctanx~x,(5)
e x ? 1 ~x,

(6) ln(x+1) ~x, 1 - cos2x 例 8:求 lim x ?0 x2
1 2 解:因为当 x→0 时,1-cos2x~ (2x) , 2 1 ? 2x) ( 2 1 - cos2x 2x 2 所以 lim = lim 2 2 = lim 2 =2 x ?0 x ?0 x ?0 x2 x x (注意: 在利用等价无穷小做代换时, 一般只是在以乘积形式出现时才进行互换, 而以和、差出现时,不要轻易代换,否则可能出现改变了它的无穷小量之比 的“阶数”之情况。 )

9、利用两个重要极限公式及其推导公式来解

19

(1)第一个重要极限: lim
x ?0

sinx sin?(x) =1:其变形为: lim =1 ?(x) 0 ? x ?(x)
1 x

1 (2)第二个重要极限: lim( ? x) =e:其变形为: lim ( ? ?(x)) 1
x ?0

?( )

1 x

?(x) 0 ?

=e

1 x 1 ? 或 lim(1 ? ) =e:其变形为: lim ( ? 1 )(x) =e x ?? ?(x) ? ? x ?(x)

例 9:求 lim
x ?0

1 - cosx x2

0 x ”型,含三角函数(sin →0) ,且不能消零因子,现 0 2 在我们利用第一个重要极限求解。 x x x sin 2 sin 2sin 2 2 2 = 1 lim( 2 )= 1 ×1= 1 2 = lim 解:原式= lim 2 x ?0 x ?0 x ?0 x 2 2 x 2 2 x ( ) 2 2 2

解:先判断类型,是“

10、运用洛比达法则求解(适用于未定式极限)
0 ? ”型和“ ”未定式极限的有效方法,但是非未定式 0 ? 0 极限却不能求。 (0- ? , ? - ? , 0 0 ,1? , ? 0 型未定式可以转化为“ ”型 0 ? 和“ ”未定式) ? 定理:若

洛比达法则是求“

(i) lim f(x)=0, lim g(x)=0
x?x 0 x?x 0

(ii)f 与 g 在 x0 的某空心领域 U0 (x0 ) 内可导,且 g(x)≠0 (iii) lim
f ( x) f ( x ) lim f ' ( x) =A (A 可为实数, 也可为± ? 或 ? ) 则 lim , = =A x ? x 0 g ( x ) x ? x 0 g ' ( x) g ( x)
0 ”型而言,对于函数极限的其他类型,均有类似的法则。 0

x?x 0

此定理是对“

x3 lim 3 ? 23x ? 2 例 10:
x ?1

x - x ? x ?1



0 型) 0

解:原式= lim
x ?1

3 3x 2 ? 3 6x = lim = 2 3x ? 2 x ? 1 x ?1 6 x ? 2 2

20

注意: (1)并不是类似于“

0 ? ”型和“ ”型的极限都能用洛比达法则,利用 0 ? 洛比达法则求解,一定要先验证是否满足洛比达法则求解。

x ? sinx 1? x 1 ? cosx 解:原式= lim , x ?? 1

例如: lim
x ??

但是 lim (1+cosx)极限不存在,所以不能再用洛比达法则求解。
x ??

1 正确解法为原式= lim (1+ cosx)=1 x ?? x

(2)应用洛比达法则,要分别的求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导 数。 (3)要及时简化极限符号后面的分式,在化简以后检查时候仍是未定式,若遇 到不是未定式,应立即停止使用洛比达法则,否则会引起错误。 (4)当 lim
x ?0

f ( x) 不存在时,本法则失效,但并不是说极限不存在,此时求极限 g ( x)

须用另外方法。 (5)将等价无穷小量代换等求极限的方法与洛比达法则结合起来使用,可简化 计算。

11、利用左、右极限讨论分段函数在其分段点处的极限

定理:函数极限 lim f(x)存在且等于 A 的充分必要条件是左极限 lim- f(x)及
x?x 0

x? x0

右极限 lim f(x)都存在且都等于 A。即有: ?
x ? x0
x?x 0

lim f(x)﹤=> lim- f(x)= lim? f(x)=A
x? x0 x ? x0

例 11:设

讨论

在点

处的极限是否存在.

分析

所给函数是分段函数,

是分段点, 要知

是否存在,必

须从极限存在的充要条件入手. 解 因为 lim f(x)= lim (x-1)= - 1 ? ?
x ?0 x ?0

21

x ?0 ?

lim f(x)= lim (x+1)=1 ?
x ?0

x ?0 ?

lim f(x)≠ lim f(x) ?
x ?0

所以 lim f(x)不存在.
x ?0

注 1: 注 2:

因为 因为

从 从

的左边趋于 的右边趋于

,则 ,则

,故 ,故

. .

此题也可以转化为讨论函数 f(x)在 x=0 处的连续性问题。 12、利用函数极限的迫敛性求解

迫敛性 (两边夹) lim f 若 (x) lim g(x)=A,且在某 U 0 (x0 ; ?) 内有 f(x)≤h(x) ≤ =
x?x 0 x?x 0

g(x),则 lim h(x)=A
x?x 0

例 12:求 lim x[
x ?0

1 ] x

1 1 ]≤1,故由迫敛性得: lim x[ ] x ?0 x x 1 1 另一方面,当 x<0 时有 1≤x[ ]<1-x,故由磨练下又可得: lim x[ ]=1 x ?0 x x 1 综上,可求得 lim x[ ]=1 x ?0 x

解:当 x>0 时有 1-x< x[

函数连续性
(一)函数在一点的连续性 定义 1[1] 设函数 f 在某 U( x0 ) 内有定义, lim f ( x) ? f ( x0 ) , 若 则称 f 在点 x0 连续。
x ? x0

(二)一致连续性 定义 2[1] 设 f 为定义域在区间 I 上的函数,若对任何的ε>0,存在δ=δ(ε)>0, 使得对任何 x' , x'' ? I ,只要 | x' ? x'' |? ? ,就有|f( x ' )-f( x '' )|<ε,则称函数 f 在区 间 I 上一致连续.

三、函数连续性的性质[1]

22

(一)连续函数的局部性质 定理 1(局部有界性)若函数 f 在点 x0 连续,则 f 在某 U( x0 ) 内有界。 定理 2(局部保号性)若函数 f 在点 x0 连续,且 f ( x0 ) ? 0 (或<0) ,则对任何正数

r ? f ( x0 )(或r ? ? f ( x0 )) , 存 在 某 U x0 (
f ( x) ? r (或f ( x) ? ?r ) .

, 使 得 对 一 切 x ? U( x0 ) 有 )

定理 3(四则运算)若函数 f 和 g 在点 x0 连续, f ? g, f ? g , f / g (这里g ( x0 ) ? 0) 也 则 都在点 x0 连续。 定理 4 若函数 f 在点 x0 连续,g 在点 u0 连续,u0 ? f ( x0 ) ,则复合函数 f ? g 在点

x0 连续。
(二)闭区间上连续函数的基本性质 定理 5(最大、最小值定理)若函数 f 在闭区间[a,b]上连续,则 f 在[a,b]上有 最大值与最小值。 定理 6(介值性定理)设函数 f 在闭区间[a,b]上连续,f(a)≠f(b).若μ为介于 f(a)与 f(b)之间的任何实数 (f(a)< μ<f(b)或 f(a)> μ>f(b)),则至少存在一 点 x0 ∈(a,b),使得 f( x0 )=μ. (三)反函数的连续性 定理 7 若函数 f 在[a,b]上严格单调并连续, 则反函数 f ?1 在其定义域[f(a),f(b)] 或[f(b),f(a)]上连续。 定理 8(一致连续性定理)若函数 f 在区间[a,b]上连续,则 f 在[a,b]上一致连 续。 (四)初等函数的连续性 定理 9 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数。 定理 10 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。 四、函数连续性的应用 (一)连续性在求函数极限中的应用 通过函数连续性的意义分析连续问题实质是一种极限问题,形式上说,它表

23

明了连续函数的记号 f 与极限的记号 lim 的可交换性。所以当我们知道某个函数
x ? x0

是连续函数时, 求极限的问题可以转化为一个非常简单的求函数值问题,特别是 以上的定理 9 和定理 10,在理论上说明了连续函数的广泛程度,而实际上提供 了一个求初等函数极限的简便方法。 总结出一个求初等函数极限一般的方法: 先判断所给的极限函数是不是初等 函数,若所给的极限函数 f(x)是初等函数,并且自变量是趋向于它们定义域中 某一点 x0 ,那么,只须将 x0 代人 f(x),即可计算出 f(x)在 x0 的函数值,就立刻 得到想要求的 lim f ( x ) 的值了。
x ? x0

例1 解:

求 lim

ln(1 ? x ) x ?0 cos x ln(1 ? x ) 是初等函数,点 x=0 是它定义域中的点,所以 cos x ln(1 ? x) ln(1 ? 0) lim ? f (0) ? ?0 x ?0 cos x cos 0

例2

? 2 ? x 11? xx lim( ) 求 x??0 3? x

分析: 所给函数是否初等函数,从目前的函数关系表示尚看不出来, 是一种所谓的“幂指函数” ,但若采用“先对数,后指数”的方法,将它改写成

2? x ( ) 3? x

1? x 1? x

?2

log 2 (

2 ? x 1? x ) 3? x

1? x

?2

1? x 2? x log 2 1? x 3? x

即可将它看成是初等函数 u ?

1? x 2? x log 2 与基本初等函数 y ? 2u 复合一 1? x 3? x

次的结果,故是一个初等函数,而 x=0 是它的定义域中的点,所以很容易可以求 出结果。 解 例3
? 1? x 2? x 1? 0 2?0 2 log 2 log 2 log 2 2 ? x 11? xx 2 1? x 3? x 1? 0 3? 0 3 lim( ) ? lim 2 ?2 ?2 ? x ??0 3 ? x x ??0 3

ex ?1 求 lim . x ?0 x

分析:x=0 不是初等函数

ex ?1 定义域中的点,不能直接运用我们的一般方 x
24

法求解,但利用对数运算性质,令 t= e x ? 1,则有 x=ln(1+t),函数变为

ex ?1 t ? x ln(1 ? t )

lim ex ?1 t 1 1 ? lim ? ? x ?0 t ?0 ln(1 ? t ) ln(1 ? t ) 1 x lim lim[ ln(1 ? t )] t ?0 t ?0 t t

?
t ?0

1 limln(1 ? t )
1 x

?
t ?0

1 ln(lim(1 ? t ) )
1 x

?

1 1 ? ?1 ln e 1

注;本题的结果可以作为重要极限的结果,在求其他极限时直接运用。它常
0 对某些包括指数、 对数运算及幂运算的所谓 “ ” 不定式的极限求法有很大帮助。 0

例4

求 lim
x ?2

x ? 14 ? 4 x?2 ?2 x ? 14 ? 4 的定义域中, 所以不能直接用一 x?2 ?2

分析

因为点 x=2 不在初等函数

般方法求解, 但是, 注意到分子在 x=2 时也是零, 所以我们用消去零因子的方法, 先将分子、 分母分别均乘上它们各自的共轭因式 x ? 14 ? 4 与 x ? 2 ? 2 , 使零因 子 x-2 分离出来,然后消去,得到一个新的初等函数,对于这个函数,点 x=2 在其定义域内,再进行求解。 解

lim
x ?2

x ? 14 ? 4 x ? 14 ? 4 ? lim x ? 2 ? 2 x ?2 x ? 2 ? 2

x ? 14 ? 4 x?2 ?2

x?2 ?2 x ? 14 ? 4

? lim ?

( x ? 2) x ? 2 ( x ? 2)

x?2?2 x?2?2 ? lim x ? 14 ? 4 x ?2 x ? 14 ? 4

2?2 ?2 4 1 ? ? 2 ? 14 ? 4 8 2

(二)介值定理的应用 1、判定方程 f(x)=0 在区间[a,b]内是否有根 若 f(x)在区间[a,b]上连续, f(a)*f(b)<0,由介值定理知, 且 f(x)=0 在[a,b] 上必定有根。

25

例如 证明

证明方程 f ( x) ? x3 ? x2 ?1 在 x∈(0,1)内必定有根。 设 f ( x) ? x3 ? x2 ?1 ,它在[0,1]连续, 又 f(0)= -1<0,f(1)=1>0 故对于介于 f(0)与 f(1)之间的介值 c=0,根据介值定理可知, 必存在ξ∈(0,1) ,使 f(ξ) =0 即 ? 3 ? ? 2 ? 1 ? 0 ,这说明 x=ξ是方程 x3 ? x 2 ? 1 的根。

2、求方程的根达到的指定精确度的近似值 例如 解 求 f ( x) ? x3 ? x2 ?1 中根ξ的一个近似值。 先取[0,1]的中点 0.5,因 f(x)= (0.5)3 ? (0.5)2 -1<0,所以[0.5,1]中

至少存在一个根, 再取[0.5,1]的中点 0.75, 算得 f(0.75)<0,则[0.75,1]中至少存在一个 根,不断这样作下去,可将一定存在一个根的范围缩小到很小的一个区间, 以致这个小区间的长度小于所指定的精确度。 这时,我们就可以取小区间的左端点(或者右端点)作为根ξ的一个不 足(或者过剩)近似值,它与根ξ的精确值误差已不超过所指定的精确度。 (三)判断函数在区间上是否有界 若 f(x)在区间[a,b]连续,则 f(x)在区间[a,b]有界。 例如 解 判断函数 f(x)=arcsin x 在区间[-1,1]上是否有界 因为 f(x)=arcsin x 是初等函数,在定义域连续 f(-1)=-1.57 ,f(1)=1.57 所以-π/2≤f(x)≤π/2,即有界. (四)利用连续性求表达式中的常数 例如 选择 a 的值,使下面的函数处处连续
2 ? , x≥1, ? ? x f ( x) ? ? ?a sin ? x, x ? 1. ? ? 2

26



当 x>1 时,f(x)=

2 ? 连续;当 x<1 时,f(x)= a sin x 连续,又因 x 2 ? 2 lim f ( x ) ? lim(a sin x ) =a, lim f ( x) ? lim ? 2 ,而 f(1)=2 x ?1 x ?1 x x ?1? x ?1? 2

所以必须取 a=2 (五)求闭区间上连续函数最值点 闭区间[a,b]上的连续函数 f(x)一定在该区间上取得最大值和最小值,要 注意 f(x)必 须满足在[a,b]上连续,若有一点使 f(x)不连续,则结论就不成立。 例1 设 f 在[a,+∞)上连续,且 lim f(x)存在。证明:f(x)在[a,+∞)上
x???

有界,又问 f 在[a,+∞)上必有最大值或最小值吗? 证明 因为 lim f(x)存在(设极限为 B) ,可以推出:对ε=1,存在 M>0,
x???

当 x>M ( M>a ) 时 , 有 ① ∴ |f(x)|≤|f(x)-B|+|B|=|B|+1

|f(x)-B|< ε =1

而在闭区间[a,M]上,因为 f(x)连续,所以有界,即存在 N>0,使 任意 x∈[a,M],有|f(x)|<N, ∴任意 x∈[a,+∞) ,恒有|f(x)|<max{|B|+1,N} 即 f(x)在[a,+∞)上有界 但它未必有最大值,也未必一定有最小值。 如 f(x)=arctan x 在[a,+∞)上无最大值。 但是无最大值者必有最小值,无最小值者必有最大值 因为若记ζ是 f 在[a,M]上的最大值,T 是最小值,改写①式为 B-ε<f(x)<B+ε,(这里ε换为任意整数) 当 B<ζ时,总存有ε使 B+ε<ζ,这时无非 M 变成更大的 m,但ζ仍存在, 从而有最大值ζ 当 T<B 时,总存有ε使 T<B-ε,类似推得,这时有最小值 T 当 T=ζ=B 时,要保持上述两结果不出现,必须在 M 变得任意大时,在闭 区间[0,M]上,恒有 f(x)=B ?f(x)=B,x∈[a,+∞) ,自然最大值、最小值 都是 B

27

例2

3 ? ?1? | x ? 2 |, 2 ? x ? 3; ? 讨论函数 f(x)= ?0,3 ? x ? 4; 的最值问题。 ? x ? 4, 4 ? x ? 6. ? ?

分析:闭区间[a,b]上的连续函数一定能取到最大值和最小值,哪些点 有可能是最值点呢?很多教材指出:[a,b]上连续函数的最大(小)值仅可 能在区间内极限点和区间端点取得。笔者认为这种说法是不正确的,事实 上有些联系函数,其最值也可以在非极值点和非端点处取得。本题就是一 个很好的例子。 函数 f(x)在区间[3/2,6]上是连续的,但是最小值是在区间[3,4]上的 所有点处取得。而根据极值点的定义知[3,4]上的点都不是极值点。 产生上述错误的原因是忽略了一个事实: f(x)是[a,b]上的连续函数 若 在(a,b)的一个最大(小)值点 x0 ,则 x0 可能是极大(小)值点,从而 x0 是驻点或者是函数不可导点。 x0 还可能不是极值点,这时存在一个小区间 [c,d] ? (a,b), x0 ∈[c,d],函数在[c,d]上是一个常值,这个值就是函数 在[a,b]上的最大(小)值。显然(c,d)内的点都是驻点,端点 c 和 a 可 能是驻点,也可能是不可导的点。 所以,严格地说,[a,b]上连续函数的最大(小)值仅可能在区间内的 驻点,不可导的点,以及区间两断点处取得。 (六)压缩映射及其不动点[7] 1、压缩映射的定义:若 f(x)在区间[a,b]上有定义,且满足 (1)f([a,b]) ? [a,b]; (2)存在定值 k,0≤k<1,使得任意 x1 , x2 ∈[a,b],有|f( x1 )-f( x2 )|≤ k| x1 - x2 |,则称 y=f(x)是[a,b]上得一个压缩映射。 2、定理:压缩映射必定存在不动点,即若 y=f(x)是[a,b]上的压缩映射,则 存在 x* ∈[a,b],使得 f( x* )= x* 证明: 1。任意 x0 ∈[a,b], 若 f( x0 )≠ x0 ,令 x1 =f( x0 ) x2 =f( x1 ),?, ,

xn =f( xn ?1 ),由定义,数列{ xn } ? [a,b].
28

2。 | xn ? xn?1 |?| f ( xn?1 ) ? f ( xn?2 ) |? k | xn?1 ? xn?2 |

? k | f ( xn?2 ) ? f ( xn?3 ) |? k 2 | xn?2 ? xn?3 |? ... ? k n?1 | x1 ? x0 |
3。对任何自然数 p

| xn? p ? xn |?| xn? p ? xn? p?1 ? xn? p?1 ? xn? p?2 ? ... ? xn?1 ? xn | ?| xn? p ? xn? p?1 | ? | xn? p?1 ? xn? p?2 | ?...| xn?1 ? xn | ? (k n? p?1 ? k n? p?2 ? ... ? k n ) | x1 ? x0 |
?
?

1? k p n k | x1 ? x0 | 1? k
1 n k | x1 ? x0 | 1? k

ln(1 ? k )
4。任意ε>0,存在 N=[

?

x1 ? x0 ] ln k

使得:n>N ?

1 n k | x1 ? x0 |? ? 1? k

所以对任何自然数 p,| xn? p ? xn |< ? 所以数列{ xn }收敛。
5。设 lim xn ? x* ,因为{ xn } ? [a,b],所以 x* ∈[a,b]
n ??

xn =f( xn ?1 )两边求极限,因为 f(x)连续,
所以 x* =f( x* ),可见 x* 是 f(x)的不动点。
6。用不动点原理求方程 F(x)=0 的根的近似值

方法:若已判断 F(x)=0 在[a,b]存在根,可将 F(x)=0 恒等变形为 x=f(x), 并使 f(x)是[a,b]上的压缩映射。任意 x0 ∈[a,b],构造数列 xn =f( xn ?1 )(n=1, 2,?)可见,方程的根 x* = lim f( x* ),当 n 大到一定程度, xn 就是根的近似值。
n? ?

总结负责人:李阳

29

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数列函数极限和函数连续性

数列函数极限和函数连续性_数学_高中教育_教育专区。数列、函数极限和函数连续性数列极限定义 1( ? ? N 语言) ?an ? 是个数列,a 是一个常数,若 ?? ? 0...

高等数学函数、极限和连续

lim ?1 ?2 ㈢两面夹定理 1. 数列极限存在的判定准则: 设: yn ? xn ? ...x §1.3 连续 一、 主要内容 ㈠ 函数连续性 lim (1 ? x) ? e x ...

函数、极限、连续重要概念公式定理

一、函数极限连续重要概念公式定理 函数极限连续重要概念公式定理(一)数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义: 数列极限的定义: 给定数列 { xn } ...

函数、极限与连续习题及答案

函数极限与连续习题及答案_理学_高等教育_教育专区。函数极限与连续习题及答案...如果 f ( x0 ) 存在的话,必等于极限值 1 2 3 4 15.数列 0 ,,,…是...

函数的极限与连续

第一章 函数极限与连续极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一,极限的...§1-2 极限的概念一、数列的极限 先看下面两个按一定次序排列的一列数 1 1...

考点27 数列的极限、函数的极限与连续性

考点27 数列的极限、函数极限与连续性_高三数学_数学_高中教育_教育专区。圆学子梦想 铸金字品牌 温馨提示: 此题库为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,...

数列极限与函数极限的统一

关键词:极限,数列,函数 极限概念是数学分析中最重要的概念,如连续、导数、积分...利用积分中值定理计算极限 计算数列和函数极限的关键是综合运用各种计算极限的方法...

2016考研数学函数极限及连续性的要求和解题技巧

2016考研数学函数极限连续性的要求和解题技巧_研究生入学考试_高等教育_教育专区...5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念. 6.了解极限的性质与...

大一高数第一章 函数、极限与连续

大一高数第一章 函数极限与连续_数学_自然科学_专业资料。第一章 函数、极限...变量的变化有跳跃性的,如自然数由小到大变化、 数列的变化等,而更多的则是在...