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2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第53讲 圆锥曲线(二)


第 53 讲

圆锥曲线(二)

1.焦半径公式 设 P 为圆锥曲线上任一点,r、d 分别为点 P 到焦点及相应准线的距离,则 r=ed. x2 y2 (1)对于椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F1(-c,0)、F2(c,0)是它的两个焦点.设 P(x,y)是椭 a b 圆上的任一点,则有 r1=|PF1|=a+ex,r2=|PF2|=a

-ex. y2 x2 由椭圆的焦半径公式可知, 椭圆上的某一点的焦半径的长是这一点的横坐标(对a2+b2=1 是纵坐标)的一次函数. x2 y2 b2 焦半径公式的另一种形式(对于a2+b2=1,a>b>0)为 r1=|PF1|= (θ 是以 F1x a-ccosθ 为始边,F1P 为终边的角,不是 F1P 的倾斜角). x2 y2 (2)对于双曲线 2- 2=1(a>0,b>0),F1(-c,0)、F2(c,0)是它的两个焦点.设 P(x, a b y)是双曲线上的任一点,若点 P 在双曲线的右支上,则有 r1=|PF1|=ex+a,r2=|PF2|=ex- a;若点 P 在双曲线的左支上,则有 r1=|PF1|=-ex-a,r2=|PF2|=-ex+a. x2 y2 b2 焦半径公式的另一种形式(对于a2-b2=1,a>0,b>0)为 r2=|PF2|=| |(θ 是以 a-ccosθ F2x 为始边,F2P 为终边的角,不是 F2P 的倾斜角). b2 b2 注意:当 >0 时,点 P 在右支上,当 <0 时,点 P 在左支上. a-ccosθ a-ccosθ p (3)对于抛物线 y2=2px(p>0),F( ,0)是它的焦点,设 P(x,y)是抛物线上的任一点,则 2 p p r=|PF|=x+ .设∠xFP=θ,则 r= . 2 1-cos? 2.共轭直径 二次曲线平行弦的中点轨迹称为它的直径.若两直径中的每一直径平分与另一直径平行 的弦,则称此两直径为共轭直径. x2 y2 b2 (1)设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0),互为共轭直径的斜率关系为 kk?=-a2; x2 y2 b2 (2)设双曲线的方程为a2-b2=1(a>0,b>0),互为共轭直径的斜率关系为 kk?=a2; p (3)设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),一组斜率为 k 的平行弦的中点轨迹为射线 y=k . 3.过焦点的弦 x2 y2 (1)设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0),过 F1(-c,0)的弦长为 2a+e(x1+x2),过 F2(c, 0)的弦长为 2a-e(x1+x2).过焦点的弦长是一个仅与它的中点横坐标有关的数. 2ab2 焦点弦长的另一种形式为 l= 2 2 .(θ 是以 F1x 为始边,F1P 为终边的角,不是 a -c cos2? F1P 的倾斜角). x2 y2 (2)设双曲线的方程为a2-b2=1(a>0,b>0),过 F1(-c,0)的弦长为|2a+e(x1+x2)|,

过 F2(c,0)的弦长为|2a-e(x1+x2)|. 2ab2 焦点弦长的另一种形式为 l=| 2 2 |(θ 是以 F2x 为始边,F2P 为终边的角,不是 a -c cos2? F2P 的倾斜角). p 2p (3)设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),F( ,0),设∠xFP=θ,则焦点弦长为 l= 2 . 2 sin ? 4.双曲线的渐近线 (1)如果曲线上的点无限远离原点时,存在一条直线 l,使得 P 与此直线的距离无限趋向于 零,则这条直线称为曲线 C 的一条渐近线. x2 y2 x2 y2 双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 2- 2=0. a b a b x2 y2 x2 y2 (2)共轭双曲线的方程为 2- 2=± 1,共渐近线的双曲线系方程: 2- 2=λ. a b a b 互为共轭的两条双曲线有以下性质: ① λ>0 时得焦点在 x 轴上的双曲线;λ<0 时得焦点在 y 轴上的双曲线;λ=0 时即是双曲 线的渐近线; 1 1 ② 两共轭的双曲线的离心率 e1,e2 满足e 2+e 2=1;
1 2

③它们的四个焦点在同一个圆上.

A 类例题
x 例 1.设 A(x1,y1)为椭圆 x2+2y2=2 上的一点,过点 A 作一条斜率为-2y 的直线 l,又
1

设 d 为原点到直线 l 的距离,r1,r2 分别为点 A 到椭圆两焦点的距离. 试证明 r1r2· d 为常数.(1990 年上海高考题) 分析 根据题意利用焦半径公式计算 r1,r2. x2 2 解 由椭圆方程 2 +y2=1 得,a2=2,b=1,c=1,则 e= 2 . 由 r1=a+ex1,r2=a-ex1, 得 r1r2=a2-e2x1
2



x 直线 l 的方程为 y-y1=-2y (x-x1),
1



x1x+2y1y=x1+2y1.错误!未指定书签。
2 2

2

2

又 A(x1,y1)在椭圆上,则 x1+2y1=2,则 x1x+2y1y=2, 从而得 d= 2
2


2

2 4-x1 1 2 2-2x1·
2



x1+4y1

将①、②代入 r1r2· d 得: r1r2· d=

= 2. 2 4-x1

2

说明 本题也可以先由点斜式求得直线 l 的方程,求出 d;然后再根据点 A 的坐标,结合

椭圆的方程分别解出 r1 和 r2,但这样计算量比较大. x2 y2 例 2.已知 F 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的右焦点,弦 A1B1、A2B2、A3B3 过焦点 F,M1、 M2、M3 分别是弦 A1B1、A2B2、A3B3 的中点. 求证:|A1B1|、|A2B2|、|A3B3|成等差数列的充要条件是点 M1、M2、M3 的横坐标 x1、x2、 x3 成等差数列. 分析 利用中点公式和椭圆的第二定义 进行转化. a2 证明 作椭圆的右准线 l: x=x0, (x0= c ).
y A1
2 3

A 作 A1C1⊥l 于 C1,作 B1D1⊥l 于 D1,作 M1N1 ⊥ l 于 A F x O N N1, M M M B 记|A1C1|=d1,|B1D1|=d2,|M1N1|=d. D B B 则 |A1B1| = |A1F| + |B1F| = e(d1 + d2) = 2ed = 2e(x0 -x1), 同理,|A2B2|=|A2F|+|B2F|=2e(x0-x2), |A3B3|=|A3F|+|B3F|=2e(x0-x3), 于是,|A1B1|、|A2B2|、|A3B3|成等差数列的充要条件是(x0-x1)+(x0-x3)=2(x0-x2),即 x1+x3=2x2,即 x1、x2、x3 成等差数列.从而得证! 例 3.直线 l 经过点(1,1),若抛物线 y2=x 上存在两点关于直线 l 对称,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解 设直线 l 的方程为 y-1=k(x-1), 直线 l 垂直平分抛物线的弦 AB, 且 A(x1, y1), B(x2, y2),M(x0,y0)是 AB 的中点,
3 1 1 2 3 1 2 1

C1



y1=x1, y2=x2, y1-y2 1 =-k x1-x2 x1+x2=2x0 y1+y2=2y0
2

2

(1) (2) (3) (4) (5)

(1)-(2)得, 即 又由(5)知

(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, y1-y2 1 = , x1-x2 y1+y2 y0= 1 1 所以 =-k . y1+y2

y1+y2 k =- . 2 2

1 1 由于 M 在直线 l 上,则 y0-1=k(x0-1),则可得 x0=2-k. k 1 1 2 又 M 在抛物线的内部,即 y0<x0,所以(- )2< - , 2 2 k k3-2k+4 (k+2)(k2-2k+2) 即 <0,也就是 <0, k k 解得 -2<k<0. 说明 在解涉及弦的中点等相关问题时, 可以采用这样的方法: 设弦的两个端点坐标为(x1,

y1),(x2,y2),然后列出五个方程来解:此两点在椭圆上可得两个方程,弦的中点又可得两个 方程,关于斜率再得一个方程,利用消去参数以求出解.

情景再现
x2 y2 1.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为 F1、F2,左准线 l,P 是双曲线左 a b 半支上一点,并且有|PF1|是 P 到 l 的距离 d 与|PF2|的比例中项,求双曲线离心率 e 的取值范 围. 2.已知 F1、F2 为椭圆 E 的左、右焦点,抛物线 C 以 F1 为顶点,F2 为焦点,设 P 为椭 圆与抛物线的一个交点,如果椭圆的离心率 e 满足|PF1|=e|PF2|,则 e 的值为___________. 3.设 P1、P2 是抛物线 x2=y 的一条弦,如果 P1P2 的垂直平分线方程为 y=-x+3,则 弦 P1P2 所在直线方程为( ) A.y=x+3 B.y=x-3 C.y=x+2 D.无法确定 (河南省 1999 年高中数学竞赛)

B 类例题
x2 y2 例 4.已知点 P 在双曲线 - =1 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰好是 P 16 9 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,求 P 点的横坐标.(1999 年全国高中数学联赛) 分析 由于题中出现了圆锥曲线上一点到焦点的距离,故可以考虑利用焦半径的相关知 识. 解 记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为 a、b、c,离心率为 e,点 P 到右准线 l 的距 c 5 离为 d,它到左、右准线的距离分别为 r1、r2,则 a=4,b=3,c=5,e= = ,右准线 l 为 a 4 a2 16 x= = . c 5 于是 r1-r2=±2a(P 点在双曲线右支取“+”号,在左支取“-”号). 故 r2=ed,r1=ed±2a. ±a 由 2d=r1+r2,得 d= . 1-e 但 e>1,故“-”号,即 P 点在双曲线左支上. 得 d= a 4 = =16. e-1 5 - 1 4

16 64 因此,P 的横坐标为 5 -16=- 5 . y2 例 5.过双曲线 x2- =1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若实数 λ 使得|AB| 2 =λ 的直线 l 恰有 3 条,则 λ=______.(1997 年全国高中数学联赛) 2b2 解 右支内最短的焦点弦= a =4. 又 2a=2,故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2,这样的弦由对称性有两条. 故 λ=4 时设 AB 的倾斜角为 θ,则右支内的焦点弦

λ=

2ab2 4 = ≥4, a2-c2cos2θ 1-3cos2θ 2 2ab2 4 ?=? ?=4. 时,λ=? 2 2 2 3 ?a -c cos θ? ?1-3cos2θ?

当 θ=90° 时,λ=4. 与左支相交时,θ=±arccos

故 λ=4. 说明 本题要充分考虑特殊位置和对称性. 3 例 6.已知抛物线 C1 的顶点( 2-1,1),焦点( 2-4,1),另一抛物线 C2 的方程 y2- ay+x+2b=0,C1 与 C2 在一个交点处它们的切线互相垂直,试证 C2 必过定点,并求该点的 坐标.(上海市 1985 年高中数学竞赛) 1 解 C1 的 p= ,方程(y-1)2=x-( 2-1),即 y2-2y-x+ 2=0. 2 1 设交点为(x0,y0),则 C1 的切线方程为 y0y-(y+y0)- (x+x0)+ 2=0., 2 即 2(y0-1)y-x-2y0-x0+2 2=0. 1 1 同理可得,C2 的切线方程为 y0y-2a(y0+y)+2(x+x0)+2b=0, 即 (2y0-a)y+x-ay0+x0+4b=0. 由题意知二者垂直,从而可得 1(-1)+2(y0-1)(2y0-a)=0, 整理得 4y02-2(a+2)y0+2a-1=0. ① 由 y02-2y0-x0+ 2=0 和 y02-ay0+x0+2b=0,相加得: 2y02-(a+2)y0+2b+ 2=0, ② ①-②×2 得:2a-1-4b-2 2=0, 可得 4b=2a-1-2 2. ③ 2 代入 C2 方程整理即可得:2y -2ay+2x+2a-1-2 2=0, 即 2y2+2x-2 2-1-2a(y-1)=0,
?2y2+2x-2 2-1=0, 取方程组? , y-1=0. ?

1 解得( 2-2,1). 1 即对任何满足③的 a、b,点( 2-2,1)在曲线 C2 上,即 C2 过定点,该定点的坐标为( 2 1 -2,1). 说明 解决与二次曲线的切线有关的问题时通常有如下的方法求得切线: (1)替换原则:二次曲线上的一点(x0,y0)处的切线方程:可把原二次曲线的方程中各含未 知数的项按如下规则替换: 1 1 1 x2→x0x;y2→y0y;xy→ (x0y+xy0);x→ (x+x0);y→ (y+y0). 2 2 2 (2)已知斜率的切线方程: x2 y2 椭圆a2+b2=1 的斜率为 k 的切线方程为 y=kx± a2k2+b2;

x2 y2 双曲线 2- 2=1 的斜率为 k 的切线方程为 y=kx± a2k2-b2; a b p 抛物线 y2=2px 的斜率为 k 的切线方程为 y=kx+2k. (3)一般的切线方程可以用求导的方法解决.

情景再现
x2 y2 2b2 4.定长为 m 的线段 AB 两个端点在双曲线a2-b2=1 的右支上移动(m> a ),那么,AB 中点 M 的横坐标的最小值为__________;(用 a,b,m 表示) (安徽省 2002 年高中数学竞赛 题) x2 y2 5.如图所示,过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b a b 点 P 引圆 O:x2+y2=b2 的两条切线 PA、PB, 切点,直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 M、N (1)ΔOMN 面积的最小值; (2)椭圆 C 上是否存在 P'点,由 P'向圆 O 互相垂直?证明你的结论. (x-1)2 (y-2)2 6. 已知椭圆 C: + =1 上存 9 4 l:y=2x+m 对称的两点,试求 m 的取值范围.(四川省 1993 年高中数学竞赛)
y N A P O M B x

> 0) 上 的 动 A、B 分别为 两点.求: 所引两切线

在关于直线

C 类例题
x2 y2 例 7.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0),抛物线 C2 的顶点在原点 O,C2 的焦点是 C1 a 2a 的左焦点 F1. ⑴求证:C1 与 C2 总有两个不同的交点; ⑵是否存在过焦点 F1 的 C2 的弦 AB,使△AOB 的面积有最大值或最小值?如果存在,求 出 AB 所在直线的方程,如果不存在,说明理由.(湖南省 1998 年高中数学竞赛) 解 (1)双曲线焦点(± 3a,0),抛物线方程 y2=-4 3ax,
?y2=-4 3ax, C1、C2 的交点坐标由方程组? 2 2 2 ?2x -y =2a



确定. ②

①代入②,得 x2+2 3ax-a2=0, 解得 x=(- 3±2)a. 当 x=(- 3+2)a 时方程组无解; 当 x=(- 3-2)a 时方程组有两个解.从而 C1 与 C2 有两个不同交点. (2)当 AB⊥Ox 时,|AB|=4 3a,S△AOB=6a2. 当 AB 不与 x 轴垂直时,设 AB 的斜率为 k,则 y=k(x+ 3a), y 代入抛物线方程得,y2=-4 3a( - 3a), k 即 y2+ 4 3a y-12a2=0. k 1 k2+1.

1 则△=48a2(k2+1),从而|y2-y1|=4 3a

1 则 S△AOB=2|y2-y1|·|OF1|=6a2 此时直线 AB 的方程为 x=- 3a.

1 2 k2+1≥6a .

即△AOB 的面积没有最大值,但有最小值,最小值为 6a2. x2 y2 x2 y2 例 8.已知 l1、l2 是双曲线 2- 2=1 的两条渐近线,过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点 a b a b |PB| F 作直线 m, 使 m⊥l1, m 与 l2 的交点为 P, m 与已知椭圆的交点记作 A 与 B(如图所示), 求|PA| 的最大值及此时椭圆的离心率. 解 由题意可设 l1:bx-ay=0,l2:bx+ay=0. 则直线 m 的方程为: ax+by-ac=0. (c c = ,0<e<1). a a2 ab 从而 P( c , c ),则 P 在椭圆的右准线上. FA 记 =?(?>0),则由定比分点公式得点 A AP a2 ab c+?· ?·c c x= ;y= . 1+? 1+? 此坐标满足椭圆方程,代入得: (c2+?a2)2+?2a4=a2c2(1+?)2. 整理得 c4+2?a2c2+2?2a4=a2c2+2?a2c2+?2a2c2. 两边同除以 a4 得:e4+2?2=e2+?2e2. 整理得: e2-e4 2 ?2= =e2+1- 2-e2 2-e2 2 =3-(2-e2+ ) 2-e2 ≤3-2 2 当且仅当 2-e2= 2时取等号,即 e= 2- 2时,?max= 2-1. |PB| 记 t= |PA|,作椭圆的右准线,分别过 A、B 作此准线的垂线,交准线于 M、N.由 P 在 此准线上, 知 即 故 t= |PB| |NB| |FB| = = . |PA| |MA| |FA|
y

= a2-b2, e

B O FA P

x

坐标:

|BF|=t|AF|, |AB|=(1+t)|AF|,

t-1 |AF| t-1 又|AB|=(t-1)|PA|,故|PA|= ,即?= , t+1 t+1 t-1 从而 t+1 ≤ 2-1,解得 t≤ 2+1. |PB| 从而当椭圆的离心率等于 2- 2时, 取得最大值 2+1. |PA|

情景再现
x2 y2 7.椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l:y=4x+m,椭 圆上总有不同的两点关于直线 l 对称. + 8.设 y2=2n 1x(n=1,2,3,?,2000)为一族抛物线,分别过每条抛物线的焦点作倾 斜角为 45° 的直线,并截该抛物线得弦 AnBn(n=1,2,3,?,2000),将各弦绕其对应准线 旋转 90° 得到 2000 个旋转面,试求所有这些旋转面面积的和.

习题 53
1.已知抛物线 y2=ax 与其关于点(2,1)对称的抛物线有 2 个不同的交点,且过这 2 个点 的直线的倾斜角为 45° ,这时实数 a 的值是____________________. 2.若椭圆的长轴长为 4,左顶点在抛物线 y2=x-1 上,且左准线为 y 轴,则这样的椭圆 的离心率的最大可能值是 ;(上海市 1992 年高中数学竞赛) x y x2 y2 3.直线 + =1 与椭圆 + =1 相交于 A、B 两点,该椭圆上点 P,使得Δ PAB 面积 4 3 16 9 等于 3.这样的点 P 共有( ) A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 (2002 年全国高中数学联赛) 4.设双曲线的左右焦点是 F1、F2,左右顶点是 M、N,若△PF1F2 的顶点 P 在双曲线上, 则△PF1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点位置是( ) A.在线段 MN 内部 B.在线段 F1M 内部或在线段 NF2 内部 C.点 M 或点 N D.不能确定的 (1990 年全国高中数学联赛) x2 y2 5. 设过椭圆 + =1 的右焦点的弦 AB=8, 则△AOB 的面积是 25 16 海市 1993 年高中数学竞赛) x2 y2 6.已知方向向量为 v=(1, 3)的直线 l 过点(0,-2 3)和椭圆 C: 2+ 2=1(a>b a b >0)的焦点,且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上. (1)求椭圆 C 的方程; y (2)是否存在过点 E(-2,0)的直线 m 交椭圆 C 于点 M、 4 → → N,满足OM· ON< 6cot∠MON≠0(O 为原 点) .若存在,求 3 E x 直线 m 的方程; 若不存在, 请说明理由. (2005 年高考题(福建 O 卷)) 7. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的一条长为 l 的弦 AB,求 AB 中点 M 到 y 轴的最短距离,并求出此时 M 点的坐标. 8.已知 AB、BC、AC 是抛物线 y2=2px(p>0)的任意三条切线,它们交成一个 ΔABC, 求证 ΔABC 的垂心在某条固定的直线上. ; (上

本节“情景再现”解答: a(2a+m) 3 1.1<e≤1+ 2. 2. 3 . 3.C. 4. . 2 a2+b2 b3 ab 5.(1)ΔOMN 面积的最小值为 a ;(2)当 a≥ 2b 时,椭圆 C 上存在点 P'( 2 , a - b2

b a2-2b2 ),使得由 P'向圆 O 所引两切线互相垂直,当 a< 2b 时,不存在满足要求的点 P'. a2-b2 2 2 6.m 的取值范围为(-2,2).7.m 的取值范围为(-13 13,13 13).8.所求侧面积 16 之和等于 ?(42000-1). 3 本节“习题 13”解答: 2 1.a=2. 2.3. 3.B. 4.C. 5.8.

x2 y2 3 2 3 3 2 3 6. (1)椭圆 C 的方程为 + =1; (2)所求直线方程为 y= x+ , 或 y=- x- 6 2 3 3 3 3 或 x=-2. a2+b2 a+b a2 b2 7.设 A、B 的坐标分别为 A(2p,a),B(2p,b),则中点 M 的坐标为( 4p , 2 ) , 从而有(a+b)2=4y2,(a-b)2=8px-4y2 a2-b2 ①,又由|AB|=l,有 l2=( 2p )2+(a-b)2=(a ②. p2l2 p l-p - = ,当且仅当 y 4 2 2

(a+b)2+4p2 -b)2 ,将①式代入得,4(2px-y2)(y2+p2)-p2l2=0 4p2 (1)当 l≥2p 时,由②有 x= = 1 2 p2l2 p 1 [(y +p2)+ 2 ]- ≥ 2p 4(y +p2) 2 p

l-p l-p pl 2 2 -p 时等号成立,点 M 到 y 轴的最短距离为 xmin= 2 ,此时点 M 的坐标为( 2 , pl 2 . 2 -p ) 1 p2l2 (2)当 0<l<2p 时,由②有 x= ( 2 +4y2), 8p y + p2 ③

对于 0≤y12<y22 有 x2-x1=

(y22-y12)[4y12y22+4p2(y12+y22)+p2(4p2-l2)] >0. 8p(y12+p2)(y22+p2)

l2 可见,函数③关于自变量 y2 是增函数,当 y=0 时,有最小值 xmin=8p,此时 M 点的坐 l2 标为(8p,0). 8.ΔABC 的垂心在抛物线的准 1 1 上三个切点为 ( pa2, pa),( pb2 , 2 2 BA 的方程为 2x-2ay=-pa2 ①, 同理 AC 的方程为: 2x-2cy=-pc2 CB 的 方 程 为 : 2x - 2by = - pb2 标为①、②的交点,①-②得 2cy- p c -a 1 pa2.y=2· = p(c+a),x=ay c-a 2 1 1 1 1 +a)-2pa2=2pac,则 A(2pac,2
2 2
B D y

线上.设抛物线 pb), (pc2, pc). 则
( A H O (
1 2 1 2

pa2 ,pa)

x pc2 ,pc)

②, ③,则 A 点的坐 2ay = pc2 - 1 p - 2 pa2 = a· 2 (c

C

(

1 2

pb2 ,pb)

p(c + a) ) .同理

1 1 1 1 可得,B( pab, p(a+b)) ,C( pbc, p(b+c)) .因为 kAD=-b,则直线 AD 的方程为: 2 2 2 2 p 1 p p p y-2(c+a)=-b(x-2pac).令 x=-2,得 AD 于准线交点 H 的坐标,H(-2,2(a+b+c p p 2(a+b+c+abc)-2(a+b) c+abc 1 +abc)) .而 kBH= = =-c.kBH= ,故 BH⊥AC,同 p 1 c -(1+ab) - - pab 2 2 理 CH⊥AB,故 H 为 ΔABC 的垂心.结论得证.


2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第53讲 圆锥曲线(二)

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