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人教B版高中数学课件 选修2-2:第一章 导数及其应用 3.3《函数的最大(小)值与导数》


1.3.3 函数的最大(小) 值与导数 函数的最大(小)值与导数 内容:利用导数研究函数的最大(小)值 应用: 1.求函数的最大值和最小值 2.已知函数的最值求函数的解析式 3.利用导数和不等式恒成立问题求参数的取 值范围. 本课主要学习利用导数研究函数的最大(小)值。以 视频世界上最长的荡秋千线最高、最低点引入新课。通 过合作交流,使学生发现并掌握极值与最值的区别与

联 系,感受领会从数到形的探究过程。接着讲述某函数在 一个确定的闭区间上存在最值的条件。针对定理所解决 的三类问题给出 4个例题和变式,通过解决问题巩固新 知,强调利用导数研究函数最值问题的重要性。 在讲述利用导数研究函数最值时,采用例题与变式结 合的方法,通过例1、例2和变式巩固掌握求已知函数在 闭区间的最值的方法。例 3及变式,既注重了与原问题 的联系,又在不知不觉中提高了难度,提高了学生的解 题能力;而例 4是与函数最值有关的恒成立问题,说明 思路的由来过程,开阔了学生的思路. 世界上最长的荡秋 千线最高、最低点 通过观看视频,大家一起讨论一下荡秋千线最 高、最低点问题. 问题1:函数单调性与导数关系 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导, f(x)为增函数 f(x)为减函数 y y=f(x) f '(x)>0 y y=f(x) f '(x)<0 o o a x 如果在某个区间内恒有 a b ,则 x 为常数. b 问题2:函数的极大(小)值的概念 y y 使函数取得极值的 点x0称为极值点 o x o x 设函数f(x)在点x0附近有定义, ?如果对X0附近的所有点,都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f(x0); ?如果对X0附近的所有点,都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值= f(x0); ◆函数的极大值与极小值统称 为极值. 问题3:求函数的极值的方法与步骤 ? (1)确定函数的定义域 ? (2)求函数的导数f’(x) ? (3)求方程f’(x)=0的根,找到临界点 ? (4)解不等式并列成表格 ? (5)求出极值 左正右负极大值,左负右正极小值 问题4: 观察下列图形,你能找出函数的极值吗? y y=f(x) a x1 x2 x3 o x4 x5 x6 b x f ( x1 ), f ( x3 ), f ( x5 ) 是函数 观察图象,我们发现, f ( x2 ), f ( x4 ), f ( x6 )是函数y=f(x)的 y=f(x)的极小值, 极大值. 极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值与它附 近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的 整个的定义域内最大或最小. 在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益,常常遇 到如何能使用料最省、产量最高,效益最大等问题,这 些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小 值问题. 函数在什么条件下一定有最大、最小值?他们与函数极 值关系如何? 观察下面一个定义在区间[a,b]上的函数f(x)的图象. y y=f(x) a x1 o X2 X3 b x 问题1:这个函数f(x)在区间[a,b]上有极值吗? 问题2:指出它的极值点有哪些,并分别说明是极大值点还是 极小值点. 问题3:f(x)在[a,b]上存在最值吗?你觉得它的最小值和最大 值分别在哪里取得? 问题4:你是如何得出最大(小)值的?

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