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高中数学必修1-4

时间:2016-05-19


数学必修 1-5 常用公式及结论
必修 1:
一、集合 1、含义与表示: (1)集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性

(2)集合的分类;有限集,无限集 (3)集合的表示法:列举法,描述法,图示法 2、集合间的关系:子集:对任意 x ? A ,都有 x ? B ,则称 A 是 B 的子集。记作 A ? B 真子集:若 A 是 B 的子集,且在 B 中至少存在一个元素不属于 A,则 A 是 B 的真子集, 记作 A ? B
?

集合相等:若: A ? B, B ? A ,则 不属于: ?

A? B

3. 元素与集合的关系:属于 ?

空集: ?

4、 集合的运算: 并集: 由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫并集, 记为 A ? B 交集:由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的集合叫交集,记为 A ? B 补集:在全集 U 中,由所有不属于集合 A 的元素组成的集合叫补集, 记为 CU A 5.集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2
n

个;真子集有 2 –1 个;非空子集有 2
*

n

n

–1

个; 6.常用数集:自然数集:N 正整数集: N 二、函数的奇偶性

整数集:Z

有理数集:Q 实数集:R

1、定义: 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ,偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )(注意定义域) 2、性质: (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形; (2)偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形; (3)如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数; (4)如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 二、函数的单调性 1、定义:对于定义域为 D 的函数 f ( x ),若任意的 x1, x2∈D,且 x1 < x2 ① ② f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数
1

2、复合函数的单调性: 同增异减 三、二次函数 y = ax2 +bx + c( a ? 0 )的性质 1、顶点坐标公式: ? ??

?

b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 ? ? x ? ? , 对称轴: ,最大(小)值: , 2a 4a 4a ? ? 2a ?

2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ;

(3)两根式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则: (1)a m ? a n = a m + n , (2) a ? a ? a
m n m?n

, (3)( a m ) n = a m n (4)

( ab ) n = a n ? b n
? 1 1 an ?a? ?n m n (5) ? ? ? n (6)a 0 = 1 ( a≠0)(7) a ? n (8) a m ? a (9) a m ? m n a b ?b? a
n
n

n

2、根式的性质 (1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ? 4、指数函数 y = a x (a > 0 且 a≠1)的性质: (1)定义域:R ; 值域:( 0 , +∞) (2)图象过定点(0,1)

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

Y a>1 1 0 X

Y 0<a<1 1 0 X

5.指数式与对数式的互化: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
2

五、对数与对数函数 1 对数的运算法则: (1)a b = N <=> b = log a N(2)log a 1 = 0(3)log a a = 1(4)log a a b = b(5)a (6)log a (MN) = log a M + log a N (8)log a N b = b log a N (10)推论 log a m b ?
n
log

aN

=N

(7)log a (

M ) = log a M -- log a N N

(9)换底公式:log a N =

logb N logb a

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m
(12)常用对数:lg N = log 10 N (13)自然对数:ln A = log 2、对数函数 y = log a x (a > 0 且 a≠1)的性质: 值域:R (2)图象过定点(1,0) Y X 0

(11)log a N =
eA

1 log N a

(其中 e = 2.71828?)

(1)定义域:( 0 , +∞) ; Y a >1

0<a<1 1 X

0

1

六、幂函数 y = x a 的图象:(1) 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 . 0<a<1 a<0

a>1

例如: y = x

2

y? x?x

1 2

y?

1 ? x ?1 x

七.图象平移:若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位, 得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象; 规律:左加右减,上加下减 八. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的 总产值 y ,有 y ? N (1 ? p) .
x

3

九、函数的零点:1.定义:对于 y ? f ( x) ,把使 f ( x) ? 0 的 X 叫 y ? f ( x) 的零点。即

y ? f ( x) 的图象与 X 轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象是连续不断的一条 曲线, 并有 f (a) ? f (b) ? 0 , 那么 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内有零点, 即存在 c ? ? a, b ? , 使得 f (c) ? 0 ,这个 C 就是零点。 3.二分法求函数零点的步骤: (给定精确度 ? ) (1)确定区间 ? a, b? ,验证 f (a) ? f (b) ? 0 ;(2)求 ? a, b ? 的中点 x1 ?

a?b 2

(3)计算 f ( x1 ) ①若 f ( x1 ) ? 0 ,则 x1 就是零点;②若 f (a) ? f ( x1 ) ? 0 ,则零点

x0 ? ? a, x1 ? ③若 f ( x1 ) ? f (b) ? 0 ,则零点 x0 ? ? x1 , b ? ;
(4)判断是否达到精确度 ? ,若 a ? b ? ? ,则零点为 a 或 b 或 ? a, b ? 内任一值。否 则重复(2)到(4)

4

必修 4
函数

一、三角函数与三角恒等变换 1、三角函数的图象与性质
正弦函数 余弦函数 正切函数

图象

定义域 值域 周期性 奇偶性

R [-1,1] 2π 奇函数 增 区 间 [-

R [-1,1] 2π 偶函数

{x| x≠

? +kπ ,k∈Z} 2
R π 奇函数

单调性

对称轴 对称中心

? +2k π ] 减 区 间 2 3? ? [ +2kπ , +2kπ ] 2 2 ? x= + kπ ( k∈Z ) 2
π , ( kπ ,0 ) ( k∈Z )

? 2

+2k

增区间[-π +2kπ , 2kπ ] 增区间 (减区间[2kπ ,π +2kπ ] ( k∈Z ) π) ( k ∈Z ) x = kπ ( k∈Z ) ( (k

? ? +k π , +k 2 2



2、同角三角函数公式

? + kπ ,0 )( k∈Z ) 2 sin ? tan ? ? sin 2α + cos 2α = 1 cos ?

? ,0 ) ( k∈Z ) 2

tanα cotα =1

3、二倍角的三角函数公式 sin2α = 2sinα cosα

cos2α =2cos2α -1 = 1-2 sin2α = cos2α -

2t an ? 2 1? t a n ? 1 ? cos 2? 2 4、降幂公式 cos ? ? 2
sin2α

t an 2? ?

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 2
1- cos2α = 2 sin2α cos (α ±β ) = cos

5、升幂公式 1±sin2α = (sinα ±cosα ) 2

1 + cos2α =2 cos2α

6、 两角和差的三角函数公式 sin (α ±β ) = sinα cosβ 土 cosα sinβ α cosβ 干 sinα sinβ

tan?? ? ? ? ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?
5

7、两角和差正切公式的变形: tanα ±tanβ = tan (α ±β ) (1 干 tanα tanβ )

1 ? tan ? tan 45 ? ? tan ? ? = = tan ( +α ) 1 ? tan ? 1 ? tan 45 ? tan ? 4
8、两角和差正弦公式的变形(合一变形)

1 ? tan ? tan 45? ? tan ? ? = = tan ( -α ) 1 ? tan ? 1 ? tan 45? tan ? 4

a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ?
9、半角公式: sin

(其中 tan ? ?

b ) a

?
2

??

1 ? cos? 2

cos ?? 2

?

1? c o ? s 2

tan

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变,符号看象限。 ” sin (π -α ) = sinα , sin (π +α ) = -sinα sin (2π -α ) = -sinα sin (-α ) = -sinα cos (π -α ) = -cosα , cos (π +α ) = -cosα cos (2π -α ) = cosα cos (-α ) = cosα cos ( tan (π -α ) = -tanα ; tan (π +α ) = tanα tan (2π -α ) = -tanα tan (-α ) = -tanα

? -α ) = cosα 2 ? sin ( +α ) = cosα 2
sin (

? -α ) = sinα 2 ? cos ( +α ) = -sinα 2

? -α ) = cotα 2 ? tan ( +α ) = -cotα 2
tan (

11.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A, ω , ? 为 常 数 , 且 A ≠ 0 , ω > 0) 的 周 期 T ?

2?

x ? k? ?

?
2

?

? (x ? ? , ) ;函数 y?tan
? . ?

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?
(一) 、向量的有关概念

二、平面向量

1、向量的模计算公式: (1)向量法:| a | = a ? a ?

a ;

2

2 2 (2)坐标法:设 a =(x,y) ,则| a | = x ? y

6

2、单位向量的计算公式: (1)与向量 a =(x,y)同向的单位向量是 ?

?

x

? x2 ? y2 ? x

,

? ?; 2 2 ? x ?y ? y , ? ? ?; 2 2 ? x ?y ? y

(2)与向量 a =(x,y)反向的单位向量是 ? ?

? ? ?

x2 ? y2

3、平行向量 规定:零向量与任一向量平行。设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) ,λ 为实数 向量法: a ∥ b ( b ≠ 0 )<=> a =λ b 坐标法: a ∥ b ( b ≠ 0 )<=> x1 y2 – x2 y1 = 0 <=> 4、垂直向量 规定:零向量与任一向量垂直。设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) 向量法: a ⊥ b <=> a · b = 0 5.平面两点间的距离公式 坐标法: a ⊥ b <=> x1 x 2 + y1 y 2 = 0

x1 x 2 (y1 ≠0 ,y 2 ≠0) ? y1 y 2

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
(二) 、向量的加法 (1)向量法:三角形法则(首尾相接首尾连) ,平行四边形法则(起点相同连对角) (2)坐标法:设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) ,则 a + b =(x1+ x2 ,y1+ y2) (三) 、向量的减法 (1)向量法:三角形法则(首首相接尾尾连,差向量的方向指向被减向量) (2)坐标法:设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) ,则 a - b =(x1 - x2 ,y1- y2) (3) 、重要结论:| | a | - | b | | ≤ | a ± b | ≤ | a | + | b |

7

(四) 、两个向量的夹角计算公式: (1)向量法:cos ? =

a ?b | a || b | x1 x 2 ? y1 y 2
2 2 x12 ? y12 x 2 ? y2

(2)坐标法:设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) ,则 cos ? =

(五) 、平面向量的数量积计算公式: (1)向量法: a · b = | a | | b | cos ? (2)坐标法:设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) ,则 a · b = x1 x2 + y1 y2 (3) a·b 的几何意义: 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. (六).1、实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a;(2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 2.向量的数量积的运算律:(1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ( ? b);(3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 3.平面向量基本定理:如果 e1、e
2

是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一

平面内的任一向量,有且只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2.不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (七).三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 )、C(x3 ,y3 ) ,则△ABC 的重心的坐 标是 G (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ) 3 3

8


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