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海南省文昌中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学(文)试卷 Word版含解析

时间:2016-07-28


2014-2015 学年海南省文昌中学高一(下)期中数学试卷(文科)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.将﹣300°化为弧度为( ) A. B. C. D.

2.有五组变量: ①汽车的重量和汽车每消耗 l 升汽油所行驶的平均路程; ②平均日学习时间和平均学习成绩; ③某人每日吸烟量和其身体健康情况; ④正方形的边长和面积; ⑤汽车的重量和百公里耗油量; 其中两个变量成正相关的是( ) A.①③ B.②④ C.②⑤ 3.如图的程序框图是计算和式 1+3+5+…+99,空白地方应填( )

D.④⑤

A.i=i+1

B.i=i+2

C.i=2i﹣1

D.i=i+3

4.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均 数分别是( )

A.91.5 和 91.5

B.91.5 和 92

C.91 和 91.5 )

D.92 和 92

5.先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是( A. B. C.

D.

6.对于下列表格所示五个散点,已知求得的线性回归直线方程为 =0.8x﹣155,则实数 m 的值为( )

x y

196 1

197 3

200 6

203 7

204 m

A.8

B.8.2

C.8.4

D.8.5

7.阅读程序框图,任意输入一次 x(﹣1≤x≤1)与 y(﹣1≤y≤1) ,则能输出数对(x,y)的 概率为( )

A.

B.

C.

D.

8.防疫站对学生进行身体健康调查,按男女比例采用分层抽样的方法,从 2400 名学生中抽 取一个容量为 200 的样本,已知女生比男生少抽 10 人,则该校女生人数为( ) A.1200 B.1190 C.1140 D.95

9.已知 A.﹣2

=﹣5,那么 tanα 的值为( B.2 C.

) D.﹣

10.200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速超过 60km/h 的 汽车数量为( )

A.65 辆

B.76 辆

C.88 辆

D.95 辆

11.一个总体中的 1000 个个体编号为 0,1,2,…,999,并以此将其分为 10 个小组,组号 为 1,2,3,…,10,要用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如果在第 1 组抽取 的号码为 x,那么依次错位地得到后面各组的号码,即第 k 组中抽取的号码的后两位数为 x+33k 的后两位数,若 x=57,则第 7 组抽取的号码为( ) A.657 B.757 C.688 D.788 12.点 P 从(1,0)点出发,沿单位圆 x +y =1 按逆时针方向转动 的坐标为( A. (﹣ , ) ) B. (﹣ ,﹣ ) C. (﹣ ,﹣ ) D. (﹣ ,﹣ )
2 2

弧长到达 Q 点,则 Q

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.如果下边程序执行后输出的结果是 132,那么程序中 UNTIL 后面的“条件”应为 __________.

14.若 cosθ?tanθ>0,且﹣x cosθ>0,则角 θ 为第__________象限. 15.一个袋子装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别是 1,2,3,4,先从袋中随 机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取出一个球,该球的编号 为 n,则 n<m+2 的概率为__________. 16.若点(p,q) ,在|p|≤3,|q|≤3 中按均匀分布出现,则方程 x +2px﹣q +1=0 有两个实数根 的概率__________.
2 2

2

三、解答题(17 题 10 分,18-22 题各 12 分,共 70 分) 17.化简与计算: (1)4sin30°+2 ;

(2)x cos4π﹣y sin

2

2



18. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20﹣80mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车;在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉酒驾车,对于酒后 驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚. 某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中, 依法检查了 250 辆机动车, 查出酒后 驾车和醉酒驾车的驾驶员 20 人, 下面图表是对这 20 人血液中酒精含量进行检查所得结果的 数据表和频率分布直方图.

酒精含量(单位:mg/100ml)[20,30) 3 人数 酒精含量(单位:mg/100ml)[60,70) y 人数

[30,40) 4 [70,80) 3

[40,50) x [80,90) m

[50,60) 1 [90,100] n

(1)根据频率表和直方图分别求出 x,y,m,n,并补充完整频率分布直方图; (注:只需补全[40,50)与[70,80)两段,其他段的已经画好) (2)从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中任取 3 人,求至多有 1 人属于醉酒驾车 的概率.

19.设



(1)若

,求 f(α)的值; ,求 f(α)的值.

(2)若 α 是锐角,且

20.甲,乙两人进行射击比赛,每人射击 6 次,他们命中的环数如下表:

甲 乙

5 6

8 7

7 4

9 10

10 9

6 9

(Ⅰ)根据上表中的数据,判断甲,乙两人谁发挥较稳定; (Ⅱ) 把甲 6 次射击命中的环数看成一个总体, 用简单随机抽样方法从中抽取两次命中的环 数组成一个样本,求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 注: = (x1+x2+…+xn) S = [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(xn﹣ ) ].
2 2 2 2

21.某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据

x y

6 2

8 3

10 5

12 6

(Ⅰ)请画出上表数据的散点图; (Ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ; (Ⅲ)试根据(Ⅱ)求出的线性回归方程,预测记忆力为 9 的同学的判断力.

(相关公式:

, = ﹣ x)

22.某商场为了了解顾客的购物信息,随机的在商场收集了 100 位顾客购物的相关数据,整 理如下:

一次购物款(单位:元)[0,50) m 顾客人数

[50,100) [100,150) [150,200) [200,+∞) 20 30 n 10

统计结果显示 100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客共 60 位,据统计该商场每日大约有 5000 名顾客,为了增加商场销售额度,对一次性购物不低于 100 元的顾客发放纪念品(每 人一件) . (Ⅰ)试确定 m,n 的值,并据上述数据估计该商场每日应准备纪念品的数量; (Ⅱ) 若商场进行让利活动, 一次购物款 200 元及以上的一次返利 30 元; 一次性购物款 小 于 200 元的按购物款的百分比返利,具体见下表:

一次购物款(单位:元) [0,50) 0 返利百分比

[50,100) [100,150) [150,200) 6% 8% 10%

若用各组购物款的中位数估计该组的购物款,请据上述数据估计该商场日均让利多少元?

2014-2015 学年海南省文昌中学高一(下)期中数学试卷 (文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.将﹣300°化为弧度为( ) A. B. C. D.

考点:弧度与角度的互化. 专题:计算题. 分析:根据角度与弧度的互化公式:1°= 解答: 解:﹣300°=﹣300× 故选 B. 点评:本题主要考查了角度与弧度的互化公式:①2π=360°,②π=180°,③1= ④1°= ,属于对基础知识的考查. , =﹣ ,代入计算即可.

2.有五组变量: ①汽车的重量和汽车每消耗 l 升汽油所行驶的平均路程; ②平均日学习时间和平均学习成绩;

③某人每日吸烟量和其身体健康情况; ④正方形的边长和面积; ⑤汽车的重量和百公里耗油量; 其中两个变量成正相关的是( ) A.①③ B.②④

C.②⑤

D.④⑤

考点:变量间的相关关系;两个变量的线性相关. 专题:概率与统计. 分析:①汽车的重量和汽车每消耗 1 升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系;②平均日 学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关; ③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负 相关的关系;④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系;⑤汽车的重量和百公里耗 油量是正相关的; 解答: 解:①汽车的重量和汽车每消耗 1 升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系; ②平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关; ③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系; ④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系; ⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的. 故两个变量成正相关的是②⑤. 故选 C. 点评: 判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是 否是确定的,若确定的则是函数关系;若不确定,则是相关关系. 3.如图的程序框图是计算和式 1+3+5+…+99,空白地方应填( )

A.i=i+1

B.i=i+2

C.i=2i﹣1

D.i=i+3

考点:循环结构. 专题:操作型. 分析:由已知中该程序的功能是计算 1+3+5+…+99 的值,由循环变量的初值为 1,步长为 2, 由此易给出执行框中填写的语句. 解答: 解:∵该程序的功能是计算 1+3+5+…+99 的值, 由循环变量的初值为 1,步长为 2, 故执行框中应该填的语句是:i=i+2. 故选:B 点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序 填空也是重要的考试题型, 这种题考试的重点有: ①分支的条件②循环的条件③变量的赋

值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流 程图的含义而导致错误. 4.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均 数分别是( )

A.91.5 和 91.5

B.91.5 和 92

C.91 和 91.5

D.92 和 92

考点:茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题:图表型. 分析:根据茎叶图写出这组数据,把数据按照从大到小排列,最中间的一个或最中间两个数 字的平均数就是中位数,平均数只要代入平均数的公式得到结果. 解答: 解:由茎叶图可知:这组数据为 87,89,90,91,92,93,94,96, 所以其中位数为 =91.5,

平均数为 (87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5, 故选 A. 点评: 本题考查茎叶图的基础知识, 考查同学们的识图能力, 考查中位数与平均数的求法. 在 求中位数时, 首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列, 找出中间一个数字或中间 两个数字的平均数即为所求. 5.先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是( A. B. C. ) D.

考点:互斥事件与对立事件. 专题:计算题. 分析: 至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子, 先做出三次反面都向上的概率, 利用对立事件的概率做出结果. 解答: 解:由题意知至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子, 至少一次正面朝上的对立事件的概率为 1﹣ = . 故选 D. 点评:本题考查对立事件的概率,正难则反是解题是要时刻注意的,我们尽量用简单的方法 来解题,这样可以避免一些繁琐的运算,使得题目看起来更加清楚明了. ,

6.对于下列表格所示五个散点,已知求得的线性回归直线方程为 =0.8x﹣155,则实数 m 的值为( )

x y

196 1

197 3

200 6

203 7

204 m

A.8

B.8.2

C.8.4

D.8.5

考点:线性回归方程. 专题:计算题;概率与统计. 分析:根据回归直线经过样本数据中心点,求出 y 的平均数,进而可求出 t 值. 解答: 解:由题意, = (196+197+200+203+204)=200, = (1+3+6+7+m)= 代入 =0.8x﹣155,可得 =0.8×200﹣155,m=8, ,

故选:A. 点评:本题考查线性回归方程的求法和应用,是一道中档题,这种题目解题的关键是求出平 均数,代入回归直线方程,注意数字的运算不要出错. 7.阅读程序框图,任意输入一次 x(﹣1≤x≤1)与 y(﹣1≤y≤1) ,则能输出数对(x,y)的 概率为( )

A.

B.

C.

D.

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:根据程序框图的功能进行求解即可. 解答: 解:由程序框图知 ,求 x +y ≤1 的概率,
2 2

作出对应的图象如图: 则对应的概率 P= 故选:D = ,

点评:本题主要考查程序框图的识别和应用,根据几何概型的概率公式是解决本题的关键. 8.防疫站对学生进行身体健康调查,按男女比例采用分层抽样的方法,从 2400 名学生中抽 取一个容量为 200 的样本,已知女生比男生少抽 10 人,则该校女生人数为( ) A.1200 B.1190 C.1140 D.95 考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论. 解答: 解:设女生为 x,则男生为 x+10, ∵x+x+10=200, ∴2x=190,x=95, 则男生为 105 人,女生 95 人, 则该校女生人数为 =1140,

故选:C. 点评: 本题主要考查分层抽样的应用, 根据条件建立比例关系是解决本题的关键. 比较基础.

9.已知 A.﹣2

=﹣5,那么 tanα 的值为( B.2 C.

) D.﹣

考点:同角三角函数基本关系的运用. 分析:已知条件给的是三角分式形式,且分子和分母都含正弦和余弦的一次式,因此,分子 和分母都除以角的余弦,变为含正切的等式,解方程求出正切值. 解答: 解:由题意可知:cosα≠0,分子分母同除以 cosα, 得 ∴tanα=﹣ =﹣5, .

故选 D. 点评: 同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系, 其主要应用于同 角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明. 在应用这些关系式子的时候就要注意 公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义. 10.200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速超过 60km/h 的 汽车数量为( )

A.65 辆

B.76 辆

C.88 辆

D.95 辆

考点:频率分布直方图. 专题:图表型. 分析:先根据频率分布直方图中小长方形的面积=组距×频率组距=频率,从而求出时速超过 60km/h 的汽车的频率,再根据频数=频率×样本容量求出频数即可. 解答: 解:时速超过 60km/h 的汽车的频率=(0.028+0.01)×10=0.38 ∴时速超过 60km/h 的汽车的频数=0.38×200=76 故选:B 点评:本题主要考查了频率分布直方图,小长方形的面积=组距×频率组距=频率,各个矩形 面积之和等于 1,频数=频率×样本容量,属于基础题. 11.一个总体中的 1000 个个体编号为 0,1,2,…,999,并以此将其分为 10 个小组,组号 为 1,2,3,…,10,要用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如果在第 1 组抽取 的号码为 x,那么依次错位地得到后面各组的号码,即第 k 组中抽取的号码的后两位数为 x+33k 的后两位数,若 x=57,则第 7 组抽取的号码为( ) A.657 B.757 C.688 D.788 考点:系统抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:求出样本间隔,结合条件,求出第 7 组数的后两位数即可. 解答: 解:样本间隔为 1000÷10=100, 则第 7 组抽取的号码在(600,699)之间, 若 x=57,k=7 时,x+33k=57+33×7=268,后两位数为 88, 则第 7 组抽取的号码为 688, 故选:C 点评:本题主要考查系统抽样的应用,根据条件求出第 7 组数的后两位是解决本题的关键.

12.点 P 从(1,0)点出发,沿单位圆 x +y =1 按逆时针方向转动 的坐标为( A. (﹣ , ) ) B. (﹣ ,﹣ ) C. (﹣ ,﹣ )

2

2

弧长到达 Q 点,则 Q

D. (﹣

,﹣ )

考点:任意角的三角函数的定义. 专题:计算题. 分析: 先求出 OQ 的倾斜角等于 的余弦值,Q 的纵坐标角 , Q 就是角 2π3 的终边与单位圆的交点, Q 的横坐标

的正弦值.
2 2

解答: 解:P 从(1,0)点出发,沿单位圆 x +y =1 按逆时针方向转动 2π3 弧长到达 Q 点 时,OQ 的倾斜角等于 , 弧度, ) ,即(﹣ , ) .

即 P 点按逆时针方向转过的角为 α= 所以,Q 点的坐标为(cos ,sin

故选 A. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义, 任意角的余弦等于此角终边与单位圆交点的横坐 标,任意角的正弦等于此角终边与单位圆交点的纵坐标. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 如果下边程序执行后输出的结果是 132, 那么程序中 UNTIL 后面的“条件”应为 i<11 (或 i≤10) .

考点:循环结构. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析: 先根据输出的结果推出循环体执行的次数, 再根据 s=1×12×11=132 得到程序中 UNTIL 后面的“条件”. 解答: 解:因为输出的结果是 132,即 s=1×12×11,需执行 2 次, 则程序中 UNTIL 后面的“条件”应为 i<11(或 i≤10) . 故答案为:i<11(或 i≤10) .

点评:本题主要考查了直到型循环语句,语句的识别问题是一个逆向性思维,一般认为学习 是从算法步骤(自然语言)至程序框图,再到算法语言(程序) .如果将程序摆在我们的面 前时,从识别逐个语句,整体把握,概括程序的功能,属于基础题. 14.若 cosθ?tanθ>0,且﹣x cosθ>0,则角 θ 为第二象限. 考点:三角函数值的符号. 专题:三角函数的求值. 分析:根据三角函数的符号和象限关系进行判断即可. 2 解答: 解:∵﹣x cosθ>0, ∴cosθ<0, ∵cosθ?tanθ>0, ∴tanθ<0, 则 θ 为第二象限, 故答案为:二; 点评:本题主要考查三角函数角的象限的确定,比较基础. 15.一个袋子装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别是 1,2,3,4,先从袋中随 机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取出一个球,该球的编号 为 n,则 n<m+2 的概率为 .
2

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:有放回的取球,根据分步计数原理可知有 16 种结果,先求满足条件 n≥m+2 的事件的 概率为 P1= ,故可得 n<m+2 的概率.

解答: 解:先从袋中随机取一个球,记下编号为 m, 放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为 n, 其一切可能的结果(m,n)有: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) ,共 16 个. 又满足条件 n≥m+2 的事件为: (1,3) , (1,4) , (2,4) ,共 3 个, 所以满足条件 n≥m+2 的事件的概率为 P1= . = .

故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1﹣P1=1﹣ 故答案为: .

点评:本小题主要考查古典概念、对立事件的概率计算,考查学生分析问题、解决问题的能 力,属于基础题.

16.若点(p,q) ,在|p|≤3,|q|≤3 中按均匀分布出现,则方程 x +2px﹣q +1=0 有两个实数根 的概率 .

2

2

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:由题意,本题符合几何概型,只要求出点(p,q)对应区域的面积,利用公式解答. 解答: 解:点(p,q) ,在|p|≤3,|q|≤3 中按均匀分布出现,对应区域的面积为 6×6=36, 2 2 2 2 2 2 由方程 x +2px﹣q +1=0 有两个实数根得到 4p +4q ﹣4≥0,即 p +q ≥1,对应区域面积为 π, 如图 根据几何概型的概率公式得到方程 x +2px﹣q +1=0 有两个实数根的概率: 故答案为: .
2 2



点评:本题考查了几何概型概率的求法;关键是明确点(p,q)对应的区域面积. 三、解答题(17 题 10 分,18-22 题各 12 分,共 70 分) 17.化简与计算: (1)4sin30°+2 ;

(2)x cos4π﹣y sin

2

2



考点:三角函数的化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析:利用三角函数的诱导公式分别化简求值. 解答: 解: (1)原式= (2)原式 = … …

点评:本题考查特殊角的三角函数值;熟记诱导公式,正确化简,注意三角函数符号以及名 称.

18. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20﹣80mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车;在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉酒驾车,对于酒后 驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚. 某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中, 依法检查了 250 辆机动车, 查出酒后 驾车和醉酒驾车的驾驶员 20 人, 下面图表是对这 20 人血液中酒精含量进行检查所得结果的 数据表和频率分布直方图.

酒精含量(单位:mg/100ml)[20,30) 3 人数 酒精含量(单位:mg/100ml)[60,70) y 人数

[30,40) 4 [70,80) 3

[40,50) x [80,90) m

[50,60) 1 [90,100] n

(1)根据频率表和直方图分别求出 x,y,m,n,并补充完整频率分布直方图; (注:只需补全[40,50)与[70,80)两段,其他段的已经画好) (2)从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中任取 3 人,求至多有 1 人属于醉酒驾车 的概率.

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据频率直方图的高度可以判断:[50,60)与[90,100]高度相等,可知频数也 因该相等, [60,70)与[80,90)高度相等,可知频数也因该相等,高度为[50,60)的二倍,即可求解 各个数段上的频数.画出频率直方图即可. (2)仔细分析题意得出:因为血液酒精浓度在[70,80)内范围内应抽 3 人,记为 a,b,c, [80,90)范围内有 2 人,记为 d,e,列举出从中任取 2 人的所有情况,运用古典概率公式 求解即可. 解答: 解: (1)根据频率直方图的高度可以判断:[50,60)与[90,100]高度相等,可知 频数也因该相等,n=1, [60,70)与[80,90)高度相等,可知频数也因该相等,m=y,高度为[50,60)的二倍, 所以 m=y=2, x=20﹣3﹣4﹣1﹣2﹣3﹣2﹣1=20﹣16=4, 故 x=4,y=2,m=2,n=1, (2)因为血液酒精浓度在[70,80)内范围内应抽 3 人,记为 a,b,c,

[80,90)范围内有 2 人,记为 d,e,则从中任取 2 人的所有情况为(a,b,c) , (a,b,d) , (a,b,e) , (a,c,d) , (a,c,e) , (a,d,e) , (b,c,d) , (b,c,e) , (b,d,e) , (c, d,e)共 10 种 至多有一人的血液酒精浓度在[80,90)范围内的情况有(a,b,c) , (a,b,d) , (a,b,e) , (a,c,d) , (a,c,e) , (b,c,d) , (b,c,e) ,共 7 种 设“恰有 1 人属于醉酒驾车”为事件 A,则 P(A)= .

点评:本题考察了古典概率在实际问题中的应用,考察了学生列举,分析问题的能力,做到 不重复,不遗漏.

19.设



(1)若

,求 f(α)的值; ,求 f(α)的值.

(2)若 α 是锐角,且

考点:运用诱导公式化简求值;两角和与差的正弦函数. 专题:计算题. 分析: (1)利用诱导公式对函数解析式化简整理后,把 (2)利用诱导公式和题设中 ,代入函数求得答案.

的值,求得 cosα 的值,利用同角三角函数

的基本关系求得 sinα 的值,进而求得 tanα 的值,代入函数解析式求得 f(α)的值. 解答: 解:因为

=

=

=

, (1)若 ,

∴f(

)=

=﹣

=﹣



(2)若 α 是锐角,且 ∴ ∴ , ∴ . , ,



点评:本题主要考查了运用诱导公式的化简求值,同角三角函数的基本关系的应用.考查了 考生对三角函数基础知识的综合把握. 20.甲,乙两人进行射击比赛,每人射击 6 次,他们命中的环数如下表:

甲 乙

5 6

8 7

7 4

9 10

10 9

6 9

(Ⅰ)根据上表中的数据,判断甲,乙两人谁发挥较稳定; (Ⅱ) 把甲 6 次射击命中的环数看成一个总体, 用简单随机抽样方法从中抽取两次命中的环 数组成一个样本,求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 注: = (x1+x2+…+xn) S = [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(xn﹣ ) ].
2 2 2 2

考点:极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题:综合题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)计算甲、乙二人成绩的平均数与方差,比较即可得出结论; (Ⅱ)利用列举法得出从总体中抽取两个个体的全部可能结果以及所求事件的基本事件数, 求出对应的概率即可. 解答: 解: (Ⅰ)甲射击命中的环数的平均数为 , 其方差为 ;… 乙射击命中的环数的平均数为 ,

其方差为 = ×(1.5 +0.5 +3.5 +2.5 +1.5 +1.5 )= ×25.5=4.25;… 因此, ,
2 2 2 2 2 2

所以甲、乙两人射击命中的环数的平均数相同,但甲比乙发挥较稳定; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”; 从总体中抽取两个个体的全部可能的结果是(5,6) , (5,7) , (5,8) , (5,9) , (5,10) , (6,7) , (6,8) , (6,9) , (6,10) , (7,8) , (7,9) , (7,10) , (8,9) , (8,10) , (9,10) ,共 15 个结果; … 其中事件 A 包含的结果有(5,9) , (5,10) , (6,8) , (6,9) , (6,10) , (7,8) , (7,9) ,共有 7 个结果; … 则 . … .…

答:该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率是

点评:本题考查了平均数与方差的计算问题,也考查了用列举法求基本事件的概率问题,是 基础题目. 21.某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据

x y

6 2

8 3

10 5

12 6

(Ⅰ)请画出上表数据的散点图; (Ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ; (Ⅲ)试根据(Ⅱ)求出的线性回归方程,预测记忆力为 9 的同学的判断力.

(相关公式:

, = ﹣ x)

考点:回归分析的初步应用. 专题:计算题. 分析: (Ⅰ)把所给的四对数据写成对应的点的坐标,在坐标系中描出来,得到散点图. (II)作出利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的量,求出横标和纵标的平均数,求出 系数,再求出 a 的值,注意运算不要出错. (III)由回归直线方程预测,记忆力为 9 的同学的判断力约为 4. 解答: 解: (Ⅰ)把所给的四对数据写成对应的点的坐标,在坐标系中描出来,得到散点 图. (Ⅱ)∵6×2+8×3+10×5+12×6=158, , ∴b= =0.7,

a=4﹣0.7×9=﹣2.3 故线性回归方程为 y=0.7x﹣2.3 (Ⅲ)由回归直线方程预测 y=0.7×9﹣2.3=4, 记忆力为 9 的同学的判断力约为 4.

点评: 本题考查线性回归方程的求法和应用, 本题解题的关键是利用最小二乘法做出线性回 归方程的系数,本题是一个近几年可能出现在高考卷中的题目. 22.某商场为了了解顾客的购物信息,随机的在商场收集了 100 位顾客购物的相关数据,整 理如下:

一次购物款(单位:元)[0,50) m 顾客人数

[50,100) [100,150) [150,200) [200,+∞) 20 30 n 10

统计结果显示 100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客共 60 位,据统计该商场每日大约有 5000 名顾客,为了增加商场销售额度,对一次性购物不低于 100 元的顾客发放纪念品(每 人一件) . (Ⅰ)试确定 m,n 的值,并据上述数据估计该商场每日应准备纪念品的数量; (Ⅱ) 若商场进行让利活动, 一次购物款 200 元及以上的一次返利 30 元; 一次性购物款 小 于 200 元的按购物款的百分比返利,具体见下表:

一次购物款(单位:元) [0,50) 0 返利百分比

[50,100) [100,150) [150,200) 6% 8% 10%

若用各组购物款的中位数估计该组的购物款,请据上述数据估计该商场日均让利多少元? 考点:分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据表格由 100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客人数等于 100×60%列式求 得 n 的值,再由 5 组中的人数和等于 100 求得 m 的值; (Ⅱ)根据表格求出购物款大于等于 50 元的 4 组的人数,由每一组的购物款中间值乘以返 利百分比乘以人数求得商场的日均让利. 解答: 解: (Ⅰ)由已知,100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客有 30+n+10=100×60%, 得 n=20;… 则 m=100﹣=20.… 该商场每日应准备纪念品的数量大约为 =3000.…

(Ⅱ)设购物款为 a 元, 当 a∈[50,100)时,顾客有 5000×20%=1000 人, 当 a∈[100,150)时,顾客有 5000×30%=1500 人, 当 a∈[150,200)时,顾客有 5000×20%=1000 人, 当 a∈[200,+∞)时,顾客有 5000×10%=500 人,… 所以估计日均让利为 75×6%×1000+125×8%×1500+175×10%×1000+30×500… =52000 元… 点评:本题考查函数模型的选择及应用,训练了学生读取图表的能力,考查了学生的计算能 力,是中档题.


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