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江苏省启东中学2013届高三数学综合训练(1)苏教版

时间:2013-05-30


启东中学 2013 届高三数学(综合)训练一
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.若复数 z 满足 z ? (2 ? z )i ( i 是虚数单位) ,则 z ? . 2.已知全集 U ? {1 , 2, 3, 4, 5},集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? 2a,a ? A} ,则

集合 ?U ( A ? B) = . . 3. 设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则 a,b,c 的大小关系是 4. 函数 f ( x) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x ? 2) ?
x

1 ,若 f (1) ? ?5 ,则 f ( x)

f ( f (5)) ?

. .
开始
k ? 1, s ? 0

?e -k,x≤0, 5. 已知函数 f(x)=? 是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范围是 ?(1-k)x+k,x>0

x2 y 2 6.已知 B 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左准线与 x 轴的交点, a b ??? ? ??? ? 点 A(0, b) ,若满足 AP ? 2 AB 的点 P 在双曲线上,则该双曲线 的离心率为 . 7.右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是 . 8.若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是
频率

s ? s ? 3k
k ?k?2

k ? 100




输出S

9. 已知关于 x 的不等式 (ax ? a2 ? 4)( x ? 4) ? 0 的解集为 A ,且 A 中共含有 n 个整数,则 组距 结束 当 n 最小时实数 a 的值为 . 第7 题图 10.在样本的频率分布直方图中, 共有 9 个小长方形, 若第 一个长方形的面积为 0.02, 前五个与后五个长方形的 面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量 第10题图 为 1600, 则中间一组(即第五组)的频数为 . 11.已知变量 a,? ? R ,则 (a ? 2cos? )2 ? (a ? 5 2 ? 2sin ? )2 的最小值为 . 12.等比数列 {an } 中, a1 ? 1, a2012 ? 9 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a2012 ) ? 2 ,则曲线
y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 . 13.将一个长宽分别是 a, b(0 ? b ? a) 的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一个无盖的

样本数据

长方体的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则
2

a 的取值范围是 . b

14.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y =2x 的焦点为 F. 设 M 是抛物线上的动点,则 的最大值为 .

MO MF

1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明步骤.
x 2 2 15 已知集合 A ? y | y ? ?2 , x ? ? 2,3? , B ? x | x ? 3x ? a ? 3a ? 0 ,

?

?

?

?

(1)当 a ? 4 时,求 A ? B ; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围

16 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC=4,CB=2,AA1=2,?ACB ? 60 ,E、F 分别是 A1C1 , BC 的中点. (1)证明:平面 AEB ? 平面 BB1C1C ;
?

(2)证明: C1 F // 平面 ABE; (3)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积.
A1

E

C1 B1

P A F B C

2

17 某企业拟建造如上图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米,且 l ? 2r .假设该容 3

器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形 部分每平方米建造费用为 c ? c ? 3? .设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r

l r

r

r

r

x2 y2 18 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,离心 a b
1 率为 ,右准线为 l:x=4.M 为椭圆上不同于 A,B 的一点,直线 AM 与直线 l 交于点 P. 2 (1)求椭圆 C 的方程; ? ? (2)若 AM = MP ,判断点 B 是否在以 PM 为直径的圆上,并说明理由; (3)连结 PB 并延长交椭圆 C 于点 N,若直线 MN 垂直于 x 轴,求点 M 的坐标. y M A O N B P

x

(第 18 题)

3

19 已知无穷数列{an}中,a1,a2,…,am 是首项为 10,公差为-2 的等差数列;am+1,am+2,…, 1 1 a2m 是首项为 ,公比为 的等比数列(其中 m≥3,m∈N*) ,并对任意的 n∈N*,均有 an+2m 2 2 =an 成立. (1)当 m=12 时,求 a2010; (2)若 a52=
1 ,试求 m 的值; 128

(3)判断是否存在 m(m≥3,m∈N*) ,使得 S128m+3≥2010 成立?若存在,试求出 m 的值; 若不存在,请说明理由.

20 已知函数 f ?x? ? ?mx ? n?e ( m, n ? R, e 是自然对数的底) (1) 若函数 f ?x ? 在点 ?1, f ?1??
?x

处的切线方程为 x ? ey ? 3 ? 0 ,试确定函数 f ?x ? 的单调区间; (2)① 当 n ? ?1 , m ? R 时,若对于任意 x ? ? ,2? ,都有 f ?x ? ≥ x 恒成立,求实数 m 的最小值;② 当 m ? n ? 1 2 时 , 设 函 数 g ?x? ? xf ?x? ? tf ??x? ? e
?x

?1 ? ? ?

?t ? R? , 是 否 存 在 实 数 a, b, c ? ?0,1? , 使 得

g ?a ? ? g ?b? < g ?c ? ?若存在,求出 t 的取值范围;若不存在,说明理由.

4

5

参考答案 1. 1 ? i ;2. {3,5} ;3 a ? b ? c .;4。 ?

1 1 .;5. [ ,1);6. 2 ;7. 7500;8. k ? 0 或 2 5 5 2 3 k ? 4 ;9. ?2 ;10. 360;11. 9;12. y ? 32012 x ? 2 ;13. (1, ) ;14. . 3 4

15 解 : ( 1 ) A ? ? ?8, ?4? , 当 a ? 4 时 , B ? ? ? ? ,由数轴图得: , ? 7? ? ? 4 , ? ? ?

A ? B ? ??8, ?7?
(2)方程 x ? 3x ? a ? 3a ? 0 的两根分别为 a, ?a ? 3 ,
2 2

①当 a ? ? a ? 3 时, B ? ? ??, ? ? ? ? ? , ?? ? ,满足 A ? B ;

? ?

3? ? 3 2? ? 2

? ?

3 时, a ? ? a ? 3 , B ? ? ??, a ? ? ? ?a ? 3, ??? ,则 a ? ?4 或 ?a ? 3 ? ?8 , 2 3 得 ?4 ? a ? ? ; 2 3 ③当 a ? ? 时, a ? ? a ? 3 , B ? ? ??, ?a ? 3? ? ? a, ??? ,则 a ? ?8 或 ?a ? 3 ? ?4 2 3 得? ? a ?1 综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ?4,1? 2 0 16(1)证明:在 ?ABC 中,∵AC=2BC=4, ?ACB ? 60
②当 a ? ?
2 2 2 ∴ AB ? 2 3 ,∴ AB ? BC ? AC ,∴ AB ? BC 由已知 AB ? BB1 , ∴ AB ? 面BB1C1C

又∵ AB ? 面ABE,故ABE ? 面BB1C1C (2)证明:取 AC 的中点 M,连结 C1M , FM 在 ?ABC 中, FM // AB , 而 FM ? 平面ABE ,∴直线 FM//平面 ABE 在矩形 ACC1 A1 中,E、M 都是中点,∴ C1 M // AE 而 C1M ? 平面ABE ,∴直线 C1 M // 面ABE 又∵ C1 M ? FM ? M 故 C1F // 面AEB (或解:取 AB 的中点 G,连结 FG,EG,证明 C1 F / / EG,从而得证) 1 (3)取 B1C1 的中点 H ,连结 EH ,则 EH / / AB 且 EH ? AB ? 3 , 2 由(1) AB ? 面BB1C1C ,∴ EH ? 面BB1C1C , ∵P 是 BE 的中点, 1 1 1 ∴ VP ? B1C1F ? VE ? B1C1F ? ? S?B1C1F ? EH ? 3 2 2 3 ∴ 面ABE // 面FMC1

4 3 80 8 0 4 ? r ? ? ? l ? 2r ? , 即 l ? 2 ? r ? 2r , 则0 ? r ? 2 . 3 3 3r 3 ? 80 4 ? 2 2 容器的建造费用为 y ? 2? rl ? 3 ? 4? r ? c ? 6? r ? 2 ? r ? ? 4? r c , 3 r 3 ? ?
17. 解: (1) 由题意可知 ? r l ?
2

6

160? ? 8? r 2 ? 4? r 2c ,定义域为 ? x 0 ? r ? 2? . r 3 160? 20 (2) y? ? ? 2 ? 16? r ? 8? rc ,令 y? ? 0 ,得 r ? . r c?2
即y?

9 20 ? 2 ,得 c ? , 2 c?2 3 9 20 ①当 3 ? c ? 时, ? 2 ,当 0 ? r ? 2 时, y? ? 0 ,函数单调递减,∴当 r ? 2 时 y 有 2 c?2
令r ? 最小值; ②当 c ? ∴当 r ?

3

9 20 20 20 时, 时, y? ? 0 ;当 r ? 时, y? ? 0 , ? 2 ,当 0 ? r ? 2 c?2 c?2 c?2
3

3

3

3

20 时 y 有最小值. c?2 3 9 9 20 综上所述, 当 3 ? c ? 时, 建造费用最小时 r ? 2 ; 当 c ? 时, 建造费用最小时 r ? . 2 2 c?2
1 = , ?c a 2 ?a=2, 18 解: (1)由? 解得? 所以 b =3. a ?c=1. ? c =4.
2 2

所以椭圆方程为 + =1. 4 3 ? ? 3 3 (2)因为 AM = MP ,所以 xM=1,代入椭圆得 yM= ,即 M(1, ), 2 2 1 所以直线 AM 为:y= (x+2),得 P(4,3), 2 ? 3 ? 所以 BM =(-1, ), BP =(2,3). 2 ? ? 5 因为 BM · BP = ≠0,所以点 B 不在以 PM 为直径的圆上. 2 (3)因为 MN 垂直于 x 轴,由椭圆对称性可设 M(x1,y1),N(x1,-y1). 直线 AM 的方程为:y= 直线 BN 的方程为: y= 所以 6

x2 y2

y1 6y1 (x+2),所以 yp= , x1+2 x1+2

-y1 -2y1 6y1 -2y1 (x-2), 所以 yp= , 所以 = . 因为 y1≠0, x1-2 x1-2 x1+2 x1-2

x1+2

=-

2

x1-2

3 .解得 x1=1.所以点 M 的坐标为(1, ? ). 2

19(1)m=12 时,数列的周期为 24. ∵2010=24×83+18,而 a18 是等比数列中的项,
1 1 ∴a2010=a18=a12+6= ( )6 ? . 2 64
7

1 (2)设 am+k 是第一个周期中等比数列中的第 k 项,则 am+k= ( )k . 2



1 1 ? ( )7 ,∴等比数列中至少有 7 项,即 m≥7,则一个周期中至少有 14 项. 128 2 1 . 128 1 .∴3m=45,m=15; 128 1 .∴5m=45,m=9; 128

∴a52 最多是第三个周期中的项. 若 a52 是第一个周期中的项,则 a52=am+7= ∴m=52-7=45; 若 a52 是第二个周期中的项,则 a52=a3m+7= 若 a52 是第三个周期中的项,则 a52=a5m+7=

综上,m=45,或 15,或 9. (3)2m 是此数列的周期, ∴S128m+3 表示 64 个周期及等差数列的前 3 项之和. ∴S2m 最大时,S128m+3 最大. ∵S2m=

1 1 [1 ? ( )m ] m(m ? 1) 2 2 ? ?m2 ? 11m ? 1 ? 1 ? ?(m ? 11)2 ? 125 ? 1 , 10m ? ? (?2) ? 1 2 2m 2 4 2m 1? 2
当 m=6 时,S2m=31- 当 m≤5 时,S2m< 30
1 63 = 30 ; 64 64

63 ; 64 11 2 125 63 =29< 30 . ) ? 2 4 64 63 +24=2007. 64

当 m≤7 时,S2m< ?(7 ?

∴当 m=6 时,S2m 取得最大值,则 S128m+3 取得最大值为 64× 30

由此可知,不存在 m(m≥3,m∈N*) ,使得 S128m+3≥2010 成立. 20(1)由题意 f ?( x) ?
me x ? (mx ? n)e x ?mx ? (m ? n) ? , (e x ) 2 ex ∵ f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? ey ? 3 ? 0 ,

2 1 m ? n 2 ?n 1 ∴ f (1) ? , f ?(1) ? ? ,即 ? , ? ? ,解得 m ? 1, n ? 1 . e e e e e e x ?1 x ∴ f ( x) ? x , f ?( x) ? ? x , e e 当 x ? 0, f ?( x) ? 0 , x ? 0, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,在 (??,0) 单调递增. mx ? 1 1 (2)①由 n ? ?1, m ? R , x ≥ x ,即 m≥e x ? , e x 1 1 1 对于任意 x ?[ , 2] ,都有 f ( x)≥ x 恒成立,等价于 m≥e x ? 对于任意 x ?[ , 2] 恒成立. 2 x 2 1 1 记 ? ( x) ? e x ? , ? ?( x) ? e x ? 2 , x x
8

设 h( x) ? e x ? 增.

1 2 1 1 1 ,∵ h?( x) ? e x ? 3 ? 0 对 x ?[ , 2] 恒成立,∴ h( x) ? e x ? 2 在 [ , 2] 单调递 2 x x 2 x 2

1 1 1 1 而 h( ) ? e ? 4 ? 0, h(2) ? e2 ? ? 0 ,∴ ? ?( x) ? e x ? 2 在 [ , 2] 上有唯一零点 x0 , 2 4 x 2 1 1 ∴ x ? ( , x0 ) , ? ?( x) ? 0 , x ? ( x0 , 2) , ? ?( x) ? 0 ,∴ ? ( x) 在 ( , x0 ) 单调递减,在 ( x0 , 2) 上单 2 2 调递增, 1 ∴ ? ( x) 的最大值是 ? ( ) 和 ? (2) 中的较大的一个, 2 ? 1 ? m≥ e ? 2, 1 1 ?m≥? ( ), ? 2 2 ∴? 2 即? 1 ∴ m≥e ? ,∴m 的最小值为 e ? . 2 2 2 ? m≥ e ? , ? ?m≥? (2), ? 2 ② 假 设 存 在 a、 、 ,] 使 得 g (a) ? g (b) ? g (c) , 则 问 题 等 价 于 b ? c[ 0 , 1

2( g ( x))min ? ( g ( x))max .
x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 ?( x ? t )( x ? 1) ,∴ g '( x) ? . x ex e ①当 t ≥1 时, g ?( x)≤0 , g ( x) 在 [0,1] 上单调递减, 3?t e ? 1 ,得 t ? 3 ? ? 1 . ∴ 2 g (1) ? g (0) ,即 2 ? e 2 ②当 t ≤ 0 时, g ?( x)≥0 , g ( x) 在 [0,1] 上单调递增, 3?t ∴ 2 g (0) ? g (1) ,即 2 ? ,得 t ? 3 ? 2e ? 0 . e ③当 0 ? t ? 1 时, 在 x ? [0, t ) 上,g '( x) ? 0 ,g ( x) 在 [0, t ) 上单调递减, 在 x ? (t ,1] 上, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (t ,1] 上 单 调 递 增 , ∴ 2 g (t ) ? max{g (0), g (1)} , 即 t ?1 3?t 2 ? t ? max{1, }. (*) e e 3?t 3 t ?1 t ?1 4 ? ,不等式 由(1)知 f (t ) ? t 在 t ?[0,1] 上单调递减,故 2 ? t ≥ ,而 e e e e e Q g ( x) ?
(*)无解. 综上所述,存在 t ? ( ??,3 ? 2e) U (3 ?

e , ??) ,使得命题成立. 2

9


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