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江苏省启东中学2013届高三数学综合训练(1)苏教版

时间:2013-05-30


启东中学 2013 届高三数学(综合)训练一
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.若复数 z 满足 z ? ( 2 ? z ) i ( i 是虚数单位) ,则 z ? . 2.已知全集 U ? {1,,,, ,集合 A ? { x | x ? 3 x ? 2 ? 0} , B ? { x | x ? 2 a, a ? A } ,则 2

3 4 5}
2

集合 ?U ( A ?

B)

=

.
3 , c ? lo g 3 2 ,则 a,b,c 的大小关系是
f ( x ? 2) ? 1 f (x)

3. 设 a ? lo g 3 ? , b ? lo g 2 4. 函数
f ( x)

. . .
开始
k ? 1, s ? 0
s ? s ? 3k
k ? k ? 2

对于任意实数 x 满足条件
x

,若

f (1) ? ? 5

,则 f ( f (5)) ?

?e -k,x≤0, 5. 已知函数 f(x)=? 是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范围是 ?(1-k)x+k,x>0

6.已知 B 为双曲线

点 的离心率为 . 7.右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是 . 8.若方程 lg kx ? 2 lg ? x ? 1 ? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是
2

? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左准线与 x 轴的交点, b ??? ? ??? ? A (0 , b ) ,若满足 A P ? 2 A B 的点 P 在双曲线上,则该双曲线 a
2

x

2

y

2

k ? 100

输出 S
频率



9. 已知关于 x 的不等式 ( a x ? a ? 4 )( x ? 4 ) ? 0 的解集为 A ,且 A 中共含有 n 个整数,则 组距 结束 当 n 最小时实数 a 的值为 . 第 7题 图 10.在样本的频率分布直方图中, 共有 9 个小长方形, 若第 一个长方形的面积为 0.02, 前五个与后五个长方形的 面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量 第 10 题 图 为 1600, 则中间一组(即第五组)的频数为 . 11.已知变量 a , ?
y ? f (x)
?R

样本数据

,则 ( a

? 2 co s ? ) ? ( a ? 5 2 ? 2 sin ? )
2

2

的最小值为

.

12.等比数列 { a n } 中, a1

? 1, a 2 0 1 2 ? 9

,函数

f ( x ) ? x ( x ? a 1 )( x ? a 2 ) ? ( x ? a 2 0 1 2 ) ? 2 ,则曲线

在点 (0 , f (0 )) 处的切线方程为 . 13.将一个长宽分别是 a , b (0 ? b ? a ) 的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一个无盖的 长方体的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则
2

a b

的取值范围是 .
MO MF

14.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y =2x 的焦点为 F. 设 M 是抛物线上的动点,则 的最大值为 .

1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明步骤. 15 已知集合 A ? ? y | y ? ? 2 , x ? ? 2, 3 ?? , B ? ? x | x ? 3 x ? a ? 3 a ? 0 ? ,
x 2 2

(1)当 a ? 4 时,求 A ? B ; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围

16 在直三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中,AC=4,CB=2,AA1=2,? ACB ? 60 ,E、F 分别是 A1 C 1 , BC 的中点. (1)证明:平面 AEB ? 平面 BB 1 C 1 C ; (2)证明: C 1 F // 平面 ABE; (3)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B 1 C 1 F 的体积.
A1

?

E

C1

B1

P A F B C

2

17 某企业拟建造如上图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为
8 0? 3

立方米,且 l ? 2 r .假设该容

器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形 部分每平方米建造费用为 c ? c ? 3 ? .设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r

l

r

r

r

r

x2 y2 18 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,离心 a b
1 率为 ,右准线为 l:x=4.M 为椭圆上不同于 A,B 的一点,直线 AM 与直线 l 交于点 P. 2 (1)求椭圆 C 的方程; ? ? (2)若 AM = MP ,判断点 B 是否在以 PM 为直径的圆上,并说明理由; (3)连结 PB 并延长交椭圆 C 于点 N,若直线 MN 垂直于 x 轴,求点 M 的坐标. y M A O N B P

x

(第 18 题)

3

19 已知无穷数列{an}中,a1,a2,…,am 是首项为 10,公差为-2 的等差数列;am+1,am+2,…,

a2m 是首项为

1 2

,公比为

1 2

的等比数列(其中 m≥3,m∈N*) ,并对任意的 n∈N*,均有 an+2m

=an 成立. (1)当 m=12 时,求 a2010; (2)若 a52=
1 128

,试求 m 的值;

(3)判断是否存在 m(m≥3,m∈N*) ,使得 S128m+3≥2010 成立?若存在,试求出 m 的值; 若不存在,请说明理由.

?x 20 已知函数 f ? x ? ? ? mx ? n ?e ( m , n ? R , e 是自然对数的底)1) ( 若函数 f ? x ? 在点 ?1, f ?1 ??

处的切线方程为 x ? ey ? 3 ? 0 ,试确定函数 f ? x ? 的单调区间; (2)① 当 n ? ? 1 , m ? R 时,若对于任意 x ? ? , 2 ? ,都有 f ? x ? ≥ x 恒成立,求实数 m 的最小值;② 当 m ? n ? 1 ?2 ?
?x 时 , 设 函 数 g ? x ? ? xf ? x ? ? t f ? ? x ? ? e ?t ? R ? , 是 否 存 在 实 数 a , b , c ? ?0 ,1? , 使 得

?1

?

g ? a ? ? g ?b ? < g ? c ? ?若存在,求出 t 的取值范围;若不存在,说明理由.

4

5

参考答案 1. 1 ? i ;2. {3, 5} ;3 a ? b ? c .;4。 ?
k ? 4

1

1 .;5. [ ,1);6. 2 5
?3
2012

2

;7. 7500;8.
2 3 3

k ?0



;9. ? 2 ;10. 360;11. 9;12. y

x?2

;13. (1, ) ;14.
4

5

.

, 7 15 解 : 1 ) A ? ? ? 8, ? 4 ? , 当 a ? 4 时 , B ? ? ? ? ? ? ? ? 4 , ? ??, 由 数 轴 图 得 : ( A ? B ? ? ? 8, ? 7 ?

(2)方程 x ? 3 x ? a ? 3 a ? 0 的两根分别为 a , ? a ? 3 ,
2 2

①当 a ? ? a ? 3 时, B ? ? ? ? , ?
?

?

3? ? 3 ? ? ? ? ? , ? ? ? ,满足 A ? B ; 2? ? 2 ?

②当 a ? ?

3 2

时, a ? ? a ? 3 , B ? ? ? ? , a ? ? ? ? a ? 3, ? ? ? ,则 a ? ? 4 或 ? a ? 3 ? ? 8 ,
3 2

得 ?4 ? a ? ? ③当 a ? ? 得?
3 2 3 2



时, a ? ? a ? 3 , B ? ? ? ? , ? a ? 3 ? ? ? a , ? ? ? ,则 a ? ? 8 或 ? a ? 3 ? ? 4 综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ? 4,1 ?

? a ?1

0 16(1)证明:在 ? ABC 中 ,∵AC=2BC=4, ? ACB ? 60

∴ AB ? 2 3 ,∴ AB

2

? BC

2

? AC

2

,∴ AB ? BC

由已知 AB ? BB 1 , ∴ AB ? 面 BB 1 C 1 C
故 又∵ AB ? 面 ABE , ABE ? 面 BB 1 C 1 C

(2)证明:取 AC 的中点 M,连结 C 1 M , FM
, 在 ? ABC 中 FM // AB , 而 F M ? 平 面 A B E ,∴直线 FM//平面 ABE 在矩形 ACC 1 A1 中,E、M 都是中点,∴ C 1 M // AE

而 C1 M

? 平 面 ABE

,∴直线 C 1 M // 面 ABE ∴ 面 ABE // 面 FMC
1

又∵ C 1 M ? FM ? M 故 C 1 F // 面 AEB

(或解:取 AB 的中点 G,连结 FG,EG,证明 C 1 F (3)取 B1 C 1 的中点 H ,连结 E H ,则 E H 由(1) AB ? 面 BB 1 C 1 C ,∴ E H ∵P 是 BE 的中点, ∴V P ? B C F
1 1

//

EG,从而得证)
AB ? 3

/ / AB

且 EH ,

?

1 2



? 面 B B1 C 1 C

?

1 2

VE ?B C
1

1F

?
2

1 2

?

1 3

S ?B C
1

1F

? EH ?

3

17. (1) 解: 由题意可知 ? r l ?

4 3

?r ?
3

80 3

? ?l ? 2r ? , l ? 即
? 80 ? 3r
2

80 3r
2

4 ? r ? 2r , 0 ? r ? 2 . 则 3

容器的建造费用为 y ? 2 ? r l ? 3 ? 4 ? r ? c ? 6 ? r ?
2

?

4

? 2 r ? ? 4? r c , 3 ?
6

即y ?

1 6 0? r

? 8 ? r ? 4 ? r c ,定义域为 ? x 0 ? r ? 2 ? .
2 2

(2) y ? ? ?
3

1 6 0? r
2

3

? 1 6 ? r ? 8 ? r c ,令 y ? ? 0 ,得 r ?

20 c?2



令r ?

20 c?2
9 2

? 2 ,得 c ?
3

9 2



①当 3 ? c ? 最小值; ②当 c ? ∴当 r ?
9 2
3

时,

20 c?2

? 2 ,当 0 ? r ? 2 时, y ? ? 0 ,函数单调递减,∴当 r ? 2 时 y 有

3

时,
20 c?2

20 c?2

3

? 2 ,当 0 ? r ?

20 c?2

3

时, y ? ? 0 ;当 r ?

20 c?2

时, y ? ? 0 ,

时 y 有最小值.
9 2

综上所述, 3 ? c ? 当

时, 建造费用最小时 r ? 2 ; c ? 当

9 2

3

时, 建造费用最小时 r ?

20 c?2



?c=1, ?a=2, a 2 18 解: (1)由? 解得? 所以 b =3. a ?c=1. ? c =4.
2 2

所以椭圆方程为 + =1. 4 3 ? ? 3 3 (2)因为 AM = MP ,所以 xM=1,代入椭圆得 yM= ,即 M(1, ), 2 2 1 所以直线 AM 为:y= (x+2),得 P(4,3), 2 ? 3 ? 所以 BM =(-1, ), BP =(2,3). 2 ? ? 5 因为 BM · BP = ≠0,所以点 B 不在以 PM 为直径的圆上. 2 (3)因为 MN 垂直于 x 轴,由椭圆对称性可设 M(x1,y1),N(x1,-y1). 直线 AM 的方程为:y= 直线 BN 的方程为:= y 所以 6

x2 y2

y1 6y1 (x+2),所以 yp= , x1+2 x1+2

-y1 -2y1 6y1 -2y1 (x-2), 所以 yp= , 所以 = . 因为 y1≠0, x1-2 x1-2 x1+2 x1-2

x1+2

=-

2

x1-2

3 .解得 x1=1.所以点 M 的坐标为(1, ? ). 2

19(1)m=12 时,数列的周期为 24. ∵2010=24×83+18,而 a18 是等比数列中的项, ∴a2010=a18=a12+6= (
1 2 ) ?
6

1 64



7

(2)设 am+k 是第一个周期中等比数列中的第 k 项,则 am+k= ( ∵
1 7 ? ( ) 128 2 1

1 2

)

k



,∴等比数列中至少有 7 项,即 m≥7,则一个周期中至少有 14 项.

∴a52 最多是第三个周期中的项. 若 a52 是第一个周期中的项,则 a52=am+7= ∴m=52-7=45; 若 a52 是第二个周期中的项,则 a52=a3m+7= 若 a52 是第三个周期中的项,则 a52=a5m+7=
1 128 1 128 1 128



.∴3m=45,m=15; .∴5m=45,m=9;

综上,m=45,或 15,或 9. (3)2m 是此数列的周期, ∴S128m+3 表示 64 个周期及等差数列的前 3 项之和. ∴S2m 最大时,S128m+3 最大. ∵S2m=
1 10m ? m ( m ? 1) 2 ? (?2) ? 2 1 m [1 ? ( ) ] 1 11 2 125 1 2 2 ? ? m ? 1 1m ? 1 ? m ? ? ( m ? ) ? ? m 1 2 2 4 2 1? 2
1 64



当 m=6 时,S2m=31- 当 m≤5 时,S2m< 3 0
63 64

= 30

63 64




11 2 ) ?
2

当 m≤7 时,S2m< ? (7

?

125 4

=29< 3 0

63 64


63 64

∴当 m=6 时,S2m 取得最大值,则 S128m+3 取得最大值为 64× 3 0

+24=2007.

由此可知,不存在 m(m≥3,m∈N*) ,使得 S128m+3≥2010 成立.
m e ? (m x ? n )e
x x

20(1)由题意 ∵ ∴ ∴ 当x
f (x)

f ?( x ) ?

(e )

x

2

?

? m x ? (m ? n ) e
x

, ,
? 1, n ? 1 .

在点 (1,
2 e

f (1))

处的切线方程为 x ? ey
1 e

?3? 0

f (1) ?

, f ? (1) ? ?

,即

m ? n e

?

2 ?n 1 , ? ? e e e

,解得 m

f (x) ?

x ?1 e
x



f ?( x ) ? ?

x e
x

, ,∴
f (x)

? 0, f ? ( x ) ? 0

,x

? 0, f ? ( x ) ? 0

在 (0, ? ? ) 上单调递减,在 ( ? ? , 0 ) 单调递增.
? 1 x

(2)①由 n

? ? 1, m ? R
1 2



mx ? 1 e
x

≥x

,即 m ≥ e x


? 1 x

对于任意 x ? [ 记? ( x) ?
e ?
x

, 2 ] ,都有 f ( x ) ≥ x

恒成立,等价于 m ≥ e x

对于任意 x ? [

1 2

, 2 ] 恒成立.

1 x

, ? ?( x ) ?

e ?
x

1 x
2



8

设 h(x) ? 增. 而 h(
1 2 )? 1 2

e ?
x

1 x
2

,∵ h ? ( x ) ?

e ?
x

2 x
3

? 0

对x?[

1 2

, 2 ] 恒成立,∴ h ( x ) ? e ?
x

1 x
2

在[

1 2

, 2]

单调递

e ? 4 ? 0, h (2) ? e ?
2

1 4

? 0

,∴ ? ? ( x ) ?
0

e ?
x

1 x
2

在[

1 2

, 2] 1 2

上有唯一零点 x 0 , 单调递减,在 ( x 0 , 2 ) 上单

∴x?(

, x 0 ) , ? ?( x ) ? 0

, x ? ( x 0 , 2 ) , ? ?( x ) ?

,∴ ? ( x ) 在 (

, x0 )

调递增, ∴ ? ( x ) 的最大值是 ? (
1 2 ) 和? (2)

中的较大的一个,
1 2

? m ≥ e ? 2, 1 ? 1 ? ? m ≥ ? ( ), 2 ∴? 2 即? 1 ∴m≥ e ? 2 2 ?m≥ e ? , ? m ≥ ? ( 2 ), ? ? 2

,∴m 的最小值为 e 2

?



② 假 设 存 在 a、 、 ? [ 0 , 1 ] 使 得 g ( a ) ? g ( b ) ? g ( c ) , 则 问 题 等 价 于 , b c
2 ( g ( x )) m in ? ( g ( x )) m a x .
Q g (x) ? x ? (1 ? t ) x ? 1
2 x

,∴ g '( x ) ?

? ( x ? t )( x ? 1)
x



e e ? ( x ) ≤ 0 , g ( x ) 在 [ 0 ,1] 上单调递减, ①当 t ≥ 1 时, g

∴ 2 g (1) ? g (0 ) ,即 2 ?

3?t e

? 1 ,得 t ? 3 ?

e 2

?1.

②当 t ≤ 0 时, g ? ( x ) ≥ 0 , g ( x ) 在 [ 0 ,1] 上单调递增, ∴ 2 g (0 ) ? g (1) ,即 2 ?
3?t e

,得 t ? 3 ? 2 e ? 0 .

③当 0 ? t ? 1 时, x ? [0 , t ) 上,g '( x ) ? 0 ,g ( x ) 在 [ 0 , t ) 上单调递减, x ? ( t ,1] 上, 在 在 g '( x ) ? 0 , g ( x ) 在 ( t ,1] 上 单 调 递 增 , ∴ 2 g ( t ) ? m a x { g (0 ), g (1)} , 即
2? t ?1 e
t

? m a x {1,

3?t e

}. (*)

由(1)知 f ( t ) ? (*)无解.

t ?1 e
t

在 t ? [0 ,1] 上单调递减,故 2 ?

t ?1 e
t



4 e

,而

3?t e

?

3 e

,不等式

综上所述,存在 t ? ( ? ? , 3 ? 2 e ) U (3 ?

e 2

, ? ? ) ,使得命题成立.

9


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