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第1章1.3.2第二课时知能优化训练

时间:2012-05-21


1.下列说法正确的是( ) A.y=tanx 是增函数 B.y=tanx 在第一象限是增函数 π π C.y=tanx 在每个区间(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)上是增函数 2 2 D.y=tanx 在某一区间上是减函数 π π 解析:选 C.正切函数在每个区间(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)上是增函数.但在整个定义域上 2 2 不是增函数,另外,正切函数不存在减区间. 2.函数

y=3tan2x 的最小正周期是( ) A.2π B.π π π C. D. 2 4 π π 解析:选 C.T= = . |ω| 2 π 3.函数 y=tan( -x)的定义域是( ) 4 π A.{x|x≠ ,x∈R} 4 π B.{x|x≠- ,x∈R} 4 π C.{x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R} 4 3 D.{x|x≠kπ+ π,k∈Z,x∈R} 4 π π 解析:选 D.y=tan( -x)=-tan(x- ) 4 4 π π ∴x- ≠kπ+ ,k∈Z, 2 4 3π ∴x≠kπ+ ,k∈Z. 4 π 4.y=tan(2x+ )的单调递增区间为________. 4 π π π 解析:由 kπ- <2x+ <kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 k 3 k π ∴ π- π<x< π+ ,k∈Z. 2 8 2 8 k 3 k π 答案:( π- π, π+ ),k∈Z 2 8 2 8

一、选择题 π 1.函数 y=tan2(x+ )( ) 4 A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 π π 1 解析:选 A.y=tan2(x+ )=tan(2x+ )=cot2x= 为奇函数. 4 2 tan2x 2.(2011 年宣城高一检测)已知点 P(sinα-cosα,tanα)(α∈[0,2π])在第一象限,则 α 的取 值范围为( )

π π 5 B.( , )∪(π, π) 4 2 4 π π 3 D.( , )∪( π,π) 4 2 4 ? ?sinα>cosα ?sinα-cosα>0 解析:选 B.由题意知,? . ,即? ?tanα>0 ? ?tanα>0 π π 5π 又 0≤α≤2π,∴ <α< 或 π<α< . 4 2 4 3.直线 y=a(a 为常数)与正切曲线 y=tanωx(ω 是常数且 ω>0)相交,则相邻两交点间的 距离是( ) 2π A.π B. ω π D.与 a 的值有关 C. ω π 解析:选 C.相邻两交点间的距离即为一个周期 T= . ω π 4.已知函数 y=tan(x+φ)的图象过点( ,0),则 φ 可以是( ) 12 π π B. A.- 6 6 π π C.- D. 12 12 π π 解析:选 C.∵过点( ,0),∴tan( +φ)=0, 12 12 π π ∴ +φ=kπ,∴φ=kπ- . 12 12 π 3π 5.函数 y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间( , )内的图象大致是( ) 2 2

π 3 5 A.( , π)∪(π, π) 2 4 4 π 3 5 3 C.( , π)∪( π, π) 2 4 4 2

π 解析:选 D.当 x∈( ,π)时,sinx>0,tanx<0,所以 tanx-sinx<0. 2 ∴y=tanx+sinx-(sinx-tanx)=2tanx. 3π 同理,当 x∈(π, )时,sinx<0,tanx>0,故 tanx-sinx>0. 2 ∴y=tanx+sinx-(tanx-sinx)=2sinx. 综上可知,选项 D 正确. π 1 3 6.(2011 年沂水高一检测)α,β,γ∈(0, ),且 sinα= ,tanβ= 2,cosγ= ,则( 2 3 4 A.α<γ<β B.α<β<γ C.β<α<γ D.γ<α<β π 1 解析:选 A.∵α∈(0, ),sinα= , 2 3 2 2 2 ,∴tanα= , ∴cosα= 3 4

)

π 3 7 7 ∵γ∈(0, ),cosγ= ,∴sinγ= ,∴tanγ= , 2 4 4 3 2 7 ∴ < < 2,∴tanα<tanγ<tanβ, 4 3 π 又∵y=tanx 在(0, )上单调递增, 2 ∴α<γ<β. 二、填空题 x π 7.函数 y=tan( + )的递增区间是________. 2 3 π x π π 解析:令- +kπ< + < +kπ, 2 2 3 2 5π π ∴- +2kπ<x< +2kπ,k∈Z. 3 3 π 5x 答案:(- +2kπ, +2kπ)(k∈Z) 3 3 8.方程 tan5x+tan3x=0,在[0,π]内有________个解. 解析:tan5x=-tan3x=tan(-3x). 1 ∴5x=kπ-3x,∴8x=kπ,x= kπ,k∈Z. 8 又 x∈[0,π],∴k=0,1,2,3,4,5,6,7,8 共 9 个解. 答案:9 9.给出下列命题: ①函数 y=cosx 在第三、四象限都是增函数; π ②函数 y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 ; ω 2 5 ③函数 y=sin( x+ π)是偶函数; 3 2 π π ④函数 y=tan 2x 的图象向左平移 个单位长度得到 y=tan(2x+ )的图象. 4 8 其中正确命题的序号是________. 解析:①不正确,∵象限是集合概念,而 y=cosx 的单调区间写法只是一个符号,不应 π 2 5 2 看作集合;②不正确,∵ω 可以小于 0,应为 ;③正确,y=sin( x+ π)=cos x 是偶函数; 3 2 3 |ω| π π ④正确,y=tan[2(x+ )]=tan(2x+ ). 8 4 答案:③④ 三、解答题 10.比较下列各组数的大小: (1)tan2 与 tan9; 1 (2) log 1 tan70°, log 1 sin25°,( )cos25°. 2 2 2 解:(1)∵tan9=tan(-2π+9), π π 而 <2<-2π+9<π,且 y=tanx 在( ,π)内是增函数, 2 2 ∴tan2<tan(-2π+9),即 tan2<tan9. (2)∵tan70°>tan45°=1,∴

log 1
2

tan70°<0,

1 log 1 sin25°>1, 又 0<sin25°<sin30°= ,∴ 2 2 1 cos25° <1, 而 0<cos25°<1,∴0<( ) 2



log 1
2

1 tan70°<( )cos25°< 2

log 1
2

sin25°.

π π π 11.若 y=tan(2x+θ)的图象的一个对称中心为( ,0)且- <θ< ,求 θ 的值. 3 2 2 kπ 解:∵y=tanα 的对称中心为( ,0)(k∈Z), 2 kπ ∴2x+θ= (k∈Z), 2 π kπ 2 代入 x= 得 θ= - π(k∈Z), 3 2 3 π π 又∵- <θ< , 2 2 π ∴当 k=1 时,θ=- ; 6 π π π 当 k=2 时,θ= ,∴θ=- 或 . 6 3 3 12.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,函数 F(x)=f(tanx). (1)判断 F(x)的奇偶性并加以证明; (2)求证:方程 F(x)=0 至少有一个实根. 解:(1)F(x)为奇函数.因为 F(-x)=f(tan(-x))=f(-tanx),又因为 f(-x)=-f(x),所以 F(-x)=-f(tanx)=-F(x),所以 F(x)为奇函数. (2)证明:因为 tan0=0 且 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0,所以 F(0)=f(tan0)=0,即 F(x) =0 至少有一个实数根 0.


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