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湖北省武汉市部分重点中学2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题

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湖北省武汉市部分重点中学 2012-2013 学年 高一上学期期末考试 数 学 试 题
考试时间:150 分钟 试卷满分:150 分 编辑人:丁济亮

★祝同学们考试顺利★
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题所给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.直线 x =100 与函数 y=f ? x ? 的图象的交点 个数是 ( A.0 B.1 C.0 或 1 ) D.以上均不对

2. 已知向量 a ? (3,4),b ? (sin? , cos? ), 且 a // b ,则 tan ? =(



3 4 ?2 x +1 3.若函数 f ? x ? ? x?2

A.

3 4

B. ?

C.

4 3

D. ?

4 3


? x ? 2? 的值域为集合 P ,则下列元素中不属于 P 的是 (
C. ?1 D.1 )

A.2 4.已知函数 f ? x ? ? A. 0<m<8 5.函数 y =cos2xcos A. ? k? +

B. ?2

ex mx 2 +mx+2

的定义域是 R ,则实数 m 的取值范围是( C. 0 ? m <8 D. m ? 8

B. 0 ? m ? 8

?
5

? 2sin x cos x sin

6? 的单调增区间为( ) 5
B. ? k? ?

? ?

?
10

,k? +

3? ? ?k ? Z ? 5 ? ? 3? ? ?k ? Z ? 5? ?

? ?

?
20

,k? +

7? ? ?k ? Z ? 20 ? ?

C. ? 2k? +

? ?

?
10

,2k? +

D. ? k? ?

? ?

2? ?? ,k? + ? ? k ? Z ? 5 10 ?

6 . 若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据 如下: f (1) = -2 f (1.375) = -0.260 那么方程 x A.1.2
3

f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162

f (1.25) = -0.984 f (1.40625) = -0.054 )

? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为(
B.1.3 C.1.4 D.1.5

7.已知 a 、 b 是非零向量且满足 ? a ? 2 b ? ? a , ? b ? 2 a ? ? b ,则向量 ? ? a ? 与 b

?

?

?? ?

?

? ?

?

?? ?

?

? ?

?

? ?

?

? ?

?

的夹角是 ( ? A. 6

) B.

? 3
3? 2

C.

2? 3
)

D.

5? 6

8. 要得到函数 y =sin2x 的图象,可以将 y = ? cos 2x 的图象( A.向左平移

3? 2

B.向右平 移

C .向左平移

3? 4

D.向右平移

3? 4


9.定义运算: a ? b ? ?
? ? A. ?? 1, 2 ? 2 ? ?

?a, a ? b 如 1 ? 2 ? 1 ,则函数 f ( x) ? cos x ? sin x 的值域为( ?b, a ? b.
B. ?? 1,1?
? ? C. ? 2 ,1? ? 2 ? ? ? D. ? ? 2 , 2 ? 2 ? ? 2

3 10. 函数 f ( x ) ? lg x ? a 的定义域为[-1,1], 且存在零点, 则实数 a 的取值范围是 (

?

?



A.

??2, ?1?

B.

??2, ?1?

C.

? ?3, ?1?

D.

? ? ?3,1?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案写在横线上. 11.设 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值是 5 4 4 4
???? ??? ?

12.在 ?ABC 中, AB ? 3 , AC ? 2 , D 是边 BC 的中点,则 AD ? BC = 13.已知 A ? 2,3? , B ? 4, ?3? ,且 AP = 14.已知集合 P ? {x |

??? 1 ??? ? ? PB ,则点 P 的坐标为 3

2 1 <x <3} ,函数 f ? x ? = log 2 ax ? 2 x +2 的定义域为 Q . 2

?

?

若 P ? Q ? ? , ? , P ? Q ? ? ?2,3? ,则实数 a 的值为
15.函数 f ( x) ?

?1 2? ?2 3?

1 ? 3sin 2 x ?? ?? , x ? ? , ? .以下正确论 断的序号是 sin x cos x ? 10 5 ?
② 函数 f ? x ? 有最小值无最大值;

[来 XXK]

① 函数 f ? x ? 有最大值无最小值;

③ 函数 f ? x ? 既有最大值又有最小值;④ 函数 f ? x ? 既无最大值又无最小值.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

5? ? ? ? cos ? 2 x ? 3? 6 ?

? ?. ?

(Ⅰ)求满足 f ? x ? = (Ⅱ)当 x ? ? ?

3 3 ? ?? ,x ? ?0, ? 时的 x 的集合; 2 ? 2? ? x? 3 3 f ? ?? sin x 的最值. ?2? 2

3 ? ? ? ,? ? 时,求函数 y ? cos x ? 2 ? 4 ?

17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)已知函数 f ? x ? ? ?
? ? ?

1 2 2k x +e x +? 在 [1, e] 上具有单调性,求实数 k 的取值范围; 2
? ?

b c (Ⅱ) 已知向量 a 、 、 两两所成的角相等, a ? 1 ,b ? 且

求 2 ,c ? 3 , a ? b ? c .

?

?

?

?

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ?? ? ? ? 0) 在 R 上是偶函数, 其图象关于直线 x =

3? ? 对称,且在区间 [0, ] 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值. 4 2

19. (本题满分12分)生物体死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每 经过 5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期” . (Ⅰ)设生物体死亡时体内每克组织中的碳 14 的含量为1,根据上述规律,写出生物 体内碳 14 的含量 p 与死亡年数 t 之间的函数关系式; (Ⅱ)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳 14 的残余量约占原始含量的 76.7℅,试推算 马王堆汉墓的年代. (精确到个位;辅助数据: log2 0.767 ? ?0.3827 )

20. (本题满分13分) 已知函数 f ? x ? ? ? x ? + sin 的最大整数,例如 ? ?3.5? = ? 4, ? 2.1? =2 .

?x
2

,x?? ?1,1? . 其中 ? x ? 表示不超过 x

(Ⅰ)试判断函数 f ? x ? 的奇偶性,并说明理由; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的值域.

21.本小题满分 14分) ( 已知 a ? (1, 2sin ?
2

?

? ? ? ?? x ? b + ? ? 2) , ? (cos 2 x ? 2, 2m) ,f ? x ? ? a? b ? 4 2?

当 x ? ? 0,

? ?

??

? 时,有 f ?x ? <0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2?

武汉市部分重点中学 2012~2013 学年度上学期高一期末测试 数学参考答案
一.选择题 CABCD CCDAB 二.填空题

满足条件的 x 的集合是 ?0, ?

? ?

??
6?

??6分

(Ⅱ) y ? ?3sin ? x +

? ?

??

? ?? ? +3cos ? x + ? 3? 3? ?
??8分

? 7? ? ? 3 2 cos ? x + ? ? 12 ?
因为 x ? ? ?

7? ? ? 7? ? ? ? ? ,? ? ,所以 x + ? ? ,? + ? , 12 ? 3 12 ? ? 4 ?

于是当 x + 当 x+

? 7? ? 3 2 = ,即 x = ? 时, y 取最大值 4 12 3 2

??10 分

5? 7? =? ,即 x = 时, y 取最小值 ?3 2 12 12
2k

??12 分

17.(Ⅰ)因为函数 f ? x ? 是二次函数,其图象对称轴为 x=e

又 f ? x ? 在 [1, e] 上具有单调性, 所以 e
2k

? 1 或 e2k ? e ,
1 , 2

??3 分

解得 k ? 0 或 k ?

故实数 k 的取值范围是 k ? 0 或 k ?

1 . 2

??5 分

[来源:Z&xx&k.Com]

18. 因为函数 f ( x ) 在 R 上是偶函数, 所以 ? =

?
2

+k? ? k ? Z ? ,又 ?? ? ? ? 0 ,所以 ? = ?

于是 f ( x) ? sin(? x ?

?
2

? 2

??4 分

)= ? cos ? x

由于 f ( x ) 图象关于直线 x =

3? 对称,所以 4 4 3? ? ? =k? ? k ? Z ? ,即 ? = k ? k ? Z ? 3 4

??8 分

因为 f ( x ) 在区间 [0,

?

T ? ? ,即
故? = ?

2?

2

] 上是单调函数,所以 f ( x) 的最小正周期 4 3

? 4 ,? = 2 3

?

? ? ,所以 0<? ? 2 ,于是 ? =
??12 分

19. (Ⅰ)依题意,1 个 5730 年后 ,
2

1 p= ; 2

2个 5730 年后 , ??

?1? p = ? ? ; ??2分 ?2?

t ? 1 ? 5730 个 5730 年后 , p = ? ? t 年后即 5730 ?2?
(Ⅱ)由已知有 p =0.767 ??8 分

t

??6 分

? 1 ? 5730 于是 0.767= ? ? , ?2?

t

t = log 1 0.767= ? l og 2 0.767 ? 0.3827 , 5730 2
所以 t ? 2193 故马王堆汉墓大约是近 2200 年前的遗址. ??12 分

[来源:Z§xx§k.Com]

当 x?? ?1,0? 时, f (0)<f ( x) ? f (?1) , 即 ?1<f ( x) ? 0 当 x ??0,1? 时, f (0) ? f ( x)<f (1) , 即 0 ? <f ( x)<1 当 x =1 时, f ? x ? =2 , 综上得函数 f ? x ? 的值域为 ? ?1,1? ? ?2? .??13 分 21. 2sin ?
2

??9分

??11 分

?? x ? ?? ? + ? ? 2=1 ? cos ? +x ? ? 2= sin x ? 1 ? 4 2? ?2 ?

??2 分

f ? x ? =cos2 x ? 2+2m ?sin x ?1?

=1 ? sin2 x ? 2+2m ?sin x ?1?
= ? ? sin x ? m ? +m 2 ? 2m ? 1
2

??4 分

因为 x ? ? 0,

? ?

??

? ,所以 sin x? ? 0,1? ,于是 2?

当 0<m <1 时, f ? x ?max =m2 ? 2m ?1<0 ,解得

1 ? 2<m<1+ 2 ,
所以 0<m <1 ;
2

??6 分

2 当 m ? 1 时, f ? x ? < ? ?1 ? m ? +m ? 2m ? 1= ? 2<0 恒成立,

所以 m ? 1 ;
2

??9 分

2 当 m ? 0 时, f ? x ? < ? ? 0 ? m ? +m ? 2m ? 1 ,

即 f ? x ? < ? 2m ?1, 于是 f ? x ? < ? 2m ?1 ? 0 ,解得

1 m?? , 2


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