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2013年高考数学40个考点总动员 考点08 函数与方程(学生版) 新课标

时间:2012-10-18


2013 年新课标数学 40 个考点总动员 考点 08 函数与方程(学生版)
【高考再现】 热点一 函数的零点 1 . (2012 年高考(天津理) )函数 f ( x )= 2 + x ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是 (
x 3



A.0

B.1

C.2

D.3

1

2.(2012 年高考(北京文) )函数 f ( x ) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为
x

1





2

A.0

B.1

C.2

D.3

3.(2012 年高考(湖北理) )函数 f ( x ) ? x cos x 2 在区间 [0, 4 ] 上的零点个数为 ( A.4 【答案】C
2 【解析】 f ( x ) ? 0 ,则 x ? 0 或 cos x ? 0 , x ? k ? ?



B.5

C.6
?
2

D.7
, k ? Z ,又 x ? ?0 , 4 ? , k ? 0 ,1, 2 , 3 , 4

2

所以共有 6 个解.选 C. 4.(2012 年高考(湖北文) )函数 f ( x ) ? x co s 2 x 在区间 [0, 2 ? ] 上的零点个数为 ( A.2 【答案】D B.3 C.4 D.5 )

x? 【 解 析 】 由 f ( x )? x c o s 2
2 x ? k? ?

, 0 x ? 0 或 cos 2 x ? 0 ; 其 中 , 由 cos 2 x ? 0 , 得 得
x ? k? ?

? k ? Z ? . 又 因 为 x ? ? 0, 2 π ? , 所 以 2 2 4 π 3π 5π 7π x ? , , , .所以零点的个数为 1 ? 4 ? 5 个.故选 D. 4 4 4 4 ?k ? Z ? , 故

?

?

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1

热点二 函数与方程的综合问题 5. (2012 年高考 (湖南文) 设定义在 R 上的函数 f ( x ) 是最小正周期为 2 ? 的偶函数, f ? ( x ) ) 是 f ( x ) 的 导 函 数 , 当 x ? ? 0, ? 时 ,(x ? A.2
?
2

? 时,

0 ? f ( x ) ? 1 ; 当 x ? (0, ? ) 且 x ?

?
2

) f ? ( x ) ? 0 ,则函数 y ? f ( x ) ? sin x 在 [ ? 2 ? , 2 ? ] 上 的零点个数为 (



B.4

C.5

D.8

又 x ? ? 0, ? ? 时,0<f(x)<1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,在同一坐 标系中作出 y ? sin x 和 y ? f ( x ) 草图像如下,由图知 y ? f ( x ) ? sin x 在 [ ? 2 ? , 2 ? ] 上 的零点个数为 4 个.
y

1
y ? f (x)
o

? 2?

2?
y ? sin x

x

?1

6.(2012 年高考(辽宁理) )设函数 f(x) ( x ? R ) 满足 f( ? x )=f(x),f(x)=f(2 ? x),且当
x ? [0,1]

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2

时,f(x)=x .又函数 g(x)=|xcos (? x ) |,则函数 h (x)=g(x)-f(x)在 [ ?

3

1 3 , ] 上的零点个数为 2 2

( A.5 B.6 C.7 D.8



【方法总结】 1.数形结合是重要的思想方法之一, 也是高考考查的热点问题, 利用函数图象判断方程是否 有解,有多少个解是常见常考的题型,数形结合法是求函数零点个数的有效方法,其基本思 路是把函数分成两个函数的差, 分析的基本思想是分析后的函数图象比较容易做出, 则函数 零点个数就是两函数图象交 点的个数. 2.利用零点求参数的范围的问题,可利用方程,但有时不易甚至不可能解出,而转化为构造 两函数图象求解,使得问题简单明了,这也体现了,当不是求零点,而是利用零点的个数, 或有零点时求参数的范围,一般采用数形结合法求解. 【考点剖析】 一.明确要求

二.命题方向 1.函数的零点、方程根的个 数是历年高考的重要考点. 2.利用函数的图形及性质判断函数的零点, 及利用它们求参数取值范围问题是重点, 也是难 点. 3.题型以选择题和填空题为主,常与函数的图象与性质交汇命题. 三.规律总结 一个口诀 用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间, 找中点,中值计算两边看. 同号去,异号算, 零点落在异号间.周而复始怎么办?精确度上来判断. 两个防范

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3

三种方法 函数零点个数的判断方法:

【基础练习】 3 1.(教材习题改编)在以下区间中,存在函数 f(x)=x +3x-3 的零点的是 ( A.[-1,0] B.[1,2] C.[0,1] D.[2,3] 2 2. (经典习题)若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2, 那么函数 g(x)=bx -ax 的零点是( A.0,2 1 C.0,- 2 1 B.0, 2 1 D.2,- 2 )

) )

3. (经典习题)方程|x|=cos x 在(-∞,+∞)内( A.没有根 C.有且仅有两个根
2

B.有且仅有一个根 D.有无穷多个根

4.(人教 A 版教材习题改编)已知函数 f(x)=x +x+a 在区间(0,1)上有零点, 则实数 a 的取 值范围是________. 5. (经典习题)函数 f(x)=(m-1)x +2(m+1)x-1 的图象与 x 轴只有一个交点,则实数 m 的取值的集合是________. 【名校模拟】 一.基础扎实
2

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4

3. (2012 届郑州市第二次质量预测理)已知 函 数 的零点,且 A.恒为正值 B.等于 0 ,则 C.恒为负值 的值 D.不大于 0

,若

是函数

4.(浙江省温州中学 2012 届高三 10 月月考理)已 知函数 f ( x ) ? log a x ? x ? b ( a ? 0 , 且 a ? 1) ,当 2 ? a ? 3 ? b ? 4 时,函数 f ( x ) 的零点
x 0 ? ? n , n ? 1 ? , n ? N ,则 n ? (
?

) C.2 D.3

A.0

B.1

6.( 浙 江 省 2012 届 重 点 中 学 协 作 体 高 三 第 二 学 期 4 月 联 考 试 题 理
?x ?1 f (x) ? ? ? lo g 2 x x?0 x ?0

)函数

, 则 函 数 y ? f [ f ( x )] ? 1 的 所 有 零 点 所 构 成 的 集 合 为

________. 二.能力拔高 7.(中原六校联谊 2012 年高三第一次联考文)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b] 上的两个函数,若函数 y=f(x)—g(x)在 x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x) 和 g(x)在[a,b]上是“关联函数” ,区间[a,b]称为“关联区间” .若 f(x)=x —3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3] 上是“关联函数” ,则 m 的取值范围为 A. ( ?
9 4 , ?2]
2

B.[—1,0]

C. ( ? ? , ? 2 ]

D. ( ?

9 4

, ?? )

8.(2012 河南豫东豫北十所名校毕业班阶段性测试(三)文)已知函数

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5

,若函数 的取值范围是 (A)( (C)(0, ,0) ) (B)[ (D) ( ) )

有 3 个不同的零点,则实数 k

10.(浙江省 2012 届理科数学高考领先卷—名校精粹重组试卷理)若函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ,则函数
g ?x? ? f

? f ? x ? ? ? ln x 在 ? 0 ,1 ? 上的不同零点个数为
B.3 C.4 D.5

A.2

11.( 湖 北 省 武 汉 市 2012 年 普 通 高 等 学 校 招 生 适 应 性 训 练 文 ) 在 下 列 区 间 中 , 函 数
f (x) ? e
?x

? 4x ? 3
1 2

的零点所 在的区间为 B. ( ?
1 2 , ? 1 4 )

A. ( ?

3 4

, ?

)

C. ( ?

1 4

, 0)

D. (0,

1 4

)

12.( 仙 桃 市 2012 年 五 月 高 考 仿 真 模 拟 试 题 理 ) 已 知 偶 函 数 f ( x ) , 当 x ? 0 时 ,
1

f ( x ) ? x e ? ln x ( e ? 2 . 7 1 8 2? ? 为自然对数的底

) , 则函数 f ( x ) 的 零点不可能在区间

内。 A、 (-1,0) B、 (0,1) C、 ( ?
1 1 , ) e e

D、 ( , 1)
e

1

13.(湖北文科数学冲刺试卷(二))

14.( 襄 阳 五 中 高 三 年 级 第 一 次 适 应 性 考 试 理 ) 已 知 函 数
1 2 ? ? ( x ? ) ? 1( x ? 0 ) f ( x ) ? x ? 3 x ? 1, g ( x ) ? ? ,则方程 g [ f ( x )] ? a ? 0 ( a 为正实数) 2 ? ? ( x ? 3) 2 ? 1( x ? 0 ) ?
3 2

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6

的实数根最 多有( A.6 个

)个 B.4 个

C.7 个

D.8 个

15.(湖北黄冈 2012 高三五月模拟考试文)已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 既是奇函数,又是 周期为 3 的周期函数, x ? (0 , ) 时,f ( x ) ? sin ? x ,f ( ) ? 0 , 当 则函数 f ( x ) 在区间 ? 0 , 6 ?
2 2 3 3

上的零点个数是( A. 3 三.提升自我

) B. 5

C. 7

D. 9

17.( 湖 北 武 汉 2012 毕 业 生 五 月 供 题 训 练 ( 三 ) 文 ) 已 知 函 数
f ( x ) ? 2 ? x , g ( x ) ? x ? log 2 x , h ( x ) ? x ? x 零点依次为 a,b,c,则
x 3

A.b>c>a

B.b>a>c

C.a>b>c

D.c>b>a

19. ( 山 西 省 2012 年 高 考 考 前 适 应 性 训 练 文 ) 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 :
? x ? 2 , x ? [ 0 , 1), f ( x) ? ? 2 ? 2 ? x , x ? [ ? 1, 0 ),
2

且 f ( x ? 2) ? f ( x) , g ( x) ? ) C. ? 6

2x ? 5 x? 2

,则方程 f ( x ) ? g ( x ) 在区间

[-5,1]上的所有实根之和为( A. ? 8 B. ? 7 20.(2012 济南高考模拟理)

D. ? 5

21.(台州 2012 高三调研试卷理)

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7

【原创 预测】 1.已知函数 f t ( x ) ? ( x ? t ) 2 ? t ( t ? R ) ,设 a ? b , 数 f ( x ) ? x ? a ? b 有四个零点,则 b ? A. ( 0 , 2 ?
5)
a

? f a ( x ), f (x) ? ? ? f b ( x ),

fa (x) ? fb (x) fa (x) ? fb (x)

,若函

的取值范围是
5 ,? ? )

B. ( 0 , 2 ?

3)

C. ( 2 ?
x

D. ( 2 ?

3 ,? ? )

2.根据表格中的数据,可以断定函数 f(x)=e -x-2 的一个零点所在的区间是:

x+2 x
e
x

1 -1 0.37

2 0 1

3 1 2.72

4 2 7.39

5 3 20.09

A.(-1,0) C.(0,1)

B.(1,2) D .(2,3)

?x2, 0 ? x ? c, ? 5. 已知函数 f ( x ) ? ? 其中 c ? 0 . 那么 f ( x ) 的零点是_____; f ( x ) 若 2 x ? x , ? 2 ? x ? 0, ? ?
1

的值域是 [ ?

1 4

, 2 ] ,则 c 的取值范围是_____.

6.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R ,都有 f ( 2 ? x ) ? f ( x ? 2 ) ,且当

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8

x ? [ ? 2, 0] 时,

?1? f ( x ) ? ? ? ? 1 ,若关于 x 的方程 ?2?

x

f ( x ) ? lo g a ( x ? 2 ) ? 0 ( a ? 1) 在区间 ( ? 2, 6] 内恰有三个不同实根,则实数 a 的取值范

围是



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