nbhkdz.com冰点文库

单调性


班级:高一193班

教师:杨淑霞

学习任务

一、理解函数单调性的概念 二、掌握判断函数的单调性的方法

(运用图象法 、定义法判断一些函数
的单调性).

任务一、探究函数的单调性概念

观察第一组函数图象,指出其变化趋势.

/>y
y=x+1
1

y
1 1

y
1
1

O

x

O

x

O

1

x

上升 趋势. 从左至右图象呈______

观察第二组函数图象,指出其变化趋势.

y=-x+1

y
1

y
1 1

y
1

O

x

O 1

x

O

1

x

下降 趋势. 从左至右图象呈______

观察第三组函数图象,指出其变化趋势.

y
-1

y
1 1

y=x2

y
1

O

1

-1

x

O

1

x

O

1

x

局部上升或下降 从左至右图象呈__ ____________趋势.

1.请谈谈图象的变化趋势怎样?
y

O

x

2.你能看出当自变量增大或减少时,函数值如何

变化吗? y

O

x

结论:自变量增大,函数值也增大.

在函数 y = f (x)的图象上任取两点 A(x1,y1),B(x2, y2) ,



?x = x2-x1,?y = f (x2)-f (x1) = y2-y1.
y
f(x2)

?y
f(x1)

?x
x1
x2

O

x

自变量增大,函数值也增大.

自变量减小,函数值也减小.

?y ? x>0

增函数:在给定的区间上任取 x1,x2,且 x1 ≠ x2 ,函 给定的区间 ?y 数 f (x) 在给定区间上为增函数的充要条件是 ? x >0, 这个给定的区间就为单调增区间. y
f(x2)
f(x1)

O

x1

x2

x

类比得到减函数概念
y
f(x2) f(x1)

O

x1

x2

x

增函数:在给定的区间上任 取x1,x2,( x1 ? x2 ) 函数f (x)

在给定区间上为增函数的充要 ?y 条件是 ? x >0,这个给定的区 间就为单调增区间。

类比得到减函数概念
y
f(x2) f(x1)

y
f(x1) f(x2) x1 x2

O

x

O

x1

x2

x

增函数:在给定的区间上任 减函数:在给定的区间上任 取x1,x2,( x1 ? x2 ) 函数f (x) 取x1,x2,( x1 ? x2 ) 函数f (x)

在给定区间上为增函数的充要 在给定区间上为减函数的充要 ?y ?y 条件是 ? x > 0 ,这个给定的区 条件是 ? x <0 ,这个给定的区 >0 间就为单调减区间。 间就为单调增区间。

任务二、判别函数单调性 例1 给出函数 y = f (x) 的图象,如图所示,根据图

象说出这个函数在哪些区间上是增函数?哪些区间
上是减函数?
y

-1

O

1

2

3

4

x

解:函数在区间[-1,0],[2,3]上是减函数;

在区间[0,1],[3,4]上是增函数.

画出下列函数图像,并写出单调区间:
1 (1) y ? ( x ? 0); x

(2) y ? ? x2 ? 2.

y

1 y? x

y

y=-x2+2 x

2 1 -2 -1 -1 -2 1 2

x

1 (??, 0) , (0, ??) y ? 的单调减区间是 __________________; x (??, 0] y ? ? x2 +2的单调增区间是 _________;

[0, ??) y ? ? x2 +2的单调减区间是 _________.
思考:根据函数单调性的定义,
能不能说y ? 1 ( x ? 0)在定义域(??, 0) ? (0, ??)上是单调减函数? x

(1)观察教材 P 64,例1 的函数图象,说出函数在

(-∞,+∞)上是增函数还是减函数.
(2)观察教材 P 64,例2 的函数图象,分别说出函 数在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函数还是减函数.

任务二、判别函数单调性 y
f(x2)

怎样利用函数解析式判断单调性
y
f(x1)

y=f(x)
f(x1) f(x2) x1 x2

y=f(x)

O

x

O

x1

x2

x

增函数
自变量增大(?x>0) 函数值增大(?y>0)
?y ?0 ?x

减函数
自变量增大(?x>0) 函数值减小(?y<0)
?y ?0 ?x

例2

证明函数 f(x) = 3 x+2在区间(-∞,+∞)上是 增函数. 计算 ?x 和?y 计算 k ?
?y ?x

证明:设 x1,x2 是任意两个不相等的实数,则 ?x = x2 - x1 ?y = f(x2) - f(x1) = (3x2+2) -(3x1+2)

= 3(x2 - x1)
k? ?y ?3?0 ?x

当 k>0时,函数在这个区 间上是增函数; 当 k<0时,函数在这个区 间上是减函数.

因此,函数 f(x)=3 x+2在区间(-∞,+∞)上是增函数.

总结:由函数的解析式判定函数单调性的步骤: S1 计算 ?x 和 ?y. ?y 计算 k = ?x . 当 k>0时,函数在这个区间上是增函数;

S2
S3

当 k<0时,函数在这个区间上是减函数.

求证:函数f ( x) ? ? x2 ? 2在区间(??,0]上是单调增函数.
证明: 对于区间(??,0]内的任意两个值x1, x2 , 且x1 ? x2
?x = x2- x1 y = f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (? x12 ? 2) ? (? x22 ? 2) ??   




? x22 ? x12

? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 )
又?  x1 ? x2 ? 0,
?x2 ? x1 ? 0, x2 ? x1 ? 0



?y k? ? x 2 ? x1 ? 0 ?x
故f ( x) ? ? x2 ? 2在区间( ? ?,0]上是单调增函数.



1 例3 求证:函数 f (x) = 在区间(0,+∞)上是减函数. x 证明:设 x1,x2 是(0,+∞)内的任意两个不相等的正实数,则

?x = x2- x1
? y = f (x2)- f (x1)

计算 ?x 和?y 计算 k ?
?y ?x

?y 1 k? ?? ?0 ?x x1 x2

1 1 ?x ?? . ? ? x1 x2 x2 x1

当 k>0时,函数在这个区 间上是增函数; 当 k<0时,函数在这个区 间上是减函数.

1 因此 f (x) = 在区间(0 ,+∞)上是减函数. x

3 证明函数 f (x) = 在区间(-∞,0)上是减函数. x

1.增函数减函数定义.

2.证明函数单调性的步骤:
(1)计算 ?x 和 ?y;

?y (2)计算 k = ; ?x
当 k>0时,函数 y = f (x)在这个区间上是增函数; 当 k<0时,函数 y = f (x)在这个区间上是减函数.


单调性

单调性(复习课)一、考点、热点回顾 1、函数的概念 一般地,我们有:设 A, B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f , 使对于集合 A 中的任意一个数 ...

判断函数单调性的常用方法

判断函数单调性的常用方法_初二数学_数学_初中教育_教育专区。判断函数单调性的常用方法一、定义法设 x1,x2 是函数 f(x)定义域上任意的两个数,且 x1<x2,若...

函数单调性的判定方法

函数单调性的判定方法_数学_自然科学_专业资料。函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 1.1 定义法 一般地,设 f 为定义在 D 上的函数。若对任何...

函数单调性定义证明

函数单调性定义证明_高一数学_数学_高中教育_教育专区。函数单调性定义证明 用函数单调性定义证明 例 1、用函数单调性定义证明: (1) 为常数)在 上是增函数. (...

高中数学必修1函数单调性和最值专题

【判断函数单调性的常用方法】 1、根据函数图象说明函数的单调性. 例 1、 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以 及在每...

定义法判断函数的单调性

2.1 定义判别法使用函数单调性定义进行解题是一个重点,也是一个难点。关键在于对函数 单调性定义的理解。掌握这一方法有利于形成解题思路。函数的单调性定义: 一般...

函数单调性的判定方法

函数单调性的判定方法_数学_自然科学_专业资料。函数单调性的判定方法 摘要:单调性是函数的一个重要性质,其在数学、经济学等诸多学科中均有广泛的应用。本文介绍了...

函数的单调性的题型分类及解析

题型五:已知函数的单调性,求参数的取值范围。 已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范 围是 . 已知函数 y=-x2...

函数的单调性讲义

函​数​的​单​调​性​讲​义函数单调性 Ⅰ基础巩固 一、用定义法求函数单调性:取值作差化积定号.(这是最基本的思路.) 1、方法与步骤:证明...

高一函数单调性

盛阳教育 SHENG YANG EDUCATION 高中部●数学学科组 函数单调性 1.单调性与单调区间 (1)如果一个函数在某个区间上是增函数或者减函数,就说找个函数在这个区间...