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【金版学案】2015-2016高中数学 4.2.2圆与圆的位置关系练习 新人教A版必修2

时间:2015-10-31


4.2.2
基 础 梳 理

圆与圆的位置关系

圆与圆位置关系的判定有两种方法. (1)几何法.若两圆的半径分别为 r1,r2,两圆的圆心距为 d,则两圆的位置关系的判断 方法如下:

位置 关系

外离

外切

相交

内切<

br />
内含

图示

d与 r1,r2
的 关系

d>r1+r2

d=r1+r2

|r1-r2|< d<r1+r2

d= |r1-r2|

d<
|r1-r2|

(2)代数法.联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如 下表所示: 方程组解的个数 两圆的公共点个数 2组 2个 1组 1个 0组 0个 外离或内含

两圆的位置关系 相交 外切或内切 练习1:两圆的位置关系有相切、相交、相离. 练习2:两圆的半径分别为 R,r,圆心距设为 d. 当 d>R+r 时,两圆外离; 当 d=R+r 时,两圆外切; 当|R-r|<d<R+r 时,两圆相交; 当 d=|R-r|时,两圆内切; 当 d<|R-r|时,两圆内含. 练习3:如何根据圆的方程,判断它们之间的位置关系?

答案:联立圆的方程组,当交点个数为 0 时,则外离或内含; 当交点个数为 1 时,则外切或内切;当交点个数为 2 时,则相交. ?思考应用 两圆的公切线有几条? 解析:当两圆内切时有一条公切线;当两圆外切时,有三条公切线:两条外公切线、一
1

条内公切线; 当两圆相交时, 有两条外公切线; 当两圆相离时有四条公切线: 两条外公切线、 两条内公切线;当两圆内含时,没有公切线.

自 测 自 评 1.圆 C1:x +y +2x-6y-26=0 与圆 C2:x +y -4x+2y+4=0 的位置关系是(A) A.内切 B.外切 C.相交 D.相离 2 2 解析:圆 C1:(x+1) +(y-3) =36, 2 2 圆 C2:(x-2) +(y+1) =1, R1=6,R2=1, 又|C1C2|= (2+1) +(-1-3) =5, ∴|C1C2|=R1-R2,故两圆内切. 2.两圆 x +y =1 和(x+4) +(y-a) =25 相切,则实数 a 的值为 0 或±2 5. 2 2 2 2 3.圆 x +y =1 与圆 x +y +2x+2y+1=0 的交点坐标为(C) A.(1,0)或(0,1) B.(1,0)或(0,-1) C.(-1,0)或(0,-1) D.(-1,0)或(0,1) 4.已知圆 O1 和圆 O2 的半径分别为 3 cm 和 4 cm,则,①当 O1O2=8 cm 时,两圆外离; ②当 O1O2=7 cm 时,两圆外切;③当 O1O2=5 cm 时,两圆相交;④当 O1O2=1 cm 时,两圆 内切;⑤当 O1O2=0.5 cm 时,两圆内含.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

基 础 达 标 1.圆 O1:x +y -2x=0 和圆 O2:x +y -4y=0 的位置关系是(B)
2 2 2 2

A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
解析:圆 O1:(x-1) +y =1 2 2 圆 O2:x +(y-2) =4 ∴两圆心之间的距离|O1O2|= 1 +2 = 5<1+2=3,两圆相交. 2 2 2 2 2 2 2.两圆 x +y =r ,(x-3) +(y+1) =r 外切,则正实数 r 的值是(B)
2 2 2 2

A. 10 B.

10 2

C. 5 D.5

解析:圆心距为 10,由相外切得:r+r= 10, 10 . 2 2 2 2 2 3.与两圆 x +y +4x-4y+7=0 和 x +y -4x-10y+13=0 都相切的直线有(C) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析:两圆的圆心距为 5,两圆半径和为 5,故两圆外切.因此,有两条外公切线和一 ∴r=
2

条内公切线,共 3 条. 2 2 2 2 4.已知两圆 C1:x +y +2x+4y=0,C2:x +y +x+y-1=0,则它们的公共弦所在的 直线方程为________________________________. 答案:x+3y+1=0 2 2 2 2 5.过两圆 C1:x +y -x-y-2=0 与圆 C2:x +y +4x-4y-8=0 的交点和点(3,1) 的圆的方程为____________________. 2 2 2 2 解析:设圆的方程为 x +y -x-y-2+λ (x +y +4x-4y-8)=0,○* 2 将点(3,1)代入得 9+1-3-1-2+λ (9+1+12-4-8)=0,解得 λ =- ,代入○* 5 13 2 2 并化简得所求圆的方程为 x +y - x+y+2=0. 3 13 2 2 答案:x +y - x+y+2=0 3 巩 固 提 升 6.已知半径为 1 的动圆与圆(x-5) +(y+7) =16 相切,则动圆圆心的轨迹方程是(D) A.(x-5)2+(y+7)2=25 B.(x-5)2+(y+7)2=17 或(x-5)2+(y+7)2=15 C.(x-5)2+(y+7)2=9 D.(x-5)2+(y+7)2=25 或(x-5)2+(y+7)2=9 7.若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2 3,则 a=________. 答案:1 2 2 2 2 8. 求经过两圆 x +y +6x-4=0 和 x +y +6y-28=0 的交点且圆心在直线 x-y-4= 0 上的圆的方程. 解析:两圆的公共弦所在的直线方程为 x-y+4=0.两圆的连心线所在的直线方程为 x
? ?x +y +6x-4=0, +y+3=0.由? 2 得两圆交点为 A(-1, 3), B(-6, -2), 设公共弦长为 d, 2 ?x +y +6y-28=0 ?
2 2 2 2 2 2 2 2

d (3+2) +(-1+6) 5 2 则 = = , 2 2 2
?x-y-4=0, 7? ? ?1 由? 得圆心为? ,- ?. 2? ?2 ? ?x+y+3=0

2

2

设所求圆半径为 r,则 1 7 + +4 2 2 2 d? 89 ? 2 2 r =? ? +( )= . 2 ?2? 2 ∴故所求圆的方程为

?x-1? +?y+7? =89. ? 2? ? 2? 2 ? ? ? ?
9.求过直线 2x+y+4=0 和圆 x +y +2x-4y+1=0 的交点且满足下列条件之一的圆 的方程. (1)过原点;
2 2

2

2

3

(2)有最小面积. 解析:设所求圆的方程为 2 2 x +y +2x-4y+1+λ (2x+y+4)=0, 2 2 即 x +y +2(1+λ )x+(λ -4)y+(1+4λ )=0 1 (1)∵此圆过原点,∴1+4λ =0,λ =- , 4 3 17 2 2 故所求圆的方程为 x +y + x- y=0. 2 4 (2)将圆系方程化为标准形式: 2 2 ? λ -4? =5?λ -8? +4, 2 (x+1+λ ) +?y+ ? ? ? 2 ? 4? 5? 5 ? 8 要使其面积最小,必须圆的半径取最小值,此时 λ = , 5 2 2 ? 13? ? 6? 4 即满足条件的圆的方程为?x+ ? +?y- ? = . 5? ? ? 5? 5

1.圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含,主要是通过圆心距与两半径 长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系来判断. 需要注意在研究两圆公切线的时候, 首 先要判定两圆的位置关系. 2.当两圆相交时,两圆公共弦所在的直线方程是由两圆联立而得到的,并且连心线垂 直平分公共弦.

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