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2013年广东省六校惠州一中、广州二中、东莞中学、中山纪中、深圳实验、珠海一中第一次联考理科数学

时间:2012-10-02


2013 届高三六校第一次联考
理科数学 试题
命题学校:珠海一中

第一部分 选择题(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的
王新敞
奎屯 新疆

1. 若集合 M 是函数 y ? lg x 的定义域,N 是

函数 y ? A. (0,1] 2.在复平面内,复数 A.第一象限 B. (0, ? ? )
1 1? i
3

则 1 ? x 的定义域, M ? N 等于( D. [1, ? ? )

)

C. ? )

? i 对应的点位于 (

B.第二象限 )

C.第三象限

D.第四象限

3.下列命题正确的是(
2

A. ? x 0 ? R , x 0 ? 2 x 0 ? 3 ? 0 C. x ? 1 是 x ? 1 的充分不必要条件
2

B. ? x ? N , x ? x
3
2

2

D.若 a ? b ,则 a ? b

2

4.已知向量 a =(x,1) =(3,6) ? b ,则实数 x 的值为( ) ,b ,a A.
1 2

B. ? 2
2 2

C. 2

D. ?

1 2

5.经过圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为 ( A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

) D. x ? y ? 3 ? 0
甲 5 3 1 2 3 4 图1 4 2 5 5 6 7 3 7 8 乙

6. 图 1 是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图, 则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( ) A.65 C.63 B.64 D.62
3 4

6 8 7 9 1

7.已知等比数列 ?a n ? 中,各项都是正数,且 a 1 ,

1 2

a 3 , 2 a 2 成等差数列,则

a8 ? a9 a6 ? a7

等于( )

A. 1 ?

2

B. 1 ?

2

C. 3 ? 2 2

D. 3 ? 2 2

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理科数学试题

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?x ? ? 8. 在约束条件 ? y ? ? ?x ? ?y ? ?

0 0 y ? s 2x ? 4

目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最大值的变化范围是 () 下 , 当 3 ? s ? 5 时,

( A ) .[6,15]

( B ) .[7,15]

( C ) [6,8]

( D ) .[7,8]

第二部分 非选择题(共 110 分) 二、填空题: 本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 (一)必做题(9~13 题) 9.( ax -
1 x

) 的展开式中 x 的系数为 70 ,则 a 的值为

8

2

; ;

10.下面是一个算法的程序框图,当输入的值 x 为 5 时,则其输出的结果是

开始
输入x

x?0

N

x ? x?3

Y

y ? 0 .5

x

输出 y

结束 11. 若

?

a 0

x d x = 1 ,则实数 a 的值是_________.
x a
2 2

12.已知双曲线

?

y b

2 2

? 1( a> 0, b > 0 ) 和椭圆

x

2

?

y

2

=1 有相同的焦点,且双曲线的离

16

9

心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为

.

? a x ( x ? 0 ), f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 13.已知函数 f ( x ) ? ? 满足对任意 x 1 ? x 2 , 都有 x1 ? x 2 ? ( a ? 3) x ? 4 a ( x ? 0 )

成立,则 a 的取值范围是 . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

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第 2 页 共 10 页

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线ρ sin(θ + 为 .

π 4

)=2 被圆ρ =4 截得的弦长

15. (几何证明选讲选做题) 如图 4,P 是圆 O 外一点, P 引圆 O 的两条割线 PAB 、PCD , 过
PA ? AB ? 5 , CD ? 3 ,则 PC ? ____________.
P O C B A

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 sin x co s x ? co s 2 x ( x ? R). (1) 求 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2) 若 ? 为锐角,且 f ? ? ?
? ?
图4

D

? ?

? ? 8 ?

2 3

,求 tan 2? 的值.

17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? log
a

x ( a 为常数且 a ? 0 , a ? 1 ) ,已知数列 f ( x 1 ), f ( x 2 ), ? f ( x n ), ? 是
2

公差为 2 的等差数列,且 x 1 ? a . (Ⅰ)求数列 { x n } 的通项公式; (Ⅱ)当 a ?
1 2

时,求证: x 1 ? x 2 ? ? ? x n ?

1 3

.

18.(本小题满分 14 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联 表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计
3 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . 5

不喜爱打篮球 5

合计

10 50

(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); (2)能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的 理由; (3)现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为 ? ,求 ? 的分布

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列与期望. 下面的临界值表供参考:
P(K
2

? k)

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

,其中 n ? a ? b ? c ? d )

19. (本小题满分 14 分) 一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视 图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三角形. (Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼?试证明你的结论; (Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点为 E, 求平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面 角的余弦值. 20. (本小题满分14分)

正视图

侧视图

俯视图 已知点 F ? 0,1 ? ,直线 l : y ? ? 1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足 为 Q ,且 QP ? QF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D ? 0, 2 ? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、 B 两点,设 D A ? l1 , D B ? l 2 ,求 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a x ( a ? 0 ) , g ( x ) ? ln x , f ( x ) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处
2

l1 l2

?

l2 l1

的最大值.

的切线为 l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l 2 , 并且 l1 与 l 2 平行. (1)求 f ( 2 ) 的值; (2)已知实数 t∈R,求函数 y ? f [ xg ( x ) + t ], x ? ?1, e ? 的最小值;
g' (3) F (x ) ?g (x ) ? ( x) 令

, 给定 x 1 , x 2 ? (1, ? ? ), x 1 ? x 2 , 对于两个大于 1 的正数 ? , ? ,

存在实数 m 满足: ? ? mx 1 ? (1 ? m ) x 2 , ? ? (1 ? m ) x 1 ? mx 2 ,并且使得不等式
| F (? ) ? F ( ? ) |? | F ( x1 ) ? F ( x 2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.
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2013 届高三六校第一次联考
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 D

答案 A D C

B A B C

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每 小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. 1或-1 10. 2 11. 2 12.
x
2

?

y

2

?1

4

3

13. ? 0 . ? 4
? ?

?

1?

14.4 3

15. 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(1) 解: f ? x ? ? 2 sin x co s x ? co s 2 x
? sin 2 x ? cos 2 x

…… 2 分 …… 3 分

?

? 2 ? 2 2? sin 2 x ? co s 2 x ? ? 2 ? 2 ? ?

?

? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4 ? ?
2? 2 ? ? , 最大值为
? ?

…… 4 分

∴ f ? x ? 的最小正周期为 (2) 解:∵ f ? ? ?
? ?

2 .

…… 6 分

? ?

? ? 8 ?

2 3

,

∴ 2 sin ? 2? ?

? ?

2 . ?? 2 ? 3

…… 7 分

∴ co s 2? ?

1 3

.
?
2

…… 8 分 , ∴ 0 ? 2? ? ? .

∵ ? 为锐角,即 0 ? ? ?

∴ sin 2? ? ∴ tan 2? ?

1 ? co s 2? ?
2

2 2 3

.

…… 10 分

sin 2? co s 2?

? 2 2 .

…… 12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? f ( x 1 ) ? log
a

a

2

? 2

d ? 2

? f ( x n ) ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n

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第 5 页 共 10 页

即 : log

a

xn ? 2n
1 2

xn ? a
?1? ? ?4?
n

2n

--------6 分

(Ⅱ)当 a ?

时, x n ? ?

?1? 1 ?? ? ? n 1? 4 ?4? 4 ?1? ? 1 ----------12 分 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 3? ?4? ? 3 ? ? 1? 4 1

n

18.(本小题满分 14 分) 解:(1) 列联表补充如下:----------------------------------------3 分 喜爱打篮球 男生 女生 合计 (2)∵ K
2

不喜爱打篮球 5 15 20

合计 25 25 50

20 10 30
2

?

5 0 ? ( 2 0 ? 1 5 ? 1 0 ? 5) 30 ? 20 ? 25 ? 25

? 8 .3 3 3 ? 7 .8 7 9 ------------------------6 分

∴ 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 0.005 的 前 提 下 , 认 为 喜 爱 打 篮 球 与 性 别 有 关.---------------------7 分 (3)喜爱打篮球的女生人数 ? 的可能取值为 0,1, 2 .-------------------------9 分 其概率分别为 P (? ? 0 ) ?
C10 C15 C 25
2 0 2

?

7 20

, P (? ? 1) ?

C10 C15 C 25
2

1

1

?

1 2

, P (? ? 2 ) ?

C10 C15 C 25
2

2

0

?

3 20

--------------------------12 分 故 ? 的分布列为:
?
P
0

1
1 2 3 20 4 5

2
3 20

7 20 7 20 1 2

--------------------------13 分
? 的期望值为: E ? ? 0 ?
? 1? ? 2? ?

---------------------14 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面 ABCD 是边长为 6 的 正方形,高为 CC1=6,故所求体积是
V ? 1 3
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C1

C D 图1 A

B

? 6 ? 6 ? 72
2

------------------------4 分

第 6 页 共 10 页

(Ⅱ)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的 3 倍, 故用 3 个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为 6 的正方体, 其拼法如图 2 所示. ------------------------6 分 证明:∵面 ABCD、面 ABB1A1、面 AA1D1D 为全等的

C1 D1
正方形,于是
V C 1 ? ABCD ? V C 1 ? ABB 1 A1 ? V C 1 ? AA 1 D1 D

B1 A1

故所拼图形成立.---8 分

C D z C1 图2 A

B

(Ⅲ)方法一:设 B1E,BC 的延长线交于点 G, 连结 GA,在底面 ABC 内作 BH⊥AG,垂足为 H, 连结 HB1,则 B1H⊥AG,故∠B1HB 为平面 AB1E 与 平面 ABC 所成二面角或其补角的平面角. --------10 分 在 Rt△ABG 中, AG ?
BH ? 6 ? 12 180
cos ? B 1 HB ? HB HB 1

B1 A1 H B A
2 3

D1 E C y

180 ,则

G
? 12 5

, B1 H ?

BH

2

? BB 1

2

?

18 5



x

D

图3

?

2 3

,故平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 ?

.---14 分

方法二:以 C 为原点,CD、CB、CC1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立直角坐标系(如 图 3) ,∵正方体棱长为 6,则 E(0,0,3) 1(0,6,6) ,B ,A(6,6,0). 设向量 n=(x,y,z) ,满足 n⊥ EB 1 ,n⊥ AB 1 ,
?x ? z ?6 y ? 3 z ? 0 ? 于是 ? ,解得 ? 1 . y ? ? z ?? 6 x ? 6 z ? 0 ? 2 ?

--------------------12 分

取 z=2,得 n=(2,-1,2). 又 BB 1 ? (0,0,6) cos ? n , BB 1 ?? , 故平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 ?
2 3

n ? BB 1 | n || BB 1 |

?

12 18

?

2 3

. ----------------14 分

20. (本小题满分14分) (1)解:设 P ? x , y ? ,则 Q ? x , ? 1 ? , ∵ Q P ?Q F ? F P ?F Q , ∴ ? 0, y ? 1 ? ?? ? x , 2 ? ? ? x , y ? 1 ? ?? x , ? 2 ? . --------------------2分
??? ???? ? ??? ???? ?

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2 即 2 ? y ? 1 ? ? x ? 2 ? y ? 1 ? ,即 x ? 4 y ,

2

所以动点 P 的轨迹 C 的方程 x ? 4 y . --------------------4分
2

(2)解:设圆 M 的圆心坐标为 M ? a , b ? ,则 a 2 ? 4 b . 圆 M 的半径为 M D ?
2



a ? ?b ? 2? .
2 2
2 2

2 圆 M 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? ? b ? 2 ? .

2 2 令 y ? 0 ,则 ? x ? a ? ? b ? a ? ? b ? 2 ? , 2 2

整理得, x 2 ? 2 ax ? 4 b ? 4 ? 0 . 由①、②解得, x ? a ? 2 . --------------------6分 不妨设 A ? a ? 2, 0 ? , B ? a ? 2, 0 ? , ∴ l1 ? ∴
l1 l2 ?



?a ? 2?
l2 l1
2

2

? 4 , l2 ?
2 2

?a ? 2?

2

? 4 .--------------------8分

?

l1 ? l 2 l1 l 2

?

2a ? 16 a ? 64
4

? 2

?a

2

? 8?

2

a ? 64
4

? 2 1?

16a
4

2

a ? 64





当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2

?

l2 l1

? 2 1?
2

16 a ? 64 a
2

≤2 1?

16 2?8

? 2 2.

当且仅当 a ? ? 2 2 时,等号成立.--------------------12分 当 a ? 0 时,由③得,
l1 l2 ? l2 l1 l2 l1 ? 2 . --------------------13分

故当 a ? ? 2 2 时,

l1 l2

?

的最大值为 2 2 . --------------------14分

21. (本小题满分 14 分) 解: y ? f ( x ) 图象与 x 轴异于原点的交点 M ( a , 0 ) , f '( x ) ? 2 x ? a
y ? g ( x ? 1) ? ln ( x ? 1) 图象与 x 轴的交点 N (2, 0) , g '( x ? 1) ?

1 x ?1











kl ? kl
1


2



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a ?1,

………………………………………………2 分
f ( x) ? x ? x,
2 2


f (2) ? 2 ? 2 ? 2



…………………………………………3 分

y ? f [ xg ( x )+ t ] ? [ x ln x + t ] ? ( x ln x + t ) = ( x ln x ) ? (2 t ? 1)( x ln x ) ? t ? t ………………
2 2 2

…4 分 令 u ? x ln x ,在 x ? ?1, e ? 时, u ' ? ln x ? 1 ? 0 , ∴
0 ? u ? e,
2 2

u ? x ln x



?1, e ?











…………………………5 分
1 ? 2t 2

y ? u ? (2 t ? 1) u ? t ? t 图象的对称轴 u ?

,抛物线开口向上
t ? 1 2


ym ? |u ?


2 i

u ?
y ? n

1 ? 2t 2

?0







t ? …………………………………6 分 t 0




2

u ?

1 ? 2t 2

? e



t?

1 ? 2e 2





y m in ? y |u ? e ? e ? (2 t ? 1) e ? t ? t
2

………………………………7 分 时,
1 ? 2t 2 ?t ?t ? ?
2

③当 0 ?

1 ? 2t 2

? e即

1 ? 2e 2

?t?

1 2

y m in ? y |

u?

1? 2 t 2

?(

1 ? 2t 2

) ? ( 2 t ? 1)
2

1 4

……………… ……

……………8 分
(3) F ( x ) ? g ( x ) ? g '( x ) ? ln x ? 1 , 1 1 x ?1 F '( x ) ? ? 2 ? ? 0 得x ?1 2 x x x x

所 增



F (x)







(1, ?? )









……………………………………………………………9 分

∴ 当 x ? 1 时, F ( x)? F ( 1)? 0 ①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? m x1 ? (1 ? m ) x 2 ? m x1 ? (1 ? m ) x1 ? x1 ,
? ? m x1 ? (1 ? m ) x 2 ? m x 2 ? (1 ? m ) x 2 ? x 2 ,



? ? ( x1 , x 2 )







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? ? ( x1 , x 2 ) ,

………………………………………10分
0 ? F ( x1 ) ? F (? ) 、 F ( ? ) ? F ( x 2 )

∴ 由 f ( x ) 的单调性知 从 设. 而 有

| F (? ) ? F ( ? ) | ? | F ( x 1 ) ? F ( x 2 ) |









………………………………11 分

②当 m ? 0 时, ? ? m x1 ? (1 ? m ) x 2 ? m x 2 ? (1 ? m ) x 2 ? x 2 ,
? ? (1 ? m ) x1 ? m x 2 ? (1 ? m ) x1 ? m x1 ? x1 ,

由 f ( x ) 的单调性知 0 ? F ( ? ) ? F ( x1 ) ? F ( x 2 ) ? F (? ) , ∴
| F (? ) ? F ( ? ) | ? | F ( x 1 ) ? F ( x 2 ) |











符 ……………………………………12 分 ③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x 2 , 得 符. ∴
m ? (0,1)

| F (? ) ? F ( ? ) | ? | F ( x 1 ) ? F ( x 2 ) |











……………………………………13 分 综 合 ① 、









……………………………………14 分

说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分.

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