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《高等代数》教学大纲

时间:2013-05-14


教学大纲
一. 课程的教学目的和要求 通过这门课的学习,使学生掌握高等代数的基本知识,基本方法,基本思路,为进一步 学习专业课打下良好的基础,适当地了解代数的一些历史,一些背景。 要突出传授数学思想和数学方法, 让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。 突出高 等代数中等价分类的思想,分解结构的思想,同构对应的思想,揭示课程内部的本质的有机 联系。 通过活泼互动的课堂教学,刺激学生的学习兴趣;通过探索讨论课,调动学生的学习主 动性;通过写专题读书报告,训练学生的查阅资料和归纳总结的能力;通过难题攻关,享受 理解和应用数学思想和方法的乐趣,提高创新能力。 二.课程的主要内容: 《高等代数》分为两个部分主要内容。一块是基本工具性质的,包括多项式,行列式, 矩阵初步, 二次型。 既然是工具性质的, 因而除了多项式内容外, 也是数学专业以外的理科、 工科、经管类《线性代数》的内容。另外一块是研究线性空间的结构,这是研究代数结构的 起点和模型。从元素的角度看,研究向量间的线性表示,线性相关性,基向量;从子集角度 看, 研究子空间和直和分解; 从空间之间的关系来研究空间结构, 就是线性映射, 线性变换, 线性映射的核与值域,Jordan 标准形对应的空间分解。而欧氏空间则是具体的研究空间的例 子。 三.教学重点与难点: 在讲解内容的同时, 要尽早地更多讲授高等代数中的数学的思想和方法, 重点是传授代 数学的基本思想,如等价分类的思想,分解结构的思想,特别是同构对应的思想。所选教材 以线性空间为纲的做法, 即把高等代数的主要内容放在线性空间的框架下展开, 同时将必要 的代数方法做了尽可能详细的介绍。 所以讲课的难点在于把握几何直观和代数方法的对应关 系和互动关系, 使学生即能从几何的观点更好地理解内容, 又可把握简洁和直接的代数方法。 四.课程教材和参考书: 教材:姚慕生编著,高等代数,复旦大学出版社,第一版(2003 年) 参考书:1. 姚慕生编著,高等代数(指导丛书) ,复旦大学出版社(2003) 2. 北京大学数学系编,高等代数,高等教育出版社,北京(1987)

3. 张禾瑞、郝炳新,高等代数,高等教育出版社,北京(1999) 4. 樊恽、郑延履、刘合国,线性代数学习指导,科学出版社,北京(2003) 5. 林亚南编:高等代数方法选讲,2002 年,见厦门大学精品课程“高等代数”网站, 五.课程内容及学时分配 本课程开课时间:第一学年(共三学期),共 180 学时;其中,第一学期,72 课时,期中 考 1 次;第二学期,78 课时,期中考 1 次;第三学期,30 课时;以上不包括复习考试周。 第一章 行列式(15 学时) 1、教学内容:行列式的定义,行列式的性质,行列式的基本 计算方法,Vander Monde 行列式,Gramer 法则、Laplace 定理.2、教学目的和要求:使学 生理解行列式的归纳法定义,熟练掌握行列式的性质,熟练掌握计算行列式基本方法,并会 运用 Gramer 法则求线性方程组的解, 了解和应用 Laplace 定理, 了解行列式的等价定义。 3、 教学重点:行列式的性质,计算行列式的方法:累加法,降阶归纳法,典型形式行列式的计 算方法。 教学难点与注意点: 4 注意不要在计算行列式的技巧方面花过多时间和过高的要求。 难点是 Vander Monde 行列式在内的数学归纳方法,Laplace 定理的内容和意义.5、各节教 学时间分配及进度安排:§1 行列式的定义 学时)§2 行列式的性质 学时)§3 Cramer (1 ; (2 ; 法则(1 学时);§4 行列式按行展开与转置(2 学时);§5 行列式的计算(3 学时); §6 行列式的等价定义(2 学时);§7 Laplace 定理(1 学时);习题讨论(3 学时)。 第二章 矩阵(15 学时) 1、教学内容:矩阵定义与运算,矩阵的初等变换与初等矩阵, 可逆矩阵,分块矩阵的初等变换,Cauchy-Binet 公式。2、教学目的及要求:使学生正确掌 握矩阵的运算和运算法则, 熟练掌握矩阵的初等变换这一矩阵论的核心内容和方法, 掌握方 块矩阵的运算, 特别是块初等变换, 掌握矩阵的运算, 初等变换, 相抵关系的标准型的计算, 掌握矩阵相抵的等价分类,化标准型的思想方法。3、教学重点:矩阵的初等变换与左(右) 乘初等矩阵的对应,方块矩阵的块初等变换。4、教学难点和注意点:矩阵对于加法数乘运 算法则是线性空间的模型, 方阵的加法数乘和乘法运算是代数的模型; 讲授转置运算的同时 介绍对称阵和反对称阵; 作为例子介绍标准单位向量和基础矩阵以及性质; 介绍可逆阵的充 要条件和计算时应该注意与初等变换和初等矩阵的联系; 讲授矩阵相抵要注意等价分类的思 想;Cauchy-Binet 公式的证明可不做要求,重点在对结论的理解和正确应用。5、各节教学 时间分配进度安排:§1 矩阵的概念(1 学时);§2 矩阵的运算(2 学时);§3 方阵的逆 阵(2 学时);§4 矩阵的初等变换与初等矩阵(2 学时);§5 矩阵乘积的行列式与矩阵 初等变换法求逆阵(2 学时);§6 分块矩阵(2 学时);§7 Cauchy-Binet 公式及其应用 (1 学时);习题讨论 3 学时。 第三章 线性空间(27 学时)1、教学内容:线性空间的定义,线性相关性:线性相关和线 性无关,线性表示,线性等价的向量组,极大线性无关组, 基与维数, 基的变换与过渡矩阵, 线性空间的同构,子空间的定义与判断,子空间分解,关于子空间的交空间和和空间的维数 公式,矩阵的秩,线性方程组的解的存在性唯一性和解的结构。2、教学目的及要求:使学 生正确理解线性空间的定义, 正确从定义出发判断和证明向量组的线性关系, 把握一批重要

实例(特别 n 维行向量空间)的基与维数,掌握计算矩阵的秩的初等变换方法和子式方法, 掌握证明矩阵的秩的命题的方法,熟练掌握线性方程组的解的判断、计算和解的结构,培养 学生严谨的逻辑推理能力和准确简明的表达能力,熟悉同构的思想,等价分类的思想,直和 分解的思想。 3、教学重点:线性相关性,线性空间的直和分解,线性空间的同构,矩阵的 秩。4、教学难点和注意点:作为从元素角度研究线性空间,向量组的线性相关性是本课程 的主要难点之一,教学中要特别注意培养学生严谨的逻辑推理能力和准确简明的表达能力, 要准确理解向量组的极大线性无关组和空间的基, 向量组的秩与空间维数的联系与差别; 作 为从子集研究线性空间, 特别注意子空间的直和分解的证明方法; 作为从线性空间的外部研 究线性空间,特别关注同构观点,同构映射保持线性相关性,保持子空间的维数,保持直和 分解,同构既是等价分类思想的体现,也是下一章联系线性映射和矩阵的重要桥梁;从行列 式,相抵标准型,向量组,线性空间,线性方程组,矩阵分解等角度理解矩阵的秩的含义, 学会从各个角度证明行列式的命题。5、各节教学时间分配进度安排:§1 数域(1 学时); §2 n 维向量(1 学时);§3 线性空间(1 学时);§4 向量的线性关系(3 学时);§5 基 和维数(4 学时);§6 基变换与过渡矩阵(2 学时);习题讨论 3 学时;§7 子空间(3 学时);§8 矩阵的秩(3 学时);§9 线性方程组的解(3 学时);习题讨论 3 学时。 第四章 线性变换(15 学时)1、教学内容:线性映射和线性变换,两个线性空间的线性映 射(变换)的全体构成集合的代数结构,线性映射与矩阵的同构对应,线性映射的核与像以 及维数公式,线性变换的不变子空间和导出变换。2、教学目的及要求:使学生准确理解和 掌握线性映射(变换)的概念,理解线性映射由基的像唯一确定及其应用;掌握两个线性空 间之间的线性映射(变换)的全体在定义了加法、数乘(和乘法)运算后构成线性空间(代 数);熟练掌握用核空间与像空间刻画单满线性映射,熟练掌握维数公式;学会在同构意义 下线性映射的命题与矩阵的命题之间的转化;学会以上内容在具体例子的实现和计算。3、 教学重点:线性映射由基的像唯一确定,并且用以构造线性映射;线性映射与矩阵的同构对 应;维数公式的扩基证明方法和同构对应的证明方法。4、教学难点和注意点:讲线性映射 时首先要复习映射的有关概念,特别是从双射构造逆映射的方法;在同构的框架下,详细讨 论两个线性空间的线性映射(变换)所构成的线性空间(代数)与矩阵空间(代数)的对应; 讲授维数公式时用扩基证明方法和同构对应的证明方法, 特别要突出第二种证明方法体现的 思想;讲授不变子空间时要注意线性变换和在不变子空间的导出变换的联系和差别。5、各 节教学时间分配进度安排: §1 线性映射的概念 学时) §2 线性映射的运算 学时) (1 ; (2 ; §3 线性映射与矩阵(3 学时);§4 线性映射的像与核(4 学时);§5 不变子空间(2 学时);习题讨论 3 学时。 第五章 多项式(36 学时)1、教学内容:一元多项式的概念,多项式的运算,整除的概念 与性质,带余除法,最大公因式的唯一性、存在性,Euclidean 辗转相除法,互素的性质及 判定;不可约多项式及其性质,标准分解式,重因式的判定与求法;多项式函数的根,余数 定理,根的个数;代数基本定理,复数域上多项式的分解,Vieta 定理,三次复系数多项式 的 Cardan 公式,四次复系数多项式 Ferrari 解法;实系数多项式的不可约多项式,实系数 多项式的分解;区间内根的个数的判定;有理系数多项式的根,本原多项式,Gauss 引理, Eisenstein 判别法;多元多项式的基本概念,多元多项式中单项式的排列次序,关于乘积

首项和次数;对称多项式,初等对称多项式,对称多项式的基本定理;结式,判别式,多项 式的根与判别式的关系。2、教学目的及要求:使学生掌握多项式全体作为线性空间的代数 结构的运算法则; 熟练掌握和应用带余除法定理; 熟练掌握最大公因式和互素的判别方法和 基本性质;熟练掌握和应用因式分解定理,掌握不可约多项式的基本性质,了解重因式与重 根的联系,掌握复系数与实系数的标准分解式,了解一元三次和四次方程的根式解,了解实 数域上多项式的实根的上下界与个数分解的 Sturm 定理, 掌握有理系数多项式的 Gauss 引理, Eisenstein 判别法;了解多元多项式与了解多元多项式函数的关系,理解和掌握对称多项 式的基本定理和 Newton 公式,了解利用结式来判别两个多项式的公根。3、教学重点:两个 多项式作为形式多项式的相等和作为多项式函数相等的定义和两者的等价; 最大公因式和互 素,因式分解定理和标准分解式,有理数域上的多项式。4、教学难点和注意点:熟悉从多 项式代数和多项式函数两个不同角度研究多项式的方法和联系; 掌握与数域扩大相关的多项 式性质和无关的性质,Gauss 引理和 Eisenstein 判别法证明中分析系数的方法。5、各节教 学时间分配及进度安排:§1 一元多项式代数(1 学时);§2 整除(2 学时);§3 最大 公因式(3 学时);§4 因式分解(3 学时);§5 多项式函数(3 学时);习题讨论 3 学 时;§6 复系数多项式(3 学时);§7 实系数多项式(3 学时);§8 有理系数多项式(3 学时);§9 多元多项式(3 学时);§10 对称多项式(3 学时);§11 结式和判别式(3 学时);习题讨论 3 学时。 第六章 特征值(15 学时)1、教学内容:特征值和特征向量,特征多项式及其性质,特征 值、特征向量的求法;复方阵相似于上三角阵及其应用;矩阵可对角化的判定和计算,特征 子空间,特征值的代数重数、几何重数,完全特征向量系;零化多项式和极小多项式, Cayley-Hamilton 定理;特征值的估计,圆盘定理。2、教学目的及要求:使学生掌握特征 值、特征向量、特征多项式、特征子空间、极小多项式的定义和基本性质;清楚零化多项式 和极小多项式的关系,掌握 Cayley-Hamilton 定理;熟练掌握计算特征值与特征向量,可对 角化的判定和计算。3、教学重点:相似矩阵有相同的特征多项式和极小多项式,矩阵与线 性 变换 的特征 值和 特征向 量, 特征多 项式, 特征 子空 间,极 小多项 式的 对应 关系; Cayley-Hamilton 定理的证明。4、教学难点和注意点:复方阵相似于上三角阵结论的证明 和应用;明确特征多项式的在数域 K 上的根是特征值,特征值一定是特征特征多项式的根。 5、各节教学时间分配及进度安排:§1 特征值和特征向量(3 学时);§2 对角化(3 学 时);§3 极小多项式与 Cayley-Hamilton 定理(3 学时); §4 特征值的估计(3 学时); 习题讨论 3 学时。 第七章 相似标准型(21 学时)1、教学内容:多项式矩阵和矩阵多项式,λ -矩阵的相抵, 初等λ -矩阵;λ -矩阵的法式;矩阵的行列式因子,不变因子,初等因子;不变因子和有理 标准型;初等因子和 Jondan 小块,矩阵相似的全系不变量;Jordan 标准型:Jordan 标准 型对应的不变子空间分解;根子空间,循环子空间。2、教学目的及要求:使学生了解多项 式矩阵与矩阵多项式的关系,λ-矩阵的相抵与矩阵相似的关系.掌握行列式因子、不变因 子、初等因子的概念与计算,掌握不变因子与有理标准型的对应,初等因子组与 Jordan 标 准型的对应,Jordan 标准型对应的不变子空间分解。3、教学重点:复数域上矩阵相似标准 型和线性变换在基下矩阵的关系,矩阵相似的全系不变量;Jordan 标准型所包含的特征多

项式,极小多项式,特征子空间,根子空间的信息。4、教学难点和注意点:不变因子与有 理标准型的对应,初等因子组与 Jordan 标准型的对应,Jordan 标准型对应的不变子空间分 解,对应特征子空间和根子空间。5、各节教学时间分配及进度安排: §1 多项式矩阵(1 学时);§2 矩阵的法式(2 学时);§3 不变因子(1 学时);§4 有理不标准型(2 学 时);习题讨论 3 学时;§5 初等因子(1 学时);§6 Jordan 标准型(2 学时); §7 Jordan 标准型的进一步讨论和应用举例(6 学时);习题讨论 3 学时。 第八章 二次型(15 学时)1、教学内容:二次型与对称矩阵的对应,二次型的非退化线性 替换与对称阵的合同关系;二次型化简的配方法和初等变换法;复二次型的规范标准型,惯 性定理,正惯性指数,负惯性指数,符号差,实二次型的规范标准型;正定型与正定矩阵; 半正定型与半正定阵、负定型与负定阵;复相合,Hermite 型的标准型,Hermite 型的惯性 定理,Hermite 矩阵。 2、教学目的及要求:使学生掌握用非退化线性替换,化二次型为标 准形和规范型, 掌握判断二次型的正定性的方法, 从对称矩阵的合同关系理解等价分类的思 想。3、教学重点:从矩阵的合同关系反映的等价分类的思想。4、教学难点:正定性的判别, 惯性定理的证明。5、各节教学时间分配进度安排:§1 二次型与矩阵的合同(2 学时); §2 二次型的化简(2 学时);§3 惯性定理(2 学时);§4 正定型与正定矩阵(4 学时); §5 Hermite 型(2 学时);习题讨论 3 学时. 第九章 欧氏空间(21 学时)1、教学内容:内积和内积空间的概念,向量的长度,夹角,平 行和正交,Cauchy-Schwarz 不等式,三角不等式;单位向量,正交基,标准正交基,标准 正交基的过度矩阵,Schmidt 正交化,正交补空间,度量矩阵,Bessel 不等式;线性算子, 伴随变换与表示矩阵的关系;正交变换与正交阵的判别及性质;正交相似,自伴随算子,对 称算子的性质,实对称矩阵正交相似的全系不变量,实对称矩阵的正交相似标准型。2、教 学目的及要求:使学生掌握欧氏空间的度量概念与度量性质,掌握正交相似关系,掌握正交 变换和正交矩阵的对应, 对称变换与对称矩阵的对应, 从矩阵的正交相似关系进一步熟练掌 握等价分类的思想。3、教学重点:线性变换与矩阵的同构对应关系,正交相似关系。4、教 学难点:伴随变换与表示矩阵的关系。5、各节教学时间分配进度安排:§1 内积空间的概 念(3 学时);§2 正交基(3 学时);§3 伴随(3 学时);§4 正交变换与酉矩阵(3 学 时);§5 自伴随算子(3 学时);§7 实正规矩阵(3 课时);习题讨论 3 课时。


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