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5.1 平面向量的概念及其线性运算


§ 5.1

平面向量的概念及线性运算

1.向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律: 加法 求两个向量和的 运算 a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 定义 既有大小又有方向的量;向量的

大 小叫做向量的长度(或称模) 长度为 0 的向量;其方向是任意的 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做 共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等, 不能比较大小 0 的相反向量为 0 0 与任一向量平行或共线 备注 平面向量是自由向量 记作 0 a 非零向量 a 的单位向量为± |a|

求 a 与 b 的相反向 减法 量-b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差 三角形法则 (1)|λa|=|λ||a|; (2)当 λ>0 时, λa 的方向 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相反;当 λ=0 时,λa=0
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a-b=a+(-b)

λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb

3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ,使 b=λa. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.( (2)|a|与|b|是否相等与 a,b 的方向无关.( ) ) ) ) )

(3)已知两向量 a,b,若|a|=1,|b|=1,则|a+b|=2.( → 1 → → (4)△ABC 中,D 是 BC 中点,则AD= (AC+AB).( 2

→ → (5)向量AB与向量CD是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.( (6)当两个非零向量 a,b 共线时,一定有 b=λa,反之成立.( )

1.设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 → → → 2.已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2AC+CB=0,则OC等于( → → A.2OA-OB 2→ 1→ C. OA- OB 3 3 → → B.-OA+2OB 1→ 2→ D.- OA+ OB 3 3 ) )

→ → → → → 3.已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点,点 P 满足PA+BP+CP=0,AP=λPD,则实数 λ 的值为________. → → → → → 4.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN=____________.(用 a,b 表示)

题型一 平面向量的概念 例 1 给出下列命题: → → ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则“AB=DC”是“四边形 ABCD 为平行四边形” 的充要条件;③若 a=b,b=c,则 a=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是________. 下列命题中,正确的是________.(填序号) ①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; → → ③向量AB与向量CD共线,则 A、B、C、D 四点共线;

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④如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c; ⑤两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. 题型二 平面向量的线性运算 例2 → (1)如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个三等分点,那么EF等于( 1→ 2 → D. AB- AD 2 3 ) )

1→ 1 → 1→ 1 → 1→ 1 → A. AB- ADB. AB+ ADC. AB+ DA 2 3 4 2 3 2

→ → → → → (2)在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD等于( 2 1 A. b+ c 3 3 5 2 2 1 1 2 B. c- bC. b- c D. b+ c 3 3 3 3 3 3 → → → (1)如图,在正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF等于( A.0 → C.AD → B.BE → D.CF )

1 2 → (2)(2013· 江苏)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若DE 2 3 → → =λ1AB+λ2AC(λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________. 题型三 共线定理的应用 例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线, → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. . → 如图,在△ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点,则AD等于( 2→ 1→ A. AB- AC 3 3 2→ 1→ C. AB+ AC 3 3 1→ 2 → B. AB+ AC 3 3 1→ 2 → D. AB- AC 3 3 ) )

→ |AB| → → → (2)已知平面上不共线的四点 O,A,B,C,若OA-4OB+3OC=0,则 等于( → |BC| A.3 B.4 C.5 D.6

方程思想在平面向量的线性运算中的应用 → 1→ → 1→ 典例:(12 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 与 BC 相交于点 M,设 4 2 → → → OA=a,OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM.

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温馨提醒

(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复杂,有一定的难度.(2)易错点是,

找不到问题的切入口,想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量是 一个几何量,是有“形”的量,因此在解决向量有关问题时,多数习题要结合图形进行分析、判断、求解, 这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视 A、M、D 三点共线和 B、M、C 三点共线这个几何特 征.(4)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.

方法与技巧 1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要 素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指 向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”. 2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且 有公共点时,才能得出三点共线. → → → → → 3.对于三点共线有以下结论:对于平面上的任一点 O,OA,OB不共线,满足OP=xOA+yOB(x,y∈R),则 P,A,B 共线?x+y=1. 失误与防范 1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑 零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性. 2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.

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A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.下列说法正确的个数是( )

①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量; ②零向量没有方向; ③向量的模一定是正数; ④非零向量的单位向量是唯一的. A.0 B.1 C.2 D.3

2.已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b 等于( A.(5,7) C.(3,7) B.(5,9) D.(3,9)

)

→ → → 3.设 a,b 不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值是( A.-2 B.-1 C.1 D.2 → → → 4.已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心,且OA+OB+OC=0,则△ABC 的内角 A 等于( A.30° B.60° C.90° D.120° )

)

→ → → 5.在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=60° ,AD 为 BC 边上的高,O 为 AD 的中点,若AO=λAB+μBC, 则 λ+μ 等于( )

1 1 2 A.1 B. C. D. 2 3 3 6.下列命题: ①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,那么 a+b 的方向必与 a,b 之一方向相同; → → → ②三角形 ABC 中,必有AB+BC+CA=0; → → → ③若AB+BC+CA=0,则 A,B,C 为三角形的三个顶点; ④若 a,b 均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 其中假命题的序号为________. → → → 7. 设 O 是△ABC 内部一点, 且OA+OC=-2OB, 则△AOB 与△AOC 的面积之比为________. → → → 1→ → 8.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λCB,则 λ=________. 3

9.已知向量 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中 e1、e2 不共线,向量 c=2e1-9e2.问是否存在这样的实数 λ、μ, 使向量 d=λa+μb 与 c 共线?

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→ 2→ → → 10.如图所示,在△ABC 中,D、F 分别是 BC、AC 的中点,AE= AD,AB=a,AC=b. 3 → → → → → (1)用 a、b 表示向量AD,AE,AF,BE,BF; (2)求证:B,E,F 三点共线. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) → → → 11.已知点 O,A,B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点,且 2OP=2OA+BA,则( A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上 → → 12.如图,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C,D 是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b, → 则AD等于( 1 A.a- b 2 1 C.a+ b 2 ) 1 B. a-b 2 1 D. a+b 2 ) )

→ → → 13.设 G 为△ABC 的重心,且 sin A· GA+sin B· GB+sin C· GC=0,则 B 的大小为( A.45° C.30° B.60° D.15°

14.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不 → → → → 同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n 的值为________. → → → 15.已知 O,A,B 是不共线的三点,且OP=mOA+nOB(m,n∈R). (1)若 m+n=1,求证:A,P,B 三点共线; (2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1.

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答案:

§ 5.1
【思考辨析】

平面向量的概念及线性运算

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)( × )(2)( √ )(3)( × )(4) √ )(5).( × )(6).( √ )

1. 答案 D 解析 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若 a 与 a0 平 行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述, 假命题的个数是 3. 2. 答案 A → → → → → → 解析 由 2AC+CB=0 得 2OC-2OA+OB-OC=0, → → → 故OC=2OA-OB. 3.答案 -2 → → → → → 解析 如图所示,由AP=λPD,且PA+BP+CP=0,则 P 是以 AB、AC 为邻边的平行四边 → → 形的第四个顶点,因此AP=-2PD,则 λ=-2. 1 1 4.答案 - a+ b 4 4 → → → 3→ 3 解析 由AN=3NC得AN= AC= (a+b), 4 4 1 → → → → AM=a+ b,所以MN=AN-AM 2 1 ? 3 1 1 = (a+b)-? ?a+2b?=-4a+4b. 4

题型一 平面向量的概念 例1 答案 ②③ 思维升华 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.
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(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈. a a (4)非零向量 a 与 的关系: 是 a 方向上的单位向量. |a| |a|

答案 ⑤ 解析 ①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量; ②不正确,若 a 与 b 中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反; ③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行; ④不正确,如果 b=0,则 a 与 c 不一定平行; ⑤正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小;向量的模均为实数,可以比较大小. 题型二 平面向量的线性运算 例 2 答案 (1)D 解析 (2)A

→ → → (1)在△CEF 中,有EF=EC+CF.

→ 1→ 因为点 E 为 DC 的中点,所以EC= DC. 2 → 2→ 因为点 F 为 BC 的一个三等分点,所以CF= CB. 3 → 1 → 2 → 1→ 2 → 所以EF= DC+ CB= AB+ DA 2 3 2 3 1→ 2 → = AB- AD,故选 D. 2 3 → → (2)∵BD=2DC, → → → → → → ∴AD-AB=BD=2DC=2(AC-AD), → → → ∴3AD=2AC+AB, → 2 → 1→ 2 1 ∴AD= AC+ AB= b+ c. 3 3 3 3 思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.

(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③ 运用法则找关系;④化简结果.

答案 解析

1 (1)D (2) 2 (1)如图,∵在正六边形 ABCDEF 中,

→ → → → CD=AF,BF=CE, → → → → → → → → → → → ∴BA+CD+EF=BA+AF+EF=BF+EF=CE+EF=CF. 1→ 2 → 1 → → → 1→ 2 → 1→ 2 → → (2)由题意, 得DE=DB+BE= AB+ BC= AB+ (AC-AB)=- AB+ AC, 则 λ1=- , 2 3 2 3 6 3 6

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2 λ2= , 3 1 即 λ1+λ2= . 2 题型三 共线定理的应用 例3 → → → (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) → =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. → → ∴AB、BD共线,又∵它们有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线. (2)解 ∵ka+b 和 a+kb 共线,

∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即 ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a、b 是两个不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=± 1. 思维升华 (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向

量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 λ1,λ2,使 λ1a+λ2b=0 成立,若 λ1a+λ2b=0,当且仅当 λ1=λ2=0 时成立,否则向量 a、b 不共线.

答案 解析

(1)C (2)A → → → (1)由平面向量的三角形法则,得AD=AB+BD.

又因为点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点, → → 1→ → 1 → → 所以AD=AB+ BC=AB+ (AC-AB) 3 3 2→ 1 → = AB+ AC. 3 3 → |AB| → → → → → → → → → (2)OA-4OB+3OC=0?OA-OB-3(OB-OC)=0?BA=3CB,所以 =3. → |BC|

方程思想在平面向量的线性运算中的应用 典例:思维点拨 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,要尽可能 地转化到平行四边形或三角形中去.

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→ → (2)既然OM能用 a、b 表示,那我们不妨设出OM=ma+nb. (3)利用向量共线建立方程,用方程的思想求解. 规范解答 解 → 设OM=ma+nb,

→ → → 则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb. 1 → → → 1→ → AD=OD-OA= OB-OA=-a+ b.[3 分] 2 2 → → 又∵A、M、D 三点共线,∴AM与AD共线. → → ∴存在实数 t,使得AM=tAD, 1 ? 即(m-1)a+nb=t? ?-a+2b?.[5 分] 1 ∴(m-1)a+nb=-ta+ tb. 2 m-1=-t, ? ? ∴? 消去 t 得,m-1=-2n, t ? ?n=2, 即 m+2n=1.① [7 分] 1 1 → → → m- ?a+nb, 又∵CM=OM-OC=ma+nb- a=? 4? 4 ? 1 1 → → → CB=OB-OC=b- a=- a+b. 4 4 又∵C、M、B 三点共线, → → ∴CM与CB共线.[10 分] → → ∴存在实数 t1,使得CM=t1CB, 1? ? 1 ? ∴? ?m-4?a+nb=t1?-4a+b?, 1 1 ? ?m-4=-4t1, ∴? ?n=t1. ? 消去 t1 得,4m+n=1.② 1 3 → 1 3 由①②得 m= ,n= ,∴OM= a+ b.[12 分] 7 7 7 7

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1. 答案 A 解析 ①错误,只有速度和位移是向量;②错误,零向量是有方向的,它的方向是任意的;③错误,

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|0|=0;④显然错误. 2.答案 A 解析 2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7). 3 答案 B → → 解析 ∵BC=a+b,CD=a-2b, → → → ∴BD=BC+CD=2a-b. → → 又∵A,B,D 三点共线,∴AB,BD共线. → → 设AB=λBD, ∴2a+pb=λ(2a-b), ∴2=2λ,p=-λ,∴λ=1,p=-1. 4.答案 B → → → 解析 由OA+OB+OC=0,知点 O 为△ABC 的重心, 又 O 为△ABC 外接圆的圆心, ∴△ABC 为等边三角形,A=60° . 5.答案 D → → → → 1→ 解析 ∵AD=AB+BD=AB+ BC, 3 → → 1→ → 1→ 1→ ∴2AO=AB+ BC,即AO= AB+ BC. 3 2 6 1 1 2 故 λ+μ= + = . 2 6 3 6.答案 ①③④ 解析 ①若 a 与 b 长度相等,方向相反,则 a+b=0;③A,B,C 三点可能在一条直线上;④|a|+|b|≥|a+b|. 7.答案 1 2

解析 设 D 为 AC 的中点,连接 OD, → → → 则OA+OC=2OD. → → → 又OA+OC=-2OB, → → 所以OD=-OB,即 O 为 BD 的中点, 1 从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为 . 2 8.答案 2 3

→ → → 解析 由图知CD=CA+AD,① → → → CD=CB+BD,②

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→ → 且AD+2BD=0. → → → ①+②×2 得:3CD=CA+2CB, 2 → 1→ 2→ ∴CD= CA+ CB,∴λ= . 3 3 3 9.解 ∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2) =(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2, 要使 d 与 c 共线,则应有实数 k,使 d=kc, 即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,
?2λ+2μ=2k, ? 即? 得 λ=-2μ. ?-3λ+3μ=-9k, ?

故存在这样的实数 λ、μ,只要 λ=-2μ,就能使 d 与 c 共线. → 1→ 10.(1)解 延长 AD 到 G,使AD= AG, 2 连接 BG,CG,得到?ABGC, → 所以AG=a+b, → 1→ 1 AD= AG= (a+b), 2 2 → 2→ 1 AE= AD= (a+b), 3 3 → 1→ 1 AF= AC= b, 2 2 1 → → → 1 BE=AE-AB= (a+b)-a= (b-2a). 3 3 1 → → → 1 BF=AF-AB= b-a= (b-2a). 2 2 → 2→ (2)证明 由(1)可知BE= BF, 3 → → 又因为BE,BF有公共点 B,所以 B,E,F 三点共线. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 11.答案 B → → → 解析 因为 2OP=2OA+BA, → → 所以 2AP=BA, 所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上,故选 B. 12.答案 D 解析 连接 CD,由点 C,D 是半圆弧的三等分点, → 1→ 1 得 CD∥AB 且CD= AB= a, 2 2
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1 → → → 所以AD=AC+CD=b+ a. 2 13.答案 B → → → → → → → → → 解析 ∵G 是△ABC 的重心, ∴GA+GB+GC=0, GA=-(GB+GC), 将其代入 sin A· GA+sin B· GB+sin C· GC → → =0,得(sin B-sin A)GB+(sin C-sin A)GC=0. → → 又GB,GC不共线, ∴sin B-sin A=0,sin C-sin A=0, 则 sin B=sin A=sin C. 根据正弦定理知 b=a=c, ∴三角形 ABC 是等边三角形,则角 B=60° .故选 B. 14.答案 2 → 1 → → 解析 ∵O 是 BC 的中点,∴AO= (AB+AC). 2 → → → → → m → n→ 又∵AB=mAM,AC=nAN,∴AO= AM+ AN. 2 2 m n ∵M,O,N 三点共线,∴ + =1.则 m+n=2. 2 2 15.证明 (1)若 m+n=1, → → → → → → 则OP=mOA+(1-m)OB=OB+m(OA-OB), → → → → ∴OP-OB=m(OA-OB), → → → → 即BP=mBA,∴BP与BA共线. → → 又∵BP与BA有公共点 B,则 A,P,B 三点共线. → → (2)若 A,P,B 三点共线,则存在实数 λ,使BP=λBA, → → → → ∴OP-OB=λ(OA-OB). → → → 又OP=mOA+nOB. → → → → 故有 mOA+(n-1)OB=λOA-λOB, → → 即(m-λ)OA+(n+λ-1)OB=0. → → ∵O,A,B 不共线,∴OA,OB不共线,
?m-λ=0, ? ∴? ∴m+n=1. ?n+λ-1=0, ?

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