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1-3-2函数的奇偶性精品教案

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1.下列函数中,偶函数是( A.f(x)=|x+1| C.f(x)=x3

) B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=|x-1|+|x+1|

解析:由偶函数定义知 f(x)=|x-1|+|x+1|是偶函数. 答案:D x 2.函数 f(x)= 的图象( 1+|x| A.关于 y 轴对称 C.关于 y=x 对称 ) B.关于原点对称 D

.关于 y=-x 对称

-x -x 解析:f(-x)= = =-f(x),所以 f(x)是奇函数,图象关于原点对称. 1+|-x| 1+|x| 答案:B 3.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( A.(-∞,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) ) B.(2,+∞) D.(-2,2)

解析:遇到以偶函数为背景的此类题目,画出不含坐标轴的二次函数简图.若 f(x)在 (-∞,0]上递减,则开口向上,若 f(x)在(-∞,0]上递增,则开口向下.如图所示:

易得 f(x)<0 时 x 的范围是(-2,2). 答案:D 4.已知 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=x(1-x),则 x<0 时,f(x)等于( A.-x(1+x) C.-x(1-x) 解析:设 x<0,则-x>0, ∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)(1+x)]=x(1+x). 答案:B B.x(1+x) D.x(1-x) )

题组一(基础巩固) 1.若奇函数 f(x)在区间[3,7]上的最小值是 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上有( A.最小值 5 C.最大值-5 解析:当 3≤x≤7 时,f(x)≥5, 设-7≤x≤-3,则 3≤-x≤7,又∵f(x)是奇函数. ∴f(x)=-f(-x)≤-5. 答案:C 1 2.y=x+ 的大致图象是( x ) B.最小值-5 D.最大值 5 )

1 1 1 解析:设 f(x)=x+ ,则 f(-x)=(-x)+ =-(x+ )=-f(x) x x -x ∴f(x)是奇函数,图象关于原点对称. 1 1 又 x>0 时,x>0, >0,∴f(x)=x+ >0. x x 答案:B 3.f(x)=|x-1|+|x+1|是( A.奇函数 C.非奇非偶函数 ) B.偶函数 D.既奇又偶函数

解析:函数定义域为 x∈R,关于原点对称. ∵f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x) ∴f(x)=|x-1|+|x+1|是偶函数. 答案:B 4. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数. 当 x≥0 时, f(x)=2x+2x+b(b 为常数), 则 f(-1)=( A.3 C.-1 B .1 D.-3 )

解析:因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以有 f(0)=20+2×0+b=0,解得 b=-1,

所以当 x≥0 时,f(x)=2x+2x-1,所以 f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3. 答案:D 5.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,则 x<0 时,f(x)的解 析式为________. 解析:设 x<0,则-x>0,∵f(x)是奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-4(-x)]=-(x2+4x)=-x2-4x. 答案:f(x)=-x2-4x 6.已知 f(x)是奇函数,F(x)=x2+f(x),f(2)=4,则 F(-2)=________. 解析:∵f(x)是奇函数且 f(2)=4,∴f(-2)=-f(2)=-4. ∴F(-2)=f(-2)+(-2)2=-4+4=0. 答案:0 7. 已知函数 f(x)和 g(x)满足 f(x)=2g(x)+1, 且 g(x)为 R 上的奇函数, f(-1)=8, 求 f(1). 解析:∵f(-1)=2g(-1)+1=8, 7 ∴g(-1)= , 2 又∵g(x)为奇函数, ∴g(-1)=-g(1). 7 ∴g(1)=-g(-1)=- , 2 7 - ?+1=-6. ∴f(1)=2g(1)+1=2×? ? 2? 8.函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明. 解析:(1)令 x1=x2=1, 有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数,证明如下: 令 x1=x2=-1, 有 f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), 所以 f(-x)=f(x).所以 f(x)为偶函数. 题组二(能力提升) 4-x2 9.函数 f(x)= 是( |x+2|-2 A.奇函数 ) B.偶函数

C.非奇非偶函数
2 ? ?4-x ≥0, 解析:∵? ?|x+2|-2≠0, ?

D.既奇又偶

∴f(x)的定义域为 x∈[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 4-x2 4-x2 此时 f(x)= = . x |x+2|-2 又 f(-x)= 4-?-x?2 4-x2 =- =-f(x), x -x

4-x2 ∴f(x)= 为奇函数. |x+2|-2 答案:A 1? 10.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增的,则满足 f(2x-1)<f? ?3?的 x 的取值 范围是( ) 1 2? B.? ?3,3? 1 2? D.? ?2,3?

1 2? A.? ?3,3? 1 2? C.? ?2,3? 解析:∵f(x)在[0,+∞)上是单调递增, ∴f(x)在(-∞,0)上单调递减, 1 1 ∴- <2x-1< , 3 3 1 2 解得 <x< . 3 3 答案:A

11.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7) =________. 解析:f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1), 又∵f(x)是 R 上的奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2, ∴f(-1)=-f(1)=-2. ∴f(7)=f(-1)=-2. 答案:-2 ax+b 1 2 12.函数 f(x)= 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f( )= . 2 5 1+x2 (1)确定函数 f(x)的解析式; (2)用定义证明 f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解不等式 f(t-1)+f(t)<0.

f?0?=0 ? ? 解析:(1)根据题意得? 1 2 , ? ?f?2?=5 =0 1+0 ? ? 即?a+b 2 2 = 1 ? ?1+4 5
2

a×0+b

? ?a=1 x ,解得? ,∴f(x)= . 1 + x2 ?b=0 ?

(2)证明:任取-1<x1<x2<1, x1 x2 f(x1)-f(x2)= 2- 1+x1 1+x2 2 = ?x1-x2??1-x1x2? 2 . ?1+x2 1??1+x2?

∵-1<x1<x2<1,
2 ∴x1-x2<0,1+x2 1>0,1+x2>0.

又∵-1<x1x2<1,∴1-x1x2>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-1,1)上是增函数. (3)f(t-1)<-f(t)=f(-t). ∵f(x)在(-1,1)上是增函数, 1 ∴-1<t-1<-t<1,解得 0<t< . 2 1 ∴不等式的解集为(0, ). 2 题组三(探究拓展) 13.已知 f(x)为奇函数,且当 x<0 时 f(x)=x2+3x+2.若当 x∈[1,3]时,n≤f(x)≤m 恒成 立,求 m-n 的最小值. 3?2 1 解析:∵x<0 时,f(x)=x2+3x+2=? ?x+2? -4, ∴当 x∈[-3,-1]时, 3? 1 f(x)min=f? ?-2?=-4, f(x)max=f(-3)=2. 由于函数为奇函数, 1 ∴函数在 x∈[1,3]时的最小值和最大值分别是-2, , 4 1 ∴m 的最小值为 ,n 的最大值为-2. 4

1 9 ∴(m-n)min= -(-2)= . 4 4 9 即 m-n 的最小值为 . 4


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