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2015年浙江省高考数学试卷及答案(文科)

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(文科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题部分 4 至 5 页。 满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规 定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 台体的体积公式

1 V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下面积, h 表示台体的高 柱体体积公式 V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V ? 球的表面积公式

1 Sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 3

S ? 4? R2
球的体积公式

4 V ? ? R3 3 其中 R 表示球的半径
如果事件 A, B 互斥 ,那么

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

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一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 1、已知集合 ? ? x x 2 ? 2 x ? 3 , Q ? ? x 2 ? x ? 4? ,则 ? ? Q ? ( A. ?3, 4 ? B. ? 2,3? C. ? ?1, 2? D. ? ?1,3? )

?

?



2、某几何体的三视图如图所示(单位: cm ) ,则该几何体的体积是( A. 8 cm3 C. B. 12 cm3

40 32 cm3 cm3 D. 3 3 3、设 a , b 是实数,则“ a ? b ? 0 ”是“ ab ? 0 ”的(



A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4、设 ? , ? 是两个不同的平面, l , m 是两条不同的直线,且 l ? ? , m ? ? ( A.若 l ? ? ,则 ? ? ? C.若 l //? ,则 ? //? B.若 ? ? ? ,则 l ? m D.若 ? //? ,则 l //m )

1? ? 5、函数 f ? x ? ? ? x ? ? cos x ( ?? ? x ? ? 且 x ? 0 )的图象可能为( x? ?

6、 有三个房间需要粉刷, 粉刷方案要求: 每个房间只用一种颜色, 且三个房间颜色各不相同. 已 知三个房间的粉刷面积(单位: m 2 )分别为 x , y , z ,且 x ? y ? z ,三种颜色涂料的粉刷 费用(单位:元/ m 2 )分别为 a , b , c ,且 a ? b ? c .在不同的方案中,最低的总费用(单 位:元)是( A. ax ? by ? cz ) B. az ? by ? cx C. ay ? bz ? cx D. ay ? bx ? cz

7、 如图, 斜线段 ?? 与平面 ? 所成的角为 60? ,? 为斜足, 平面 ? 上的动点 ? 满足 ???? ? 30? , 则点 ? 的轨迹是( A.直线 C.椭圆 ) B.抛物线 D.双曲线的一支
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8、设实数 a , b , t 满足 a ?1 ? sin b ? t ( A.若 t 确定,则 b2 唯一确定

) B.若 t 确定,则 a 2 ? 2a 唯一确定

b C.若 t 确定,则 sin 唯一确定 D.若 t 确定,则 a 2 ? a 唯一确定 2 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. )

9、计算: log 2

2 ? 2

, 2log2 3?log4 3 ?



10 、已知 ?an ? 是等差数列,公差 d 不为零.若 a2 , a3 , a7 成等比数列,且 2a1 ? a2 ? 1 ,则

a1 ?

,d ?

. ,最小值是 , f ? x ? 的最小值是 .

11、函数 f ? x ? ? sin2 x ? sin x cos x ?1 的最小正周期是

? x2 , x ? 1 ? 12、 已知函数 f ? x ? ? ? 6 , 则f? ? f ? ?2 ? ? ?? ? x ? ? 6, x ? 1 x ?



? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 13 、 已 知 e1 , e2 是 平 面 单 位 向 量 , 且 e1 ? e2 ? . 若 平 面 向 量 b 满 足 b ? e1 ? b ? e2 ? 1 , 则 2 ? b ? .
14、已知实数 x , y 满足 x2 ? y 2 ? 1,则 2x ? y ? 4 ? 6 ? x ? 3y 的最大值是 15、椭圆 .

b x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点 F ? c, 0? 关于直线 y ? x 的对称点 Q 在椭圆上,则 2 c a b

椭圆的离心率是 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) ? 16.(本题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知 tan( ? A) ? 2 . 4 sin 2 A (1)求 的值; sin 2 A + cos 2 A ? (2)若 B ? , a ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 4

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17.(本题满分 15 分)已知数列 {an } 和 {bn } 满足, a1 ? 2, b1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N* ),

1 1 1 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) . 2 3 n
(1)求 an 与 bn ; (2)记数列 {anbn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

0 18.(本题满分 15 分)如图,在三棱锥 ABC - A 1B 1C1 中, ? ABC=90 ,AB=AC

2, AA1 = 4, A1 在底面

ABC 的射影为 BC 的中点,D 为 B1C1 的中点. (1)证明: A1D ? 平面A1BC ; (2)求直线 A1B 和平面 BB1CC1 所成的角的正弦值.

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19.(本题满分 15 分)如图,已知抛物线 C1:y=

1 2 x ,圆 C2:x2 + (y- 1)2 = 1 ,过点 P(t,0)(t>0) 作不过 4

原点 O 的直线 PA,PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切,A,B 为切点. (1)求点 A,B 的坐标; (2)求 ?PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点, 且与抛物线的对称轴不平行,则该直线 与抛物线相切,称该公共点为切点.

20.(本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b,(a, b ? R) . (1)当 b =

a2 +1 时,求函数 f ( x) 在 [- 1,1] 上的最小值 g (a) 的表达式; 4

(2)已知函数 f ( x ) 在 [- 1,1] 上存在零点, 0 ? b ? 2a ? 1 ,求 b 的取值范围.

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)

数学(文科)参考答案
一、 选择题 1. A 二、 填空题 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B

1 ? ,3 3 9. 2

2 , ?1 10. 3

?,
11.

3? 2 2

1 ? ;2 6 ? 6 12. 2

2 3 13. 3

14.15 三、解答题

2 15. 2

2 16. 【答案】(1) 5 ;(2)9
(1)利用两角和与差的正切公式,得到 tan A ?

1 ,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论; 3

(2)利用正弦原理得到边 b 的值,根据三角形,两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积 试题解析: (1)由 tan ?

1 ?? ? ? A ? ? 2, 得 tan A ? , 3 ?4 ?

sin 2 A
所以 sin 2 A ? cos2 A

?

2sin A cos A 2 tan A 2 ? ? 2 2sin A cos A ? cos A 2 tan A ? 1 5

(2) 由 tan A ?

1 10 3 10 可得,sin A ? . ;cos A ? 3 10 10

a ? 3, B ?

?
4

, 由正弦定理知:b=3 5

又 sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ?

2 5 , 5

所以 S? ABC =

1 1 2 5 ab sin C ? ×3×3 5 × =9 2 2 5

17. 【答案】(1)

an ? 2n ; bn ? n ;(2) Tn ? (n ?1)2n?1 ? 2(n ? N * )
n

(1)由 a1 ? 2, an?1 ? 2an , 得 an ? 2 .
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当 n=1 时, b1 ? b2 ? 1, 故 b2 ? 2 当 n ? 2 时,

1 b n ?1 bn ? bn ?1 ? bn , 整理得 n ?1 ? , 所以 bn ? n n bn n

(2)由(1)知, anbn ? n? 2n 所以 Tn ? 2 ? 2? 22 ? 3? 23 ???? ? n? 2n

2Tn ? 22 ? 2?23 ? 2?2 ? ??? ? ? n ? 1??2n ? n?2n ?1
4

所以 Tn ? ? n ?1? 2n?1 ? 2

7 18. 【答案】(1)略;(2) 8
(1)设 E 为 BC 中点,由题意得 A1E ? 平面ABC,所以 A1E ? AE. 因为 AB ? AC , 所以 AE ? BC 所以 AE ? 平面 A 1BC 由 D,E 分别为 B1C1.BC 的中点,得 DE / / BB1 , 从而 DE// AA1 且 DE= A A 1 所以 AA1 DE 是平行四边形,所以 A1D / / AE

A BC, 所以 A1D ? 平面 A1BC 因为 AE ? 平面 1
(2)作

A1F ? DE ,垂足为 F,连结 BF.

A BC ,所以 BC ? A1E . 因为 AE ? 平面 1

AA DE . 因为 BC ? AE ,所以 BC ? 平面 1
所以 所以

BC ? A1F , A1F ? 平面 BB1C1C . ?A1BF 为直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的平面角.
?

由 AB ? AC ? 2, ?CAB ? 90 ,得 EA ? EB ? 2 .

A BC ,得 A1 A ? A1B ? 4, A1E ? 14 . 由 AE ? 平面 1
DE ? BB1 ? 4, DA1 ? EA ? 2, ?DA1E ? 90 ,得
?



A1 F ?

7 2 .

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所以

sin ?A1BF ?

7 8

2t 2t 2 t3 A(2t , t 2 ), B( , ) 1 ? t 2 1 ? t 2 ;(2) 2 19. 【答案】(1)
(1)由题意可知,直线 PA 的斜率存在,故可设直线 PA 的方程为

y ? k ? x ? t ?.

? y ? k ? x ?t ? ? y ? 1 x2 2 所以 ? 4 消去 y,整理得: x ? 4kx ? 4kt ? 0
2 因为直线 PA 与抛物线相切,所以 ? ? 16k ? 16kt ? 0 ,解得 k ? t .

所以 x ? 2t ,即点 A(2t , t ) .

2

x0 ? y0 ? ? ? ?1 2t ?2 ? x t ? y C ( x , y ) 由题意知, 0 ?0 设圆 2 的圆心为 D(0,1) , 点 B 的坐标为 0 0 , 点 B,O 关于直线 PD 对称, 故有 ? 0 ,

解得

x0 ?

2t 2t 2 2t 2t 2 , y ? B ( , ) 0 1? t2 1 ? t 2 .即点 1 ? t 2 1 ? t 2 .
AP ? t 1 ? t 2
2

(2)由(1)知,



直线 AP 的方程为 tx ? y ? t ? 0 ,

d?
所以点 B 到直线 PA 的距离为

t2 1? t 2 .

所以 ?PAB 的面积为

S?

1 t3 AP ? d ? 2 2.

? a2 ? 4 ? a ? 2, a ? ?2, ? ? g (a) ? ? 1, ?2 ? a ? 2, ? a2 ? ? a ? 2, a ? 2 ? ? 4 20. 【答案】(1) ;(2) [?3,9 ? 4 5]

a a2 a? ? ? 1 时, f ? x ? ? ? x ? ? ? 1, 故其对称轴为 x ? ? (1) 当 b ? 2 4 2? ?

2

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a2 当 a ? ?2 时, g ? a ? ? f ?1? ? ?a?2 4
当-2< a ? 2 时,g ? a ? ? f ? ?

? a? ? ?1 ? 2?
a2 ?a?2 4

当 a >2 时,g ? a ? ? f ? ?1? ?

? a2 ? 4 ? a ? 2, a ? ?2, ? ? g (a) ? ? 1, ?2 ? a ? 2, ? a2 ? ? a ? 2, a ? 2 ? ? 4 综上所述,

(2)设 s,t 为方程 f ? x ? ? 0 的解,且-1 ? t ? 1 ,则 由于 0 ? b ? 2a ? 1 ,因此

?

s ? t ?? a st ? b

?2t 1 ? 2t ?s? ? ?1 ? t ? 1? t?2 t?2

?2t 2 t ? 2t 2 ?b? . 当 0 ? t ? 1 时, t?2 t?2
由于 ? 所以 ?

2 ?2t 2 1 t ? 2t 2 ? ? 0 和? ? ? 9 ? 4 5. 3 t?2 3 t ? 2t
2 ?b ?9?4 5 3

当-1 ? t ? 0,

t ? 2t 2 ?2t 2 ?b? t?2 t?2

由于 ?2 ?

?2t 2 t ? t2 <0 和 ?3 ? <0,所以-3 ? b <0. t?2 t?2
? ?

综上可知,b 的取值范围 是 ? ?3,9 ? 4 5 ?

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