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2011接高考数学专题复习之数列例题经典解析


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3.1 数列的概念

【知识网络】

定义 求通项 数列的表示 分类 等差数列 前 n 项和公式 特殊数列 等比数列 性质 特殊数列求和 应用

数列的概念

定义 通项公式

数列

【考点透视


一、考纲指要 1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义. 二、命题落点 1.能合理地由数列前几项写出通项公式;如例 1,例 3; 2.掌握 n 项和 Sn 与通项 an 的重要关系: an ? ?

n ? 1, ? S1 , 如例 2,练习 5. ? S n ? S n ?1 , n ? 2.

【典例精析】
例 1. (2005?湖南)已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =(
3 2



A.0

B. ? 3

C. 3

D.

解析:由 a1=0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N ? ). 得 a2=- 3, a3 ? 3, a4 ? 0,? ? ? ? ? ?

由此可知: 数列{an}是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20=a2=- 3. 答案:B.

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1 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1

例 2:(2005?上海)用 n 个不同的实数 a1 , a2 ,?, an 可得到 n! 个不同 列 为 一 行 写 成 一 个 n! 行 的 数 阵 。 对 第 i 行 ai1 , ai 2 ,?, ain , 记

的排列,每个排

2 2

bi ? ?ai1 ? 2ai 2 ? 3ai 3 ? .... ? (?1) nain , i ? 1,2,3,?, n! .例如:用 1,
n

3 3

2,3 可得数阵如

图 , 由 于 此 数 阵 中 每 一 列 各 数 之 和 都 是 12 , 所 以 ,

b1 ? b2 ? ? ? b6 ? ?12 ? 2 ?12 ? 3 ?12 ? ?24 , 那 么 , 在 用 1 , 2 , 3 , 4 , 5 形 成 的 数 阵 中 , b1 ? b2 ? ? ? b120 =________.
解析:在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中,每一列各数之和都是 360,

b1 ? b2 ? ? ? b120 ? ?360? 2 ? 360? 3 ? 360? 4 ? 360? 5 ? 360 ? ?1080
答案: ?1080 . 例 3.(2005?湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生 能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量,n∈N*,且 x1>0.不考虑其它因 素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 xn2 成正比,这些比例系数依次为正常 数 a,b,C. (1)求 xn+1 与 xn 的关系式; (2)猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明) (3)设 a=2,b=1,为保证对任意 x1∈(0,2) ,都有 xn>0,n∈N*,则捕捞强度 b 的 最大允许值是多少?证明你的结论. 解析: (1)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为
2 2 cxn ,因此xn?1 ? xn ? axn ? bxn ? cxn , n ? N * .(*)

即xn?1 ? xn (a ? b ? 1 ? cxn ), n ? N * .(**)
(2)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*)式得

x n (a ? b ? cx n )恒等于 0, n ? N *, 所以 a ? b ? cx1 ? 0.即x1 ?
因为 x1>0,所以 a>B. 猜测:当且仅当 a>b,且 x1 ?

a ?b . c

a?b 时,每年年初鱼群的总量保持不变. c

(3) 若 b 的值使得 xn>0, n∈N*. 由 xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知 0<xn<3-b, n∈N*, 特别地, 有 0<x1<3 -B. 即 0<b<3-x1. 而 x1∈(0, 2),所以 b ? (0,1] ,由此猜测 b 的最大允许值是 1. 下证 当 x1∈(0, 2) , b=1 时,都有 xn∈(0, 2), n∈N*. ①当 n=1 时,结论显然成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0, 2), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0. 又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2, 所以 xk+1∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 xn∈(0,2). 综上所述,为保证对任意 x1∈(0, 2), 都有 xn>0, n∈ N*,则捕捞强度 b 的最大允许值是 1.

【常见误区】

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1.第 n 项 an 与项数 n 之间的对应关系搞错; 2.不能正确地应用前 n 和公式来求通项公式.

【基础演练】
1.已知数列 ?an ? 满足 a0 ? 1, an ? a0 ? a1 ? A. 2
n

? an?1 ? n ? 1? ,则当 n ? 1 时, an ? (
C. 2
n ?1



B.

1 n ? n ? 1? 2

D. 2 ? 1
n

2.将 n2 个正数 1,2,3,??,n2 填入 n×n 方格中, 8 1 6 使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等, 这个正方形就叫做 n 阶幻方,记 f(n)为 n 阶幻 3 5 7 方对角线的和,如右图就是一个 3 阶幻方,可 4 9 2 知 f(3)=15,则 f(4)=( ) A.32 B.33 C.34 D.35 3.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍) : 第1行 第2行 第3行 ? 1 2 4 ? ( C.259 D.260 ) 3 5 6 7

则第 9 行中的第 4 个数是 A.132 B.255

4.如果 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 且 f (1) ? 2 ,则

f (2) f (4) f (6) f (2006 ) ? ? ??? ? f (1) f (3) f (5) f (2005 )
( ) D.1003

A.2006

B.2005

C.2004
n

5.(2004?江苏) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=

a1 (3 ? 1) (对于所有 n≥1),且 a4 ? 54 ,则 2

a1 的数值是____________.
6.已知数列 ?an ? , an ? 值为 .

1 n ? n ?1

? n ? N? ? 且数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 9 ,那么 n 的

?x ? 0 ? 7.设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 Dn,记 Dn 内的整点个数 an (n ? N *).(整 ? y ? ? nx ? 3n ?
点即横坐标和纵坐标均为整数的点) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 Tn ?

Sn .若对于一切的正整数 n,总有 Tn ? m ,求实数 m 3 ? 2 n ?1

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的取值范围. 8. (2002?上海)已知函数 f(x)=abx 的图象过点 A(4,

1 )和 B(5,1) 4

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)记 an=log2f(n) ,n 是正整数,Sn 是数列{an}的前 n 项和,解关于 n 的不等式 anSn ≤0; (3)对于(2)中的 an 与 Sn,整数 96 是否为数列{anSn}中的项?若是,则求出相应的项数;若不是, 则说明理由. 9. (2002?上海春)某公司全年的纯利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工.奖金分 配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小.由 1 至 n 排序,第 1 位职工得奖金

b 元,然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工,按此方法将奖金逐一发给 a

每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金. (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金额,试求 a2、a3,并用 k、n 和 b 表示 ak; (不必证明) (2)证明 ak>ak+1(k=1,2,?,n-1) ,并解释此不等式关于分配原则的实际意义; (3)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b) .对常数 b,当 n 变化时,求 lim Pn(b) .
n??

3.2 等差数列的通项与前 n 项的和
【考点透视】
一、考纲指要 1.理解等差数列的概念; 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际问题. 二、命题落点 1.考查等差数列的概念、通项公式,即等差数列性质的灵活运用;如例 1,例 2; 2.考查等差数列的前 n 项和公式及其性质.如例 3.

【典例精析】
例 1: (2005?湖南)已知数列 {log2 (an ? 1)}n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明

1 1 1 ? ??? ? 1. a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an

解析: (1) 设等差数列 {log2 (an ? 1)}的公差为 D. 由 a1 ? 3, a3 ? 9得2(log2 2 ? d ) ? log2 2 ? log2 8, 即 d=1. 所以 log2 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1)? ? n, 即 an ? 2 n ? 1. (2)因为

1 1 1 ? n?1 ? n ,所以 n an?1 ? an a ? 2 2

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1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 2 ? 3 ??? n a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an 2 2 2 2

1 1 1 ? n? 2 ? 1 ? 1 ? 1. 2 ? 2 1 2n 1? 2
例 2: (2005?江苏)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,a2=6,a3=11,且 其中 A,B 为常数. (5n ? 8)Sn?1 ? (5n ? 2)Sn ? An ? B, n ? 1, 2,3,?, (1)求 A 与 B 的值; (2)证明数列{an}为等差数列; (3)证明不等式 5amn ? am an ? 1 对任何正整数 m、n 都成立. 解析: (1)由已知,得 S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18. 由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B 知

?? 3S 2 ? 7 S1 ? A ? B, ? A ? B ? ?28. 即? ? ?2S 3 ? 12S 2 ? 2 A ? B, ?2 A ? B ? ?48.
解得 A=-20, B=-8。 (2) 由(1)得, (5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8, ① 所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, ② ②-①,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, ③ 所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④ ④-③,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0. 因为 an+1=Sn+1-Sn 所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0. 又因为 (5n+2) ? 0 , 所以 an+3-2an+2+an+1=0, 即 an+3-an+2=an+2-an+1, n ? 1 . 又 a3-a2=a2-a1=5, 所以数列 {an } 为等差数列. (3)由(2)可知,an=1+5(n-1)=5n-4. 要证了

5amn ? am an ? 1,

只要证 5amn>1+aman+2 a m a n ,因为 amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证 5(5mn-4)>1+25mn-20(m+n)+16+2 am an , 因为 2 am an ? am ? an ? 5m ? 5n ? 8 ? 5m ? 5n ? 8 ? (15m ? 15n ? 29) =20m+20n-37,所以命题得证. 例 3: (2005?上海)假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计 在今后的若干年后,该市每年新建住房面积平均比上年增长 8%.另外,每年新建住房中,中底价房的面 积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底 (1) 该市历年所建中低价房的累计面积 (以 2004 年为累计的第一年) 将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%?

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解析: (1)设中低价房面积形成数列 ?an ? ,由题意可知 ?an ? 是等差数列, 其中 a1=250,d=50,则 S n ? 250 n ? 令 25n 2 ? 225n ? 4750 ,

n(n ? 1) ? 50 ? 25n 2 ? 225 n, 2

即 n 2 ? 9n ? 190 ? 0, 而n是正整数 ,? n ? 10.

∴到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列, 其中 b1=400,q=1.08,则 bn=400·(1.08)n
- -1

由题意可知 an ? 0.85bn ,

有 250+(n-1)50>400 ·(1.08)n 1 ·0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6, ∴到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.

【常见误区】
1.容易把等差数列的项数搞错,导致解题错误; 2.不能灵活运用两个求和公式及其相应的性质解题.

【基础演练】
1. (2006?陕西)"等式 sin(α +γ )=sin2β 成立"是"α 、β 、γ 成等差数列"的 A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 ( )

2. (2005?山东) {an } 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列,如果 an ? 2005 ,则序号 n 等 于 A.667 B.668 C.669 D.670 ( )

3. (2004?福建)设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 A.1 B.-1 C.2

a5 5 S ? ,则 9 ? a3 9 S5
D. 1
2





4.( 2004?重庆) 若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是 A.4005 B.4006
x

( C.4007 D.4008



5. (2003?上海)设 f(x)=

1 .利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可 2 ? 2


求得 f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)的值为_____. 6. (2001?上海)设数列{an}的通项为 an=2n-7(n∈N*) ,则|a1|+|a2|+?+|a15|= 7. (2004?全国 1) 等差数列{ an }的前 n 项和记为 Sn. 已知 a10 ? 30, a20 ? 50. (1)求通项 an ; (2)若 Sn=242,求 n.

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8.( 2004?全国 3 )设数列 {an } 是公差不为零的等差数列,Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且

S12 ? 9S 2 , S 4 ? 4S 2 ,求数列 {an } 的通项公式.
9. (2001?全国)已知等差数列前三项为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,Sk=2550. (1)求 a 及 k 的值; (2)求 lim (
n ??

1 1 1 ? ??? ). S1 S 2 Sn

3.3 等比数列的通项与前 n 项的和
【考点透视】
一、考纲指要 1.理解等比数列的概念; 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际问题. 二、命题落点 1.考查等比数列的概念、通项公式,即等比数列性质的灵活运用;如例 1,例 3; 2.考查等比数列的前 n 项和公式及其性质.例 2.

【典例精析】
例 1: (2005?山东)21 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 5 ,前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? 2Sn ? n ? 5( n ? N ) (1)证明数列 {an ? 1} 是等比数列; (2)令 f ( x) ? a1 x ? a2 x2 ?
?

an xn ,求函数 f ( x) 在点 x ? 1 处的导数 f ?(1) .

解析: (1)由已知 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) ,可得 n ? 2, Sn ? 2Sn?1 ? n ? 4 两式相减得

Sn?1 ? Sn ? 2? Sn ? Sn?1 ? ?1 ,即 an?1 ? 2an ? 1

王新敞
奎屯

新疆

从而 an?1 ?1 ? 2 ? an ?1?
王新敞
奎屯 新疆

当 n ? 1 时, S2 ? 2S1 ? 1 ? 5 ,所以 a2 ? a1 ? 2a1 ? 6 又 a1 ? 5 所以 a2 ? 11 ,从而 a2 ?1 ? 2 ? a1 ?1? 有 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , n ? N .又 a1 ? 5, a1 ? 1 ? 0 ,从而
*

王新敞
奎屯

新疆

故总

an?1 ? 1 ? 2 ,即数列 ?an ?1? 是以 ? a1 ?1? ? 6 为 an ? 1

首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1)知 an ? 3? 2 ?1 .因为 f ( x) ? a1x ? a2 x ?
n 2

? an xn

所以 f ?( x) ? a1 ? 2a2 x ? 从而 f ?(1) ? a1 ? 2a2 ?
2 =3 2 ? 2? 2 ?

? nan xn?1 ,
? nan = ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 ? 3 ? 22 ? 1? ?
? n(3 ? 2 n ? 1)

?

? n ? 2n ? - ?1 ? 2 ?

? n ? = 3 ? n ? 1? ? 2n?1 ?

n(n ? 1) ?6 . 2

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例 2:(2005?天津)若公比为 c 的等比数列 {an } 的首项 a1 ? 1 且满足 an ? (1)求 c 的值; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和 Sn . 解析:(1)由题设,当 n ? 3 时, an ? c2an?2 , an?1 ? can?2 , a n ? 由题设条件可得 an?2 ? 0 ,因此 c ?
2

an ?1 ? an ?3 (n ? 3, 4, ) . 2

a n ?1 ? a n ? 2 1 ? c ? a n?2 , 2 2
1 2
王新敞
奎屯 新疆

1? c 2 ,即 2c ? c ? 1 ? 0 2

王新敞
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解得 c=1 或 c ? ?

(2)由(1),需要分两种情况讨论,当 c=1 时,数列 {an } 是一个常数列,即 an ? 1 (n?N*) 这时,数列 {nan } 的前 n 项和 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

王新敞
奎屯

新疆

n(n ? 1) 2

王新敞
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当c ? ?

1 时,数列 {an } 是一个公比为 2

1 1 n ?1 的等比数列,即 a n ? (? ) (n?N*) 这时,数列 {nan } 的前 n 项和 2 2 1 1 1 S n ? 1 ? 2(? ) ? 3(? ) 2 ? ? ? n(? ) n ?1 ① 2 2 2 1 ①式两边同乘 ? ,得 2 1 1 1 1 1 ? S n ? ? ? 2(? ) 2 ? ? ? (n ? 1)( ? ) n ?1 ? n(? ) n 2 2 2 2 2 ?
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奎屯 新疆



①式减去②式,得

1 1 ? (? ) n 1 1 1 1 1 2 ? n( ? 1 ) n , (1 ? ) S n ? 1 ? (? ) ? (? ) 2 ? ? ? (? ) n ?1 ? n(? ) n ? 1 2 2 2 2 2 2 1? 2 1 n 3n ? 2 ] (n?N*) 所以 S n ? [4 ? ( ?1) n ?1 9 2
王新敞
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?1 a , ? 1 ?2 n 例 3:(2005?北京)设数列 {a n }的首项a1 ? a ? , 且a n ?1 ? ? 4 ?a ? 1 , n ? 4 ?
1 记 bn ? a 2 n ?1 ? , n ? 1,2,3,?. 4

n为偶数, n为奇数.

(1)求 a2,a3; (2)判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论; (3)求 lim(b1 ? b2 ? ? ? bn ).
n ??

1 1 1 1 1 ? a ? , a3 ? a2 ? a ? . 4 4 2 2 8 1 1 3 1 1 3 (2)因为 a4 ? a3 ? ? a ? ,所以 a5 ? a4 ? a ? . 4 2 8 2 4 16
解析: (1)显然

a2 ? a1 ?

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1 1 1 1 1 1 1 1 ? a ? ? 0, b2 ? a3 ? ? (a ? ), b3 ? a5 ? ? (a ? ). 4 4 4 2 4 4 4 4 1 猜想: {bn } 是公比为 的等比数列. 证明如下: 2
所以 b1 ? b1 ? a1 ? 因为

bn ?1 ? a2 n ?1 ?   

1 1 1 1? 1 ? 1 1? 1? 1 ? ? a 2n ? ? ? a 2n? 1 ? ? ? ? ? a 2n? 1 ? ? ? bn? n ?N ? , 所以 {bn} 是首项为 4 2 4 2? 4? 4 2? 4? 2

1 1 a ? ,公比为 的等比数列. 4 2
(3) lim(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? lim
x ?? x ??

b1 (1 ?

1 ) 2n ? b1 ? 2(a ? 1 ). 1 1 4 1? 1? 2 2

【常见误区】
? na1 (q ? 1) ? 1.不能完整理解等比数列 ?an ? 的前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) ,忽视 q ? 1 的情形. ? 1 ? q (q ? 1) ?
2.要掌握以下几种情形的极限的求法.①利用 lim 论的背景转化方法.如 q ? 1 时转化为
n ??

1 ? 0 ②利用 lim q n ? 0 ( q ? 1 )③要掌握分类讨 n ?? n

1 ? 1. q

【基础演练】
1. (2005?江苏)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4 +a5= ( ) A.33 B.72 C.84 D.189 2.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则

a1 ? a3 ? a9 的值是( a 2 ? a 4 ? a10
D.不确定



A.

16 13

B.

13 16

C.1

3. (2004?全国卷 3)等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 ,则 ?an ? 的前 4 项和为( A. 81 B. 120 C.168 D. 192 (



4. (2004?浙江)已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a 2 = A. – 4 B. –6 C. –8 D. –10



5. (2004?全国 1)已知等比数列{ an } 中, a3 ? 3, a10 ? 384, 则该数列的通项 an =

.

2 6 . (2004 ?北京 ) 在函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 中,若 a , b , c 成等比数列且 f (0) ? ?4 则 f ( x ) 有最

______________值(填“大”或“小” ) ,且该值为______________.

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7. (2005?浙江)已知实数 a , b, c 成等差数列, a ? 1, b ? 1, c ? 4 成等比数列,且 a ? b ? c ? 15 ,求 a , b, c . 8.(2004?全国 2)已知等差数列{ an }, a2 ? 9, a5 ? 21. (1)求{ an }的通项公式; (2)令 bn ? 2 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn.
a

9. (2005?全国 3)在等差数列 {an } 中,公差 d ? 0, a2是a1与a4 的等差中项. 已知数列 a1 , a3 , ak1 , ak2 ,?, akn ,?成等比数列,求数列 {k n } 的通项 k n .

3.4 数列的的前 n 项的和
【考点透视】
一、考纲指要 1.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际问题. 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际问题. 二、命题落点 1.掌握一般数列求和的方法:化归为等差数列或等比数列、裂项相消法、错位相消法和倒项相加法. 如例 2,例 3; 2.利用通项公式与前 n 项和公式解答数列的综合题、及极限的值.如例 1.

【典例精析】
例 1:已知: un ? an ? an?1b ? a n?2b2 ?

? abn?1 ? bn ? n ? N * , a ? 0, b ? 0? .

(1)当 a = b 时,求数列{ an }的前 n 项和 Sn ; (2)求 lim

un . n ?? u n ?1

解析: (1)当 a ? b 时, un ? ? n ? 1? a n ,它的前 n 项和

Sn ? 2a ? 3a2 ? 4a3 ?
①两边同时乘以 a ,得

? ? n ? 1? an



aSn ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ?
① ? ②,得:

? ? n ? 1? an?1



?1 ? a ? Sn ? 2a ? a2 ? a3 ?
若 a ? 1 ,则: ?1 ? a ? Sn ?

? an ? ? n ? 1? an?1
? ? n ? 1? a n?1 ? a

a ?1 ? a n ? 1? a

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得: Sn ?

a ?1 ? a n ?

?1 ? a ?

2

?

a ? ? n ? 1? a n ?1 1? a

?

? n ? 1? a n? 2 ? ? n ? 2 ? a n?1 ? a 2 ? 2a 2 ?1 ? a ?
n ? n ? 3? 2
n

若 a ? 1 ,则 Sn ? 2 ? 3 ?

? n ? ? n ? 1? ?

(2)当 a ? b 时, lim

? n ? 1? a ? lim a ? n ? 1? ? a un ? n ?? u n ?? na n ?1 n n ?1
?q
n

b 当 a ? b 时,设 q ? ( q ? 1 ) ,则: un ? a n ?1 ? q ? q 2 ? a
此时

??

a n ?1 ? q n?1 ? 1? q

a ?1 ? q n ? un . ? un?1 1 ? q n?1
un 1 ? qn ? a lim ?a; n ?? u n ?? 1 ? q n ?1 n ?1

当 q ? 1 时,即 a ? b 时, lim ? lim
n ??

当 q ? 1 时,即 a ? b 时, lim ? lim
n ?? n ??

un ? lim un ?1 n?? 1 ? q n ?1

a ?1 ? q n ?

1 ?1 qn ? a lim ? aq ? b . n ?? 1 ?1 ? q qn

例 2:(2005?福建)已知{ an }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小, 并说明理由. 解析:(1)由题意得:2a2=a1+a2,即 2a2q2=a1+a1q, ∵a1≠0,∴2q2-q-1=0, ∴q=1 或 q= ?

1 2

n(n ? 1) n 2 ? 3n ?1 ? (2)若 q=1,则 Sn ? 2n ? . 2 2
当 n≥2 时, Sn ? bn ? Sn ?1 ? 若 q= ?

(n ? 1)(n ? 2) ? 0 ,故 Sn ? bn ; 2

1 n(n ? 1) 1 1n 2 ? 9n ? (? ) ? ,则 Sn ? 2n ? , 2 2 2 2
(n ? 1)(n ? 10) , 2

当 n≥2 时, S n ? bn ? S n ?1 ? ?

故对于 n∈N+,当 2≤n≤9 时,Sn>bn;当 n=10 时, Sn=bn;当 n≥11 时, Sn<bn. 例 3: (2005?湖北)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n2,{bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

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(2)设 c n ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn. bn

解析: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2;

当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,
故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2,即 {an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. 设{bn}的通项公式为 q, 则b1 qd ? b1 , d ? 4,? q ?
n ?1 故 bn ? b1 q ? 2 ?

1 . 4 2 4 n ?1 .

1 4
n ?1

, 即{bn }的通项公式为 bn ?

(2)? c n ? a n ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4 n ?1 , 2 bn 4 n ?1

? Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n?1 ], 4Tn ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 3)4 n?1 ? (2n ? 1)4 n ]
两式相减得

3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 42 ? 43 ? 1 ?Tn ? [(6n ? 5)4n ? 5]. 9

1 ? 4n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [(6n ? 5)4 n ? 5], 3

【常见误区】
1.在应用 an ? Sn ? Sn?1 时忽视条件 n ? 2 ; 2.在含字母参数的等比数列求和时,应分 q ? 1 和 q ? 1 两种情况进行讨论. 3.不能正确的裂项,求倒或错位出现问题.

【基础演练】
1. (2005?重庆)有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如 3-4-1 所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各连接中点,已知最底层正方体的棱长为 2,且该塔形 的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39,则 该塔形中正方体的个数至少是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 图 3-4-1 2. (2001?天津)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n ,则{an}是 A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
2







3.等差数列 {an} 的前 n 项和记为 Sn ,若 a2 ? a6 ? a10 为一个确定的常数,则下列各数中也是

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常数的是 A.S6

( B.S11 C.S12 D.S13



4.等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若

S10 31 Sn 等于( ? ,则 lim n?? S 5 32
D.-2



A.

2 3

B.-

2 3

C.2

5.2005?湖北)设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值 为 . 6.(2004?北京) 定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么 这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和. 已知数列 {a n } 是等和数列,且 a1 ? 2 ,公和为 5,那么 a18 的值为______________,且这个数列的前 21 项和 S 21 的值为______________. 7. (2005?辽宁)已知函数 f ( x) ? 足

x?3 ( x ? ?1) .设数列 { a n } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) ,数列 {bn } 满 x ?1

bn ?| an ? 3 | , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N * ) ,
( 3 ? 1) n ; 2 n?1

(1)用数学归纳法证明 bn ?

(2)证明 S n ?

2? 3 . 3
1 (a n ? 1)( n ? N ? ). 3

8.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S n ? (1)求 a1 , a 2 ; (2)求证数列 ?an ? 是等比数列.

9.(2004?全国 4 ) 已知数列{ an }为等比数列, a2 ? 6, a5 ? 162. (1)求数列{ an }的通项公式; (2)设 S n 是数列{ an }的前 n 项和,证明

S n ? S n?2 ? 1. 2 Sn ?1

3.5 递推数列
【考点透视】
一、考纲指要 1.了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.

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二、命题落点 1.由递推关系推到通项公式;如例 3. 2.与函数、不等式、极限等知识点结合考查函数思想、方程思想、转化思想和分类讨论思想.例 1, 例 2.

【典例精析】
例 1: (2005?重庆)数列{an}满足 a1 ? 1且a n ?1 ? (1 ? (1)用数学归纳法证明: an ? 2(n ? 2) ; (2)已知不等式 ln( 1 ? x) ? x对x ? 0成立, 证明: an ? e 2 (n ? 1) ,其中无理数 e=2.71828?. 解析: (1)①当 n=2 时, a 2 ? 2 ? 2 ,不等式成立. ②假设当 n ? k (k ? 2) 时不等式成立,即 ak ? 2(k ? 2), 那么 a k ?1 ? (1 ?

1 1 )a n ? n (n ? 1) . n ?n 2
2

1 1 )a k ? k ? 2 . 这就是说,当 n ? k ? 1 时不等式成立. k (k ? 1) 2

根据(1) 、 (2)可知: ak ? 2对所有n ? 2 成立. (2)由递推公式及(1)的结论有 a n ?1 ? (1 ? 两边取对数并利用已知不等式得 ln a n ?1

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? 2 ? n )a n .(n ? 1) n ?n 2 n ?n 2 1 1 ? ln(1 ? 2 ? n ) ? ln a n n ?n 2
2

? ln a n ?

1 1 ? n. n ?n 2
2

故 ln a n ?1 ? ln a n ?

1 1 ? n n(n ? 1) 2

(n ? 1).

上式从 1 到 n ? 1 求和可得

ln a n ? ln a1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? 2 ? ? ? n?1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 2 n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2. ? 1? ? ( ? ) ??? ? ? ? 1 2 2 3 n ?1 n 2 n 2n 1? 2 1?
即 ln an ? 2, 故an ? e 2

(n ? 1).

例 2: (2005?江西)已知数列 {an } 的各项都是正数 , 且满足 :

a0 ? 1, an ?1 ?

1 an (4 ? an ), n ? N . 2

(1)证明 an ? an?1 ? 2, n ? N ;

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(2)求数列 {an } 的通项公式 an. 解析: (1)用数学归纳法证明: ①当 n=1 时, a 0 ? 1, a1 ? ②假设 n=k 时有 ak ?1

1 3 a 0 (4 ? a0 ) ? , ∴ a0 ? a1 ? 2 ,命题正确. 2 2 1 1 ? ak ? 2. 则 n ? k ? 1时, a k ? a k ?1 ? a k ?1 (4 ? a k ?1 ) ? a k (4 ? a k ) 2 2

1 ? 2(a k ?1 ? a k ) ? (a k ?1 ? a k )(a k ?1 ? a k ) 2 1 ? (a k ?1 ? a k )(4 ? a k ?1 ? a k ). 2
而 ak ?1 ? ak ? 0. 又 a k ?1 ?

4 ? ak ?1 ? ak ? 0,

? ak ? ak ?1 ? 0.

1 1 a k (4 ? a k ) ? [4 ? (a k ? 2) 2 ] ? 2. ∴ n ? k ? 1 时命题正确. 2 2

由①、②知,对一切 n∈N 时有 an ? an?1 ? 2. (2)下面来求数列的通项: a n ?1 ?

1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 所以 2 2

2(an?1 ? 2) ? ?(an ? 2) 2 ,
1 2 1 1 2 2 1 1 1 1? 2??? 2n ?1 2n 22 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn (? bn ? 2 ) ? ? ? ( ) 2 bn bn , ?1 ? ? ?1 ? ? ? ?( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 n ?1 1 n , 即a n ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 . 又 bn=-1,所以 bn ? ?( ) 2 2
例 3 : ( 2005 ? 重 庆 ) 数 列 {an }满足a1 ? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 记

bn ?

1 1 an ? 2

(n ? 1).

(1)求 b1、b2、b3、b4 的值; (2)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {an bn } 的前 n 项和 S n .

? 2; 1 1? 2 7 1 8 3 1 13 20 a2 ? , 故b2 ? ? ; a3 ? , 故b3 ? ? 4; a4 ? , 故b4 ? . 7 1 3 3 1 8 4 20 3 ? ? 8 2 4 2 4 4 2 8 4 2 (2)因 (b1 ? )( b3 ? ) ? ? ? ( ) , 3 3 3 3 3 4 2 4 2 4 4 4 (b2 ? ) ? ( ) , (b1 ? )( b3 ? ) ? (b2 ? ) 2 , 3 3 3 3 3

解析: (1) a1 ? 1, 故b1 ?

1

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故猜想 {bn ? }是首项为 矛盾) .

4 3

2 , 公比 q ? 2的等比数列 . 因 an ? 2 , (否则将 an ? 2 代入递推公式会导致 3

故a n ?1 ? 因bn ?1 ?

5 ? 2a (n ? 1). 16 ? 8a n 4 ? 3 1 a n ?1 ? 2 an ? 1 2 1 2 ? ? 4 16 ? 8a n 4 20 ? 16a n ? ? ? , 3 6a n ? 3 3 6a n ? 3

4 2(bn ? ) ? 3
故 | bn ?

8 20 ? 16a n 4 4 ? ? bn ?1 ? , b1 ? ? 0, 3 6a n ? 3 3 3

4 | 确是公比为 q ? 2 的等比数列. 3 1 n 4 4 2 4 1 因b1 ? ? , 故bn ? ? ? 2 n , bn ? ? 2 ? ( n ? 1) 3 3 3 3 3 3

由bn ?

1 得an bn ? bn ? 1, 1 2 an ? 2

1

故S n ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn
1 ? (b1 ? b2 ? 2 1 (1 ? 2n ) 5 1 3 ? bn ) ? n ? ? n ? (2n ? 5n ? 1) . 1? 2 3 3

【常见误区】
1.对递推关系求通项的方法(如解迭代法、累加法、换元转化法、归纳―猜想―证明法等)的积累, 掌握常见的几种递推模型(如

an?1 ? ban ? c; an?1 ? ban ? cr n ; an ?1 ?

an )的转化方法; ban ? c

2.递推数列解答题常常与函数、不等式、几何知识点交汇,综合知识的灵活运用往往影响数列题的 解题成败.

【基础演练】
1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0, an?1 ? an ? 2n, 那么 a2006 的值是 A. 2004 ? 2003 C. 2005
2





B. 2005 ? 2004 D. 2005 ? 2006 ( )

(an?1 ) 2 an 2.若数列{an}满足 a1=5, an+1= (n∈N),则其前 10 项和是 ? 2an 2

A.200 B.150 C.100 D.50 3.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍) : 第1行 第2行 1 2 3

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第3行 ?

4 ?

5

6

7 ( C. 259 D. 260 )

则第 9 行中的第 4 个数是 A. 132 B. 255 4.数列 ?an ? 满足 a1 ?

3 1 1 1 2 , a n ?1 ? a n ? a n ? 1 ,则 m ? ? 的整数部分 ??? 2 a1 a 2 a 2005
( ) B. 1 C. 2 D. 3
n

A.

0

5. (2005?天津)在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 且 an ? 2 ? an ? 1 ? ? ?1? 6.数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ?

?n ? N ? 则 S
*

100

? __________.
.

1 n ? N ? ? ,且 a2 ? 1 ,则此数列前 21 项的和 S21 = ? 2

7.已知正项数列{an}满足 a1=P(0<P<1),且 an ?1 ?

an . 1 ? an

(1)求数列的通项 an; (2)求证:

a a1 a 2 a3 ? ? ? ? ? ? ? n ? 1. 2 3 4 n ?1

8.已知正项数列 ?an ? 满足 a1 ? a ( 0 ? a ? 1 ) ,且 a n ?1 ?

an . 求证 1 ? an

(1) a n ?
n

a ; 1 ? ?n ? 1?a

(2)

? k ? 1 ? 1.
k ?1

ak

9.已知不等式

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], 其中 n 为大于 2 的整数, [log2 n] 表示不超过 2 3 n 2 nan?1 log 2 n 的最大整数. 设数列 {a n } 的各项为正,且满足 a1 ? b(b ? 0), a n ? , n ? 2,3,4,? .
n ? an?1

(1)证明 a n ?

2b , n ? 3,4,5,? ; 2 ? b[log2 n]

(2)猜测数列 {an } 是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明) ; (3)试确定一个正整数 N,使得当 n ? N 时,对任意 b>0,都有 a n ?

1 . 5

本章单元测试
一、选择题: (本题每小题 5 分,共 60 分. ) 1.等差数列{an}中, a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a4 ? 4 .记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 S13 等于 ( )

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A.168

B.156
2

C.152

D.78

2. ?an ? 是等比数列,其中 a3 , a7 是方程 2 x ? 3kx ? 5 ? 0 的两根,且 (a3 ? a7 )2 ? 4a2a8 ? 1 , 则 k 的值为 A. ? ( B. )

2 11 3

2 11 3

C. ?

2 11 3

D.

8 3
( )

3.数列 ?an ? 满足 an < an ?1 , an ? n2 ? ?n ,则实数的取值范围是 A. ? >0 4.设 S n ? B. ? <0 C. ? =0 D. ? >-3

1 1 1 1 3 ? ? ??? , 且S n ? S n ?1 ? ,则 n 的值为 2 6 12 n(n ? 1) 4
D.6





A.9 B.8 C.7 5.某工厂月生产总值平均增长率为 p,则年平均增长率为 A.12 p B. p
12

( D. (1 ? p)
12



C. (1 ? p) ?1
12

6.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , a2 ? 5 , an?2 ? an?1 ? an (n ? N? ) ,则 Q2006 等于 A.5 B.4 C. ? 1 D. ? 4





7.给出一系列碳氢化合物的分子式: C6 H 6 , C10 H8 , C14 H10 …,则该系列化合物的分子中含碳 元素的质量分数最大可无限接近于 A.95% B.96% 8.已知 1 是 a 与 b 的等比中项,又是 A.1 或 ?
2

( C.97% D.98% (



2

2

1 2

B.1 或2

1 3

1 1 a?b 与 的等差中项,则 2 的值为 a b a ? b2 1 1 C.1 或 D.1 或 3 2



9.若方程 x ? 5x ? m ? 0 与 x ? 10 x ? n ? 0 的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为 1 的等比数列,则 m:n 的值为 A.4 B.2
?5

( C.



1 2
5

D.

1 4

10.等比数列 ?an ? 的首项为 2 ,其前 11 项的几何平均数为 2 ,若在这前 11 项中抽取一项后的集合平均数 为 2 ,则抽出的是
5





A.第 6 项 B. 第 7 项 C. 第 9 项 D. 第 11 项 2 11.已知二次函数 y=a(a+1)x -(2a+1)x+1,当 a=1,2,?,n,?时,其抛物线在 x 轴上截 得的线段长依次为 d1,d2,?,dn,?,则 lim (d1+d2+?+dn)的值是 (
n ??



A.1

B.2

C .3

D.4

12.等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若

S10 31 ? ,则 lim Sn 等于 S 5 32 n ??
D.-2





A.

2 3

B. ?

2 3

C .2

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二、填空题: (本题每小题 4 分,共 16 分. ) 13. 设等比数列 {an } 的公比为 q, 前 n 项和为 Sn, 若 Sn+1,Sn, Sn+2 成等差数列, 则 q 的值为_________________. 14.在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是第一象限的两个点,若 1,x1,x2,4 依次成 等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比数列,则△OP1P2 的面积是_________
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15.已知等差数列有一性质:若 ?an ? 是等差数列.则通项为 bn ?

a1 ? a2 ? ...an 的数列 ?bn ? 也是等差数列,类似 n

上述命题,相应的等比数列有性质:若 ?an ? 是等比数列 (an ? 0) ,则通项为 bn =____________的数列 ?bn ? 也是等比数列 16.已知 a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列,且 0<logm(ab)<1,则 m 的取值范围是_________ 三、解答题: (本题共74分. ) 17.(本小题 12 分){an}为等差数列,公差 d≠0,an≠0,(n∈N*),且 akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*) (1)求证:当 k 取不同自然数时,此方程有公共根; (2)若方程不同的根依次为 x1,x2,?,xn,?,求证:数列

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1 1 1 , ,?, 为等差数列 x1 ? 1 x2 ? 1 xn ? 1

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18. (本小题 12 分)已知数列 ?an ? 是等差数列,其前项和为 sn , a3 ? 7, s4 ? 24 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 p,q 是正整数,且 p ? q,证明 S p ? q ?

1 ( S2 p ? S2 q ) . 2
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19. (本小题 12 分) 已知点的序列 An(xn,0),n∈N,其中 x1=0,x2=a(a>0),A3 是线段 A1A2 的中点,A4 是线段 A2A3 的中点,?,An 是线段 An-2An-1 的中点,? (1)写出 xn 与 xn-1、xn-2 之间关系式(n≥3); (2)设 an=xn+1-xn,计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明;
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(3)求 lim xn
n ??

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20. (本小题 12 分) 某城市 2000 年末汽车拥有量为 30 万辆, 预计此后每年报废上一年末汽车拥有量的 6%, 并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该市汽车拥有量不超过 60 万辆,那么每年新增 汽车数量不能超过多少辆? 21. (本小题 12 分)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公比 q ? ?1 且 q ? 0 的等比数列,设数列

?bn ? 的通项 bn ? an?1 ? kan?2 (n ? N ? ) ,数列的前 n 项之和分别为 Sn , Tn ,如果存在常数 k,使得对所
有的适合条件的两个数列,均有 Tn ? kSn 对一切 n ? N 都成立,试求实数 k 的取值范围。 22 .( 本 小 题 14 分 ) 已 知 f (x) 在 ? ?1,1? 上 有 定 义 f (
?

1 )? 1 , 且 满 足 x, y ? (?1,1) 有 2

? x? y ? 2 xn 1 . f ( x) ? f ( y ) ? f ? ? ,对数列 x1 ? , xn?1 ? 2 2 1 ? xn ? 1 ? xy ?
(1)证明: f (x)在(-1,1)上为奇函数;

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(2)求 f ( xn ) 的表达式; (3)是否存在自然数 m,使得对于任意 n ? N ,有 在,求出的最小值.
?

1 1 1 m ?8 成立?若存 ? ? ... ? f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 4

参考答案
3.1 数列的概念 1. C 2. C 3. B 4. A 5. a1 =2 6. 99 7. (1)由 x ? 0, y ? 3n ? nx ? 0, 得 0 ? x ? 3,? x ? 1或x ? 2. ∴Dn 内的整点在直线 x=1 和 x=2 上. 记 直 线 y ? ?nx ? 3n为l , l 与 直 线 x=1 、 x=2 的 交 点 的 纵 坐 标 分 别 为 y1 , y 2 , 则

y1 ? ?n ? 3n ? 2n, y2 ? ?2n ? 3n ? n.
(2)∵ S n ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ?

∴ an ? 3n(n ? N*) .

3n(n ? 1) n(n ? 1) , , ? Tn ? 2 2n (n ? 1)( n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)( 2 ? n) ∴ Tn ?1 ? Tn ? . ? ? 2 n ?1 2n 2 n ?1
∴ 当 n ? 3时, Tn ? Tn ?1 , 且T1 ? 1 ? T2 ? T3 ?

3 . 2

于 是 T2 , T3 是 数 列 {Tn } 的 最 大 项 , 故 m ? T2 ? 3 . 2

8. (1)由

1 1 x 1 =a·b4,1=a·b5,得 b=4,a= ,故 f(x)= 4. 4 1024 1024 1 n · 4 n) =2n-10, Sn= (a1+an) =n (n-9) , anSn=2n (n-5) (n-9) . 由 2 1024

(2) 由题意 an=log2 (

anSn≤0,得(n-5) (n-9)≤0,即 5≤n≤9.故 n=5,6,7,8,9. (3) a1S1=64, a2S2=84, a3S3=72, a4S4=40. 当 5≤n≤9 时, anSn≤0. 当 n≥10 时, anSn≥a10S10=100. 因 此,96 不是数列{anSn}中的项. 9. (1)第 1 位职工的奖金 a1=

b 1 1 1 ,第 2 位职工的奖金 a2= (1- )b,第 3 位职工的奖金 a3= (1 n n n n



1 2 1 1 - ) b,??,第 k 位职工的奖金 ak= (1- )k 1b. n n n

(2)ak-ak+1=

1 1 - (1- )k 1b>0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则. 2 n n

(3)解:设 fk(b)表示奖金发给第 k 位职工后所剩余款,则

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f1(b)=(1-

1 1 1 )b,f2(b)=(1- )2b,?,fk(b)=(1- )kb, n n n 1 n b ) b,则 lim Pn (b) ? . n ?? n e
6. 153

得 Pn(b)=fn(b)=(1-

3.2 等差数列的通项与前 n 项的和 1. A 2. C 3. A 4. B 5. 3

2

7. (1)由 an ? a1 ? (n ? 1)d , a10 ? 30, a20 ? 50, 得方程组

?a1 ? 9d ? 30, ? ?a1 ? 19 d ? 50 .
(2)由 S n ? na1 ?

解得 a1 ? 12, d ? 2.

所以

an ? 2n ? 10.

n(n ? 1) n(n ? 1) d , S n ? 242 得方程 12 n ? ? 2 ? 242 . 2 2

解得 n ? 11 或n ? ?22(舍去). 8. 设等差数列 {an } 的公差为 d,由 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d ,及已知条件得 2

(3a1 ? 3d ) 2 ? 9(2a1 ? d ) , ①
4a1 ? 6d ? 4(2a1 ? d ),
2



由②得 d ? 2a1 ,代入①有 a1 ? 因此

4 4 a1 ,解得 a1 ? 0或a1 ? . 当 a1 ? 0时, d ? 0, 舍去. 9 9 4 8 4 8 4 a1 ? , d ? . 故数列 {an } 的通项公式 a n ? ? (n ? 1) ? ? ( 2n ? 1). 9 9 9 9 9

9. (1) 由已知 a1=a, a2=4, a3=3a, ∴a3-a2=a2-a1, 即 4a=8, ∴a=2. ∴首项 a1=2, d=2. Sk=k· a1+

k ( k ? 1) d 2

得 k·2+

k ( k ? 1) d=2550, 2

∴k2+k-2550=0,解得 k=50 或 k=-51(舍去) ∴a=2,k=50. (2)由 Sn=na1+

n( n ? 1) d,得 Sn=n(n+1) , 2



1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ?? S1 S 2 S n 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ?1? , 2 2 3 n n ?1 n ?1

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∴ lim(
n ??

1 1 1 1 ? ? ? ? ) ? lim(1 ? ) ?1. n ?? S1 S 2 Sn n ?1
n ?3

3.3 等比数列的通项与前 n 项的和 1. C 2. B 3. B 4. B. 5. 3 ? 2 6. 大

?3

?a ? b ? c ? 15 ?1? ? ? 7. ?a ? c ? 2b ? 2? ? 2 ? 3? ? ?? a ? 1?? c ? 4 ? ? ? b ? 1? 由(1)(2)两式,解得 b=5,将 c=10-a 代入(3),整理得 a2-13a+22=0, 解得 a=2 或 a=11.故 a=2,b=5,c=11 或 a=11,b=5,c=-1. 经验算,上述两组数符合题意.
8. (1)设数列 {an } 的公差为 d,依题意得方程组

?a1 ? d ? 9, 解得 a1 ? 5, d ? 4. ? ?a1 ? 4d ? 21,
所以 {an } 的通项公式为 an ? 4n ? 1. (2)由 an ? 4n ? 1得bn ? 2 4n?1 , 所以 {bn } 是首项 b1 ? 2 5 ,公式 q ? 2 4 的等比数列. 于是得 {bn } 的前 n 项和
2 9. 由题意得: a2 ? a1a4

2 5 ? (2 4 n ? 1) 32 ? (2 4 n ? 1) Sn ? ? . 15 24 ? 1

即 (a1 ? d ) 2 ? a1 (a1 ? 3d ) ,又 d ? 0, ? a1 ? d

又 a1 , a3 , ak1 , ak2 ,?, akn ,?成等比数列,∴该数列的公比为 q ? 所以 akn ? a1 ? 3
n?1

a3 3d ? ?3, a1 d

,又 akn ? a1 ? (k n ? 1)d ? k n a1 ,? k n ? 3n?1 .

3.4 数列的前 n 项的和 1. C 2. B 3. B 4. B 5. q= ? 2. 6. a18 =3 ; S 21 =52

7. (1)当 x ? 0时, f ( x ) ? 1 ?

2 ? 1. 因为 a1=1,所以 a n ? 1(n ? N*). 下面用数学归纳法证明不等式 x ?1

bn ?

( 3 ? 1) n . 2 n ?1 ( 3 ? 1) k . 2 k ?1

①当 n=1 时,b1= 3 ? 1 ,不等式成立; ②假设当 n=k 时,不等式成立,即 bk ?

那么

bk ?1 ?| ak ?1 ? 3 |?

( 3 ? 1) | ak ? 3 | 1 ? ak

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?

3 ?1 ( 3 ? 1) k ?1 bk ? . 所以,当 n=k+1 时,不等也成立。 2 2k

根据①和②,可知不等式对任意 n∈N*都成立. (2)由(1)知, bn ?

( 3 ? 1) n . 所以 2 n ?1

S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn

3 ?1 n ) ( 3 ? 1) ( 3 ? 1) 2 ? ( 3 ? 1 ) ? ? ( 3 ? 1) ? ?? ? 2 2n?1 3 ?1 1? 2
2 n

1? (

? ( 3 ? 1) ? 1?

1 3 ?1 2

?

2 2 3. 3. 故对任意 n ? N ? , S n ? 3 3

8. (1) 由 S1 ?

1 1 1 1 1 ( a1 ? 1) , 得 a1 ? ( a1 ? 1) , ∴ a1 ? ? . 又 S 2 ? (a 2 ? 1) , 即 a1 ? a 2 ? (a 2 ? 1) , 得 3 3 3 3 2

a2 ?

1 . 4

(2) 当 n>1 时 , a n ? S n ? S n ?1 ?

a 1 1 1 1 (a n ? 1) ? (a n ?1 ?1), 得 n ? ? , 所以 ?an ? 是首项 ? , 公比为 3 3 2 an?1 2

?

1 的等比数列. 2

9. (1)设等比数列{an}的公比为 q,则 a2=a1q, a5=a1q4. a1q=6, 依题意,得方程组 a1q4=162. - 解此方程组,得 a1=2, q=3. 故数列{an}的通项公式为 an=2·3n 1.

2(1 ? 3 n ) ? 3 n ? 1. (2) S n ? 1? 3

Sn ? Sn? 2 32 n? 2 ? (3n ? 3n? 2 ) ? 1 32 n? 2 ? 2 3n ? 3n? 2 ? 1 S ?S ? ? ? 1,即 n 2 n? 2 ? 1. 2 2n?2 n ?1 2n?2 n ?1 Sn?1 3 ? 2 ? 3 ?1 3 ? 2 ? 3 ?1 Sn?1
3.5 递推数列 1. D 2. D 3. C 4. B 5. 2600 6. 7. (1)由已知得 an?1an ? an ? an?1 ,

9 2

?

1 1 1 1 1 ? ? 1,由a1 ? p , 得 ? ? (n ? 1) ? an ? . 1 an ?1 an an p n ? ?1 p

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(2)

0 ? p ? 1, ?

1 ? 1 ? 0. p

? an ?

1 1 ? . 1 n ? ?1 n p a a1 a2 a3 1 1 1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ?????? ? 2 3 4 n ? 1 2 ?1 3 ? 2 4 ? 3 ( n ? 1) n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? 1? ? 1. 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1

8. (1) 将条件 an ?1 ?

an 变形, 得 1 ? an

1 a n?1

?

1 得 n-1 个不等式, 叠加得 ? 1 . 于是, an

1 1 ? ? n ? 1, an a

故 an ?

a . 1 ? ?n ? 1?a
an ? a 1 1 ? ? , 1 ? ?n ? 1?a 1 n ? n ?1 a

(2)注意到 0 ? a ? 1 ,于是由(1)得

从而,有

n n ak 1 1 ? 1 ?1 ? ? ? 1. ? ? ? ? 1? ? ? ? k ? 1? n ?1 k ?1 k ? 1 k ?1 k (k ? 1) k ?1 ? k n

9. (1)∵当 n ? 2时,0 ? an ?

nan?1 1 n ? an?1 1 1 1 1 1 ,? ? ? ? ,即 ? ? , n ? an?1 an nan?1 an?1 n a n a n?1 n

于是有

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,?, ? ? . 所有不等式两边相加可得 a2 a1 2 a3 a2 3 an an?1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? . 由已知不等式知,当 n≥3 时有, ? ? [log2 n]. an a1 2 3 n a n a1 2
∵ a1 ? b,?

2 ? b[log2 n] 1 1 1 ? ? [log2 n] ? . an b 2 2b
n??

an ?

2b . 2 ? b[log2 n]

(2)有极限,且 lim a n ? 0.

(3)∵

2b 2 2 1 ? ,令 ? , 2 ? b[log2 n] [log2 n] [log2 n] 5
10

则有 log2 n ? [log2 n] ? 10, ? n ? 2 都有 a n ? 本章测试题

? 1024 , 故取 N ? 1024 可使当 n ? N 时,

1 . 5

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一、选择题: 1.B 2.C 3.D 4.D 5.C 6.A. 7.(A) 8.B 9.D 10.A 11.A 12.B 二、填空题: 13. –2 14. 4010 15. 1 16. (-∞,8) 三、解答题: 17. (1)∵{an}是等差数列,∴2ak+1=ak+ak+2,故方程 akx2+2ak+1x+ak+2=0 可变为(akx+ak+2)(x+1)=0,∴当 k 取不同 自然数时,原方程有一个公共根-1
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(2)原方程不同的根为 xk= ?

a 1 ak ? 2 a ? 2d 2d ?? k ? ?1 ? ,? ?? k , ak ak ak xk ? 1 2d


a a a ? ak ?1 ?d 1 1 ? ? k ?1 ? (? k ) ? k ? ? ? (常数) xk ?1 ? 1 xk ? 1 2d 2d 2d 2d 2 1 ? ?{ 1 1 }是以 ? 为公差的等差数列. xk ? 1 2
? a1 ? 2d ? 7 ? ? 4?3 4a1 ? d ? 24 ? ? 2

18.(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d, 依题意得

解得 ?

? a1 ? 3 . ?d ? 2

∴ ?an ? 的通项公式为 ?an ? = 2n ? 1 . (2)∵ an ? 2n ? 1∴ S n ?

n(a1 ? an ) ? n 2 ? 2n . 2

2 2 2 ∵ 2S p ? q ? ( S2 p ? S2 q ) ? 2 ? ?( p ? q ) ? 2( p ? q ) ? ? ? (4 p ? 4 p) ? (4q ? 4q)

= ?2( p ? q)2 , ∵p?q ∴ 2S p?q ? (S2 p ? S2q ) ? 0 ,∴ S p ? q ?

1 ( S2 p ? S2 q ) . 2

19. (1)当 n≥3 时,xn=

xn?1 ? xn?2 ; 2

(2) a1 ? x2 ? x1 ? a, a2 ? x3 ? x2 ?

x2 ? x1 1 1 ? x2 ? ? ( x2 ? x1 ) ? ? a, 2 2 2 x ?x 1 1 1 1 a2 ? x4 ? x3 ? 3 2 ? x3 ? ? ( x3 ? x2 ) ? ? (? a ) ? a. 2 2 2 2 4

1 n-1 ) a(n∈N). 2 x ? xn?1 x ?x 1 1 因为 a1=a>0,且 an ? xn?1 ? xn ? n ? xn ? n?1 n ? ( xn ? xn?1 ) ? ? an?1 (n≥2), 2 2 2 2 1 所以 an=(- )n-1a 2
由此推测 an=(-
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(3)当 n≥3 时,有 xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+?+(x2-x1)+x1=an-1+an-2+?+a1,

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由(2)知{an}是公比为-

a1 2 1 的等比数列,所以 lim xn ? ? a 1 n?? 2 1 ? (? ) 3 2

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20.设每年新增汽车数量不能超过 x 万辆,设 an 为 2000 年起的第 n 年该城市拥有的汽车数,则 a1 ? 30

x x ? 0.94(an ?1 ? ). 0.06 0.06 x x x x ? (a1 ? ) ? 0.94n ?1 ? ? (30 ? ) ? 0.94n ?1 . ∴ an ? 0.06 0.06 0.06 0.06 x (1) 当 30≥0 即 x ? 1.8 时, an ? an?1 ? ... ? a1 ? 30 ,∴ ?an ? 是递增数列,符合题意. 0.06 x x (2)当 30<0 即 x 1.8 时, an ? an?1 ? ... ? a1 ? 30 ,∴ ?an ? 是递增数列,又∵ lim an ? , x ?? 0.06 0.06 x x ∴ ?an ? 是递增且无限靠近 ,∴ ? 60 解得 x ? 3.6 . 0.06 0.06

an ? an ?1? 0.94 ? x(n ? 2) ∴ an ?

答:每年新增汽车数量不超过 3.6 万辆. 21. ∵ bn ? an?1 ? kan?2 ? an q ? kq2an ,∴ Tn ? qSn ? kq2 Sn .当 q=1 时 Sn ? na1 ? 0 ;

a1 (1 ? q n ) 当 q ? 1 时 , Sn ? 1? q

a1 (1? q n ) ∵ q ? ?1 且 q ? 0 , ∴ Sn ? ? 0 . ∴ Tn ? kSn , 即 1? q
q 1 ? ; 2 1 1? q q? q

qSn ? kq2 Sn ? kSn 对于 n ? N? 恒成立,∴ k (1 ? q 2 ) ? q , 即 k ?

当 ?1 ? q ? 0 时, q ?

1 1 1 1 1 1 ? ,∴ k ? ? . ? ?2 ;当 q ? 0 时 q ? ? 2 ,∴ ?1 ? q ? 0 时 ? ? 2 2 q? 1 2 q q q

22.(1)∵ x. y ? (?1.1) 有 f ( x) ? f ( y ) ? f (

x? y ) ,当 x ? y 时,可得 f (0) ? 0 . 1 ? xy

当 x ? 0 时 f (0) ? f ( y ) ? f ( 在 (?1,1) 上为奇函数. (2)∵ f ( xn ?1 ) ? f ?

0? y ) ? f (? y) ,∴ f (? y) ? ? f ( y) ∴ f ( x) 1? 0 ? y

? 2 xn ? ? x ? (? xn ) ? ?f? n ? = f ? xn ? ? f (?xn ) ? 2 f ( xn ) , 2 ? ? 1 ? xn ? ? 1 ? xn ? (? xn ) ?



1 f ( xn ? 1) ? 2 ,又 f ( x1 ) ? f ( ) ? 1 ,∴ ? f ( xn )? 为等比数列,其通项公式为 2 f ( xn )

f ( xn ) ? f ( x1 ) ? 2n?1 ? 2n?1 .

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(3)假设存在自然数 m,则 成立.∴ m ? 16 ?

1 1 1 1 1 1 1 m ?8 ? ? ? ... ? ? 1 ? ? 2 ? ... ? n?1 = 2 ? n ?1 ? 对于 n ? N 恒 2 4 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 2 2 2

16 ? 对于 n ? N 恒成立,∴ m ? 16 且 m ? N 即可. 2n


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