nbhkdz.com冰点文库

北京市房山区2013届高三上学期期末考试理科数学试题


房山区高三年级第一学期期末练习 数
无效。考试结束后,将答题卡交回。

学 (理科)2013.1

本试卷共 5 页,150 分。考试时间 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项.


1.已知集合 M ? {x | x 2 ? x ? 6 ? 0}, N ? {x |1 ? x ? 3} ,则 A. M ? N B. N ? M C. M ? N ? [1,2) D. M ? N ? [?3,3]

2. 设 a, b ? R , a ? bi ? (1 ? i )(2 ? i ) (为虚数单位) ,则 a ? b 的值为 A. 0 B. 2 C.3 D. 4

3. “ ? = 0 ”是“函数 f ( x) = sin( x + A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

? ) 为奇函数”的

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 设 a ? 0.32 , b ? 2 0.3 , c ? log 0.3 4 ,则 A. b ? a ? c B. c ? b ? a C. b ? c ? a D. c ? a ? b

5. 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ,直线 l : y ? k ( x ? 1) ? 1 ,则与 C 的位置关系是 A.一定相离 C.相交且一定不过圆心 B.一定相切 D.相交且可能过圆心

6. 若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的 表面积是 A.

3

B.

9 3 2

C. 6 ? 3

D. 6 ? 2 3

7. 已知函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0, D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) 处的 ?? x ? 1, x ? 0,

切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 3 y 在 D 上的最大值为 A. 4 B. 3 C. D. ?1
第 1 页 共 12 页

8. 对 任 意 两 个 非 零 的 平 面 向 量 ? 和

? ,定义 ? ? ? ?

? ?? , 若 平 面 向 量 a, b 满 足 ? ??

? n a ? b ? 0 , a 与 b 的夹角 ? ? (0, ) ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 { | n ? Z} 中,则 a ? b = 3 2
A.

1 2

B.

C.

3 2

D.或

3 2
开始

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.

S ? 0, n ? 0, a ? 1

?

1 0

( x ? 1)dx =

. .(用数字作答)

n ? n ?1

10. ( x ? 1) 5 的展开式中 x 的系数是

a ? 2? a
S ?S ?a
. .
nn 否

11.在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

A?

? , a ? 13, b ? 3, 则 c ? 3

,△ABC 的面积等于

S ? 1000
是 输出 n

12.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 n 的值为

n

s 结束 , n ? 0 ?1

13. 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析每辆客车运营前

n (n ? N* ) 年的总利润 S n (单位:万元)与 n 之间的关系为 Sn ? ?(n ? 6) 2 ? 11 .当每辆
客车运营的平均利润最大时, n 的值为 14. 已知 m ? 0 ,给出以下两个命题:
2

.

命题 p :函数 f ( x) ? lg( x ? m) 存在零点; 命题 q : ?x ? R ,不等式 x ? x ? 2m ? 1 恒成立. 若 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,则 m 的取值范围为 .

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 . 2 cos x

第 2 页 共 12 页

(Ⅰ)求函数 f (x) 的定义域; (Ⅱ)若 f (? ?

?
4

)?

3 2 ,求 cos ? 的值. 5

16. (本小题满分 14 分)在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

D1 A1

C1

AB ? BC ? 1 , AA1 ? 2 , E 为 BB1 中点.
(Ⅰ)证明: AC ? D1 E ;

B1

E

(Ⅱ)求 DE 与平面 AD1 E 所成角的正弦值;
D C

(Ⅲ)在棱 AD 上是否存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E ? 若存在,求 DP 的长;若不存在,说明理由.
A B

第 3 页 共 12 页

17. (本小题满分 13 分)在某校组织的一次篮球定点投篮测试中,规定每人最多投 3 次, .. 每次投篮的结果相互独立.在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分,否则得 0 分. 将学生得分逐次累加并用 ? 表示,如果 ? 的值不低于 3 分就认为通过测试,立即停止投 .... 篮,否则继续投篮,直到投完三次为止.投篮的方案有以下两种:方案 1:先在 A 处投一球, 以后都在 B 处投;方案 2:都在 B 处投篮.甲同学在 A 处投篮的命中率为 0.5 ,在 B 处投篮 的命中率为 0.8 . (Ⅰ) 甲同学选择方案 1. ① 求甲同学测试结束后所得总分等于 4 的概率; ② 求甲同学测试结束后所得总分 ? 的分布列和数学期望 E? ; (Ⅱ)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由.

18. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

b ? ax . x2 ?1

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值 2 ,求 a, b 的值; (Ⅱ)当 2b ? a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的单调性.
2

19. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

1 2 11 n ? n (n ? N? ) . 2 2

k 1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对 2013 (2an ? 11)(2an ? 9)
?

一切 n ? N 都成立的最大正整数 k 的值;

?an , (n ? 2k ? 1 , k ? N? ), ? ? (Ⅲ)设 f (n) ? ? 是否存在 m ? N ,使得 ? ?3an ? 13, (n ? 2k , k ? N ), ?
第 4 页 共 12 页

f (m ? 15) ? 5 f (m) 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 13 分)已知函数 y ? f (x) ,若存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是函数

y ? f (x) 的一个不动点,设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? b ? 2 .
(Ⅰ) 当 a ? 2, b ? 1 时,求函数 f (x) 的不动点; (Ⅱ) 若对于任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个不同的不动点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,若函数 y ? f (x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动 点,且直线 y ? kx ?

1 是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围. a ?1
2

第 5 页 共 12 页

房山区高三年级第一学期期末练习参考答案 数
一、 选择题: 4D 5C 6D 7B 8D ? ? ? ? ? b?a |b | ?n ? ? ? ? ? 【解析】 C;因为 b ? a ? ? ? ? ? cos ? ? cos ? ? 1 ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 ? | n ? Z ? 中, a?a | a | ?2 ?
? ? 1 所 以 b?a ? 2

学 (理科) 2013.01

1C

2B

3A

? |b| 1 ? ? , | a | 2 cos ?

? ? ? |a| 2 , 所 以 a ? b ? ? cos ? ? 2 cos ? |b|

, 且

? ? ? 1 1 3 ?? ? (0, ),? ? cos ? ? 1,? ? 2 cos 2 ? ? 2 故有 a ? b ? 1或 ,选 D. 3 2 2 2 ? ? ? ? |a| k ? ? |b| k kk 2 【另解】C; a ? b ? ? cos ? ? 1 , b ? a ? ? cos ? ? 2 ,两式相乘得 cos ? ? 1 2 , 4 2 2 |b| |a|

k1k2 1 ? 1 ,所以 1 ? k1k2 ? 4 ,所 ? , k1 , k2 均为正整数,于是 ? cos ? ? 3? 2 2 ? ? ? ? 3 以 k1k2 ? 2或3 ,而 a ? b ? 0 ,所以 k1 ? 3, k2 ? 1 或 k1 ? 2, k2 ? 1 ,于是 a ? b ? ,选 D. 2
因为 ? ? ? 0,

? ?

??

二、 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

3 2

10. 10

11. 4, 3 3

12. 9

13. 5

1 14. (0, ] ? (1, ??) 2

p : 0 ? m ? 1, q : m ? 1 数形结合

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.
15(本小题满分 13 分) (Ⅰ)由 cos x ? 0 得 x? ??????1 分 ??????3 分

? ? k? , k ? Z 2
{x | x ?

所以函数 f (x) 的定义域为

? ? k? , k ? Z } 2

?????4 分

第 6 页 共 12 页

(Ⅱ) f ( x) ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 cos x

=

2sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 ? 1 2 cos x
2 sin(x ?

?????8 分

= sin x ? cos ?

? ) 4

?????10 分

? ? 3 2 f (? ? ) ? 2 sin(? ? ) ? 4 2 5
所以 cos ? ? sin(? ?

? 3 )? 2 5

?????13 分

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 BD ∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,
A1 D1 z C1

B1

∴ D1 D ? 平面 ABCD , 又 AC ? 平面 ABCD ∴ D1 D ? AC ??????1 分
A x B D E

C y

在长方形 ABCD 中, AB ? BC ∴ BD ? AC 又 BD ? D1 D ? D ∴ AC ? 平面 BB1 D1 D , ∴ AC ? D1 E ??????3 分 ??????4 分 ??????2 分

而 D1 E ? 平面 BB1 D1 D

(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系 Dxyz ,则

??? ? ???? ? ???? A(1, 0, 0), D1 (0, 0, 2), E (1,1,1), B(1,1, 0) , AE ? (0,1,1), AD1 ? (?1, 0, 2), DE ? (1,1,1)
设平面 AD1 E 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

?

? ???? ? ?n?AD1 ? 0 ? ? ? ? ??? ?n?AE ? 0 ?

?? x ? 2 z ? 0 ? ?y ? z ? 0

令 z ? 1 ,则 n ? (2, ?1,1)
第 7 页 共 12 页

?

??????7 分

? ???? ? ???? n?DE 2 ?1 ?1 2 cos ? n, DE ?? ? ???? ? ? 3 3? 6 n ?DE
所以 DE 与平面 AD1 E 所成角的正弦值为

??????9 分

2 3

??????10 分

(Ⅲ)假设在棱 AD 上存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E . 设 P 的坐标为 (t ,0,0) (0 ? t 所以

??? ? ? 1) ,则 BP ? (t ? 1, ?1,0) 因为 BP ∥平面 AD1 E
??????13 分

??? ? ? ??? ? ? 1 BP ? n , 即 BP?n ? 0 , 2(t ? 1) ? 1 ? 0 ,解得 t ? , 2

所以 在棱 AD 上存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E ,此时 DP 的长

1 .??14 分 2

17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)在 A 处投篮命中记作 A ,不中记作 A ;在 B 处投篮命中记作 B ,不中记作 B ; ① 甲同学测试结束后所得总分为 4 可记作事件 ABB ,则

P( ABB) ? P( A) P(B) P(B) ? 0.5 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.32
② ? 的所有可能取值为 0, 2,3, 4 ,则

??????2 分

P(? ? 0) ? P( ABB ) ? P ( A) P ( B ) P ( B ) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.02
P(? ? 2) ? P( ABB ) ? P( ABB ) ? P( A) P(B) P( B ) ? P( A) P( B ) P(B)
? 0.5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) ? 0.5? (1? 0.8)? 0.8 ? 0.16

P(? ? 3) ? P(A) ? 0.5
P(? ? 4) ? P( ABB) ? P( A) P(B) P(B) ? 0.5 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.32
第 8 页 共 12 页

??????6 分

? 的分布列为:

?
P

0 0.02

2 0.16

3 0.5

4 0.32 ??????7 分

E? ? 0 ? 0.02 ? 2 ? 0.16 ? 3 ? 0.5 ? 4 ? 0.32 ? 3.1 ,

??????9 分

(Ⅱ)甲同学选择方案 1 通过测试的概率为 P ,选择方案 2 通过测试的概率为 P2 , 1

P ? P(? ? 3) ? 0.5 ? 0.32 ? 0.82 1

P2 ? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) = 2 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.896
因为 P2 ? P 1 所以 甲同学应选择方案 2 通过测试的概率更大 18. (本小题满分 13 分) ??????13 分

?a ( x 2 ? 1) ? 2 x(b ? ax) (Ⅰ) f '( x) ? ( x 2 ? 1) 2 ? ax 2 ? 2bx ? a ( x 2 ? 1) 2
a ? 2b ? a ?0 (12 ? 1) 2

( x ? R)

??????1 分

依题意有, f '(1) ??

f (1) ?

b?a ?2 12 ? 1

??????3 分 ??????5 分

解得 b ? 0 , a ? ?4 经检验, a ? ?4, b ? 0 符合题意, 所以, a ? ?4, b ? 0

ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? a (ax ? 1)( x ? a) ? (Ⅱ) 当 2b ? a ? 1 时, f '( x) ? ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2
2

当 a ? 0 时, f '( x) ?

x ( x ? 1) 2
2

解 f '( x ) ? 0 , 得 x ? 0

当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 所以减区间为 (??, 0) ,增区间为 (0, ??) . 当 a ? 0 时,解 f '( x) ? 0 , 得 x1 ? ? ??????7 分

1 , x2 ? a , a

??????9 分

第 9 页 共 12 页

当 a ? 0 时, ?

1 ?a a 1 a 1 , a ) 时, f '( x) ? 0 a
??????11 分

当 x ? (??, ? ) 或 x ? (a, ??) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? ( ?

所以增区间为 (??, ? ) , (a, ??) ,减区间为 (?

1 a

1 , a) . a

当 a ? 0 时, ?

1 ?a a 1 1 , ??) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (a, ? ) 时, f '( x) ? 0 a a 1 , ??) . a
??????13 分

当 x ? (??, a ) 或 x ? (?

所以增区间为 (a, ? ) ,减区间为 (??, a ) , (?

1 a

综上所述:当 a ? 0 时, f ( x) 减区间为 (??, 0) ,增区间为 (0, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 增区间为 (??, ? ) , (a, ??) ,减区间为 (?

1 a

1 , a) ; a

当 a ? 0 时, 增区间为 (a, ? ) ,减区间为 (??, a ) , (? 19(本小题满分 14 分) (Ⅰ)当 n ? 1 时,

1 a

1 , ??) . a

a1 ? S1 ? 6

?????? 1 分
2

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ( n ? 而当 n ? 1 时, n ? 5 ? 6

1 2

11 1 11 n) ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? n ? 5 .?? 2 分 2 2 2
??????4 分

∴ an ? n ? 5 .
(Ⅱ) cn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2an ? 11)(2an ? 9) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?

1 1 1 1 1 1 n [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ?( ? )] ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
??????7 分

∵ Tn ?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)

第 10 页 共 12 页

∴ Tn 单调递增,故 (Tn ) min ? T1 ?


1 . 3

??????8 分

1 k ? ,得 k ? 671 ,所以 kmax ? 670 . 3 2013

?????? 10 分

?an , ? (n ? 2k ? 1 , k ? N? ) ?n ? 5, (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? (Ⅲ) f (n) ? ? =? ? * ?3n ? 2, ( n ? 2k , k ? N ) ?3an ? 13, (n ? 2k , k ? N ) ? ?
(1)当 m 为奇数时, m ? 15 为偶数,

∴ 3m ? 47 ? 5m ? 25 , m ? 11 .
??????1 2 分

(2)当 m 为偶数时,m ? 15 为奇数, ∴ m ? 20 ? 15m ? 10 ,m ? 综上,存在唯一正整数 m ? 11 ,使得 f ( m ? 15) ? 5 f (m ) 成立. ????????1 4 分 20. (本小题满分 13 分)
2 (Ⅰ) 当 a ? 2, b ? 1 时, f ( x) ? 2 x ? 2 x ? 1 ,解 2 x ? 2 x ? 1 ? x

5 ? N?(舍去) . 7

2

?2 分

得 x ? ?1, x ?

1 2 1 2
??3 分

所以函数 f ( x) 的不动点为 x ? ?1, x ?

(Ⅱ)因为 对于任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个不同的不动点, 所以 对于任意实数 b ,方程 f ( x) ? x 恒有两个不相等的实数根, 即方程 ax ? (b ? 1) x ? b ? 2 ? x 恒有两个不相等的实数根,
2

???4 分 ???5 分

所以

? x ? b 2 ? 4a (b ? 2) ? 0

即 对于任意实数 b , b 2 ? 4ab ? 8a ? 0 所以 解得

? b ? (?4a) 2 ? 4 ? 8a ? 0
0?a?2

????????7 分 ???????8 分

(Ⅲ)设函数 f ( x) 的两个不同的不动点为 x1 , x2 ,则 A( x1 , x1 ), B ( x2,x2 )

第 11 页 共 12 页

且 x1 , x2 是 ax ? bx ? b ? 2 ? 0 的两个不等实根, 所以 x1 ? x2 ? ?
2

b a

直线 AB 的斜率为 1,线段 AB 中点坐标为 (?

b b ,? ) 2a 2a

因为 直线 y ? kx ?

1 是线段 AB 的垂直平分线, a ?1
2

所以 k ? ?1 ,且 (?

b b 1 , ? ) 在直线 y ? kx ? 2 上 2a 2a a ?1



?

b b 1 ? ? 2 2a 2a a ? 1

a ? (0, 2)

????????10 分

所以 b ? ?

a 1 1 1 ?? ?? ?? 1 a ?1 2 1 a? 2 a? a a
2

当且仅当 a ? 1 ? (0, 2) 时等号成立

???????12 分 又 b?0 所以 实数 b 的取值范围 [?

1 , 0) . 2

????13 分

第 12 页 共 12 页


北京市房山区2013届高三上学期期末考试理科数学试题

北京市房山区2013届高三上学期期末考试理科数学试题_数学_高中教育_教育专区。房山区高三年级第一学期期末练习 数无效。考试结束后,将答题卡交回。 学 (理科)2013...

北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题(Word解析版)

北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题(Word解析版) 隐藏>> 房山区高三年级第一学期期末练习 数考试结束后,将答题卡交回。 学 (理科)2013.1 本试卷...

北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版

北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版北京...

房山区2013届第一学期期末高三数学(理科含答案)

房山区2013届第一学期期末高三数学(理科含答案)_数学_高中教育_教育专区。房山区高三年级第一学期期末练习 数学 (理科)2013.1 本试卷共 5 页,150 分。考试时间...

2013年1月房山区期末高三数学(理科含答案)

2013年1月房山区期末高三数学(理科含答案)_数学_高中教育_教育专区。房山区高三...考试时间 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡,在试卷上作答无 7. 已知...

北京2013届房山区高三数学一模文科试题及答案

北京2013届房山区高三数学一模文科试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结...

北京2013届房山高三二模数学理科试题及答案

北京2013届房山高三二模数学理科试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京...中选择一条最好的上 学路线,并说明理由. 18.(本小题满分 13 分) x 已知...

2013年北京房山区高三二模理科数学试题及答案

2013年北京房山区高三二模理科数学试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考 试...

北京2013届房山高三数学一模理科试题及答案

房山区 2013 年高考第一次模拟试卷 数学 (理科)2013.04 本试卷共 4 页,150 分。考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡,在试卷上作答无效。考试...