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2015年高考数学解答题突破:第21题

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第 21 题 圆锥曲线中的定点、定值、范围问题 1.定点、定值问题的处理方法 定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题, 处理时可以直接推理求出定值, 也可以先 通过特定位置猜测结论后进行一般性证明,对于客观题,通过特殊值法探求定点、定值能达 到事半功倍的效果. 2.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来 解决; (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函 数,再求这个函数的最值,在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: ①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; ②利用已知参数的范围, 求新参数的范围, 解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关 系; ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; ④利用基本不等式求出参数的取值范围; ⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. [微题型 1] 定点的探究与证明 x2 y2 2 【典例 1】 (2014· 益阳模拟改编)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的短轴长为 2, 离心率为 , a b 2 过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 B 点关于 x 轴的对称点是 N,证明:直线 AN 恒过一定点. c 2 (1)解 由题意知 b=1,e= = ,得 a2=2c2=2a2-2b2,故 a2=2. a 2 x2 故所求椭圆 C 的方程为: +y2=1. 2 (2)证明 设直线 l 的方程为 y=k(x-2), y=kx- , ? ?2 则由?x 得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0. 2 + y = 1 , ? ?2 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 8k2-2 8k2 则 x1+x2= x · x = 1+2k2, 1 2 1+2k2. 由对称性可知 N(x2,-y2),定点在 x 轴上, y1+y2 直线 AN:y-y1= (x-x1). x1-x2 y1x1-x2 x1y2+x2y1 令 y=0 得:x=x1- = y1+y2 y1+y2 2kx1x2-2kx1+x2 2x1x2- x1+x2 = = kx1+x2- x1+x2-4 16k2-4 16k2 - 1+2k2 1+2k2 = =1, 2 8k -4 1+2k2 故直线 AN 恒过定点(1,0). 探究提高 (1)动直线 l 过定点问题,解法:设动直线方程(斜率存在)为 y=kx+t,由题 设条件将 t 用 k 表示为 t=mk,得 y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0).(2)动曲线 C 过 定点问题,解法:引入参变量建立曲线 C 的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数 等于零,得出定点. 【练习 1】已知过双曲线 x ? y ? 2 右焦点 F2 的动直线与双曲线交于 A, B 两点,在 x 轴上 2 2 是否存在定点 C ,使得 CA ? CB 为常数,若存在,求出 C 点坐标,若不存在,请说明理由。 解 析 : 由 题 意 知 F2 ? 2,0? , 设 A? x ? x ? , 当 AB 与 x 轴 垂 直 时 , 则 1, y 1? , B 2, y 2 A 2, 2 , B 2. ? 2 ,则存在定点 C ?1,0 ? ,此时 CA ? CB ? ?1 假设存在定点 C ? m,0? ,使得 CA ? CB 为常数。 当 AB 与 x 轴不垂直

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