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数形结合思想例题分析[1]

时间:2012-02-10


数形结合思想例题分析
一、构造几何图形解决代数与三角问题: 构造几何图形解决代数与三角问题: 证明恒等式: 1、证明恒等式: 例 1 已知 x 、

y 、 z 、 r 均为正数,且 x 2 + y 2 = z 2 , z ? x 2 ? r 2 = x 2 C 求证: rz = xy.
y A z r x B

分析: 由

x 2 + y 2 = z 2 , 自然联想到勾股定理。由 z ? x 2 ? r 2 = x 2 . 可以联想到

射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形(如图) 。对照图形,由直角三角形面积的两种 算法,结论的正确性一目了然。 证明: (略) 小结:涉及到与平方有关的恒等式证明问题,可构造出与之对应的直角三角形或圆,然 后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2、证明不等式: 证明不等式: 例 2 已知:0< a <1,0< b <1. 求证

a2 + b2 + (1 ? a)2 + b2 + a2 + (1 ? b)2 + (1 ? a)2 + (1 ? b)2 ≥ 2 2.
证明:如图,作边长为 1 的正方形 ABCD,在 AB 上取点 E,使 AE=

a ;在 AD 上取点 G,使 AG= b ,

过 E、G 分别作 EF//AD 交 CD 于 F;作 GH//AB 交 BC 于 H。设 EF 与 GH 交于点 O,连接 AO、BO、CO、DO、AC、 BD. 由题设及作图知△

AOG 、△ BOE 、△ COF 、△ DOG 均为直角三角形,因此

OA = a 2 + b 2

OB = (1 ? a) 2 + b 2 OC = (1 ? a)2 + (1 ? b) 2 OD = a 2 + (1 ? b) 2
且 由于

AC = BD = 2
OA + OC ≥ AC , OB + OD ≥ BD.
所以:

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a2 + b2 + (1 ? a)2 + b2 + a2 + (1 ? b)2 + (1 ? a)2 + (1 ? b)2 ≥ 2 2.
当且仅当 a

=b=

1 时,等号成立。 2

小结:在求证条件不等式时,可根据题设条件作出对应的图形,然后运用图形的几何性质或者平面 几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。 求参数的值或参数的取值范围: 3、求参数的值或参数的取值范围: 例 3 范围。 解析:画出与方程对应的二次函数
y

若方程

ax2 ? 2 x + 1 = 0



a >0)的两根满足: x1 <1,1< x2 <3,求 a 的取值


y = ax2 ? 2 x + 1

a >0)的草图:
y

0

1

2

3

x

0

1

2

3

x

由图可知:当 即

x =1 时, y <0; 当 x =3 时, y >0.


a ×12 ? 2 ×1 + 1 <0

a × 32 ? 2 × 3 + 1 >0.

5 解得: < a <1. 9
例 4 若关于 x 的不等式 0 ≤

x2 + mx + 2 ≤ 1

的解集仅有一个元素,求

m 的值。

y

解:如图:在同一坐标系内,作出 的图象。题设条件等价于抛物线

y = 1与 y = x2 + mx + 2

y = x2 + mx + 2 在直线 y = 0 与 y =1 上 , 故 方 程 组

y = 1之间的带状区域仅有一个交点,且抛物线开口向上。由图形的直观
性 质 可 知 : 这 个 交 点 只 能 在 直 线

y=1

0

y =1 ? x ? 2 ? y = x + mx + 2

仅有一组解。

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∴? = m2 ? 4 ×1 = 0



m = ±2.

小结:对于含参方程(不等式) ,可将其与对应的函数(图象)联系起来,运用数形结合思想,去揭 示问题中所蕴含的几何背景,往往能为解题提供清晰的思路。 求最值问题: 4、求最值问题:

b 均为正数,且 a + b = 2. 求 a 2 + 4 + b2 + 1 的最小值。 解:如图,作线段 AB=2,在 AB 上截取 AE= a ,
例 5 已知 a、

C

EB= 理:CE=

b ,过 A 作 AC ⊥ AB,且 AC=2,过 B 作 BD ⊥ AB,且 BD=1。由勾股定

2 A 2 G 2 a

D 1 B Eb 2 F

a 2 + 4 ,BD= b2 + 1 ,原题即求 CE+ED 的最小值。

又如图, 延长 CA 至 G,使 AG=AC, 连接 GE, 由三角形两边之和大于第三边, 则 G、E、D 三点共线时,GE+ED=DG 最短。作出图形,延长 DB 至 F,使 BF//AG 且 BF=AG,连接 GF. 则在 Rt△DGF 中,DF=1+2=3,GF=AB=2

∴ DG = DF 2 + GF 2 = 32 + 22 = 13

∴CE+DE 的最小值是 13.


a 2 + 4 + b2 + 1 的最小值是 13.
A F E

小结:此题由式子特点联想勾股定理,构造图形解决问题。 用代数与三角方法解决几何问题: 二、用代数与三角方法解决几何问题: 例 6 如图,在△ABC 中,AB>AC,CF、BE 分别是 AB、AC 边 上的高。试证:

AB + CF ≥ AC + BE

证法一: (三角法)因为 0 ≤ sin

A ≤1,
B C

∴ AB ? AC ≥ ( AB ? AC ) ? sin A
∴ AB + AC ? sin A ≥ AC + AB ? sin A

∴ AB + CF ≥ AC + BE (当∠A = 90 时取等号)
证法二: (代数法)由 AB>AC>CF,AB>BE 及 S△ABC

=

1 1 AB ? CF = AC ? BE 2 2



AB AC AB-BE AC ? CF = 变形得: = . AB BE CF AC

∴ AB ? BE > AC ? CF
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∴ AB + CF > AC + BE
当∠A = 90 时 , AB + CF = AC + BE .
综上:

AB + CF ≥ AC + BE.

小结:以上两种证明方法,分别采用了三角法与代数法,较之纯几何证法来,易于想到。 例 7 如图,在正△ABC 的三边 AB、BC、CA 上分别有点 D、E、F.若 DE

⊥ BC,EF ⊥ AC,FD ⊥ AB 同时成

立,求点 D 在 AB 上的位置. 分析:先假设符合条件的点 D、E、F 已经作出,再利用已知条件,寻找线段与角之间的数量关系,列 出含有待求量的等式(方程) ,以求其解。 解:设 AB=1,AD=

x
C F E A D B

因为△ABC 为正三角形, 且 DE 故, 而

⊥ BC,EF ⊥ AC,FD ⊥ AB,
BD = 2BE = 8x ? 2
,即

x + (8x ? 2) = 1
AF = 2 x
,

解得: x

1 = . AD + BD = 1 3

CF = 1 ? 2 x

,

CD = 2CF = 2 ? 4 x

BE = 1 ? CE = 4 x ? 1 即点 D 位于 AB 边上

1 分点处. 3

A
或角度的大 求那些量的 内 的

小结:几何中存在着这样一类问题,即几何图形中的某些点的位置或线段的长度 小不能依题意画出来,只有根据已知条件求出某一些量时,图形才能画出。而 z 方法,常常是通过列方程(组) ,即转化为代数方程求解。 例 8 如图,△ABC 三边的长分别是 BC=17,CA=18,AB=19. 过△ABC 点 P 向△ABC 的三边分别作垂线 PD、PE、PF(D、E、F 为垂足). 若 F

E

BD + CE + AF = 27. 求: BD + BF 的长.
解:设 BD

P
,则

y C

=x

, CE ,

=y



AF = z
, FB

DC = 17 ? x

AE = 18 ? y

B

= 19 ? z

x

D

连接 PA、PB、PC. 在 Rt△PBD 和 Rt△PFB 中,

x 2 + PD 2 = (19 ? z ) 2 + PF 2
同理:

y 2 + PE 2 = (17 ? x) 2 + PD 2 z 2 + PF 2 = (18 ? y ) 2 + PE 2
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将以上三式相加,得:

x 2 + y 2 + z 2 = (17 ? x) 2 + (18 ? y ) 2 + (19 ? z ) 2

∴17 x + 18 y + 19 z = 487 ……(1)
又已知:

x + y + z = 27 …………(2)
x ? z = ?1

由(1) (2)得:

BD + BF = 18. 即 x + (19 ? z ) = 18


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