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2014年人教A版选修2-2课件 1.6 微积分基本定理


本章内容 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 变化率与导数 导数的计算 导数在研究函数中的应用 生活中的优化问题举例 定积分的概念 微积分基本定理 定积分的简单应用 第一章 小结 1.6 微积分基本定理 习 题 1. 微积分基本定理是怎样的? 2. 怎样用微积分基本定理求定积分? 问题1. 试计算下列定积分, 看看计算中有什么 难点? 0 3

21 (1) ?? (2) x dx ; ?1 x dx . 1 (1) n 0 3 i ? 1)3 ? 1 x dx ? lim ( ? ??1 n?? i ?1 n n 3 2 n i 3 i 3 i 1 ? lim ? ( 3 ? 2 ? ? 1)? n ? ? i ?1 n n n n ? lim[ 13 (13 ? 23 ? ?? n3 ) ? 32 (12 ? 22 ? ?? n2 ) n? ? n n 1 ? 3 (1 ? 2 ? ?? n) ? (1 ? 1 ? ? ? 1 )] ? ?? ?? ? n n n个 1 1 1 1 1 1 1 2 3 ? lim[ (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? )(2 ? ) ? 1] ? ? . n? ? 4 n 2 n 2 n n 4 问题1. 试计算下列定积分, 看看计算中有什么 难点? 0 3 21 (1) ?? (2) x dx ; ?1 x dx . 1 n 1 1 1 (2) ? ? lim ? i ? 1 n n?? i ?1 n ? i n 1 1 1 ? lim ( ? ? ?? ) n? ? n ? 1 n ? 2 n? n ?? (1) 题计算较繁, (2) 题甚至无法算出. n 21 lim ? ?1 x dx ? n ? ? i ?1 出现问题: 求定积分是否有其它方法 问题2. 一物体作变速直线运动的运动函数是 y?y(t), 那么这个物体在时间段 [a, b] 内的位移是多少? y?y(t) 的导数 y?(t) 的物理意义是什么? 物体在时间段 [a, b] 内的位移 s?y(b)?y(a). y?y(t) 的导数 y?(t) 是这物体的速度函数, 即 v(t)?y?(t). 问题3. 一物体作变速直线运动的速度是 v?v(t), 那 b 么这个函数的定积分 ?a v(t )dt 的物理意义是什么? b ?a v(t )dt 表示物体在时间段 b s ? ?a v(t )dt. b ?a v(t )dt ? [a, b] 内的位移, 即 问题4. 由 “问题2” 与 “问题3” 你能得到什么结论? y(b) ? y(a), 其中 v(t)?y?(t). 【微积分基本定理】 (牛顿-莱布尼兹公式) 一般地, 如果 f(x) 是区间 [a, b] 上的连续函数, 并且 F?(x)?f(x), 那么 b ?a f ( x)dx ? F (b) ? F (a). 为了方便, 常把 F(b)?F(a) 记成 F ( x)|b a, 即 b b f ( x ) dx ? F ( x ) | ?a a ? F (b) ? F (a ). 微积分基本定理的几何意义: y y?F(x) 函数 y?F(x) 如图, Q B 取小区间 [xi?1, xi], D h △ si (1) F ?( xi ?1 ) ? CD ? i , hi PC ?x P C A △x 得 hi?F?(xi?1)△x. (2) F(xi)?F(xi?1)? AB ?△si. 必然 ?

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