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【教学同步】2015年秋高一数学人教版必修四教案:向量复习课(向量章节单元复习)

时间:2016-06-05


复习课 一、教学目标 1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向 量.两向量的夹角等概念。 2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾 相接) 。 4. 了解向量形式的三角形不等式:|| a |-| b |≤| a ± b |≤ | a |+| b |(试问:取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定

理:2(| a | 2 +| b | 2 )=| a - b | 2 +| a + b | 2 . 5. 了解实数与向量的乘法(即数乘的意义) : 6. 向量的坐标概念和坐标表示法 7. 向量的坐标运算(加.减.实数和向量的乘法.数量积) 8. 数量积(点乘或内积)的概念, a ? b =| a || b |cos ? =x 1 x 2 +y 1 y 2 注 意区别“实数与向量的乘法;向量与向量的乘法” 二、知识与方法 向量知识,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的 应用, 而它具有代数形式和几何形式的 “双重身份” 能融数形于一体, 能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点,所以 高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用: ①求模长; ②求夹角; ③判垂直 三、典型例题

例 1.对于任意非零向量 a 与 b ,求证:|| a |-| b ||≤| a ± b | ≤| a |+| b | 证明:(1)两个非零向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向与 a , b 的 方向都不同,并且| a |-| b |<| a ± b |<| a |+| b | (3)两个非零向量 a 与 b 共线时,① a 与 b 同向,则 a + b 的方向与
a . b 相同且| a + b |=| a |+| b |.② a 与 b 异向时,则 a + b 的方向

与模较大的向量方向相同,设| a |>| b |,则| a + b |=| a |-| b |.同理 可证另一种情况也成立。 例 2 已知 O 为△ABC 内部一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设
OA = a , OB = b , OC = c ,

且| a |=2,| b |=1,| c |=3,用 a 与 b 表示 c

i

j

解:如图建立平面直角坐标系 xoy,其中 i , j 是单位正交基底向量, 则 B(0,1) ,C(-3,0) ,设 A(x,y) ,则条件知 x=2cos(150° -90°),y=-2sin(150°-90°), 即A (1, - 3) , 也就是 a = i
b = j , c =-3 i 所以-3 a =3 3 b + c |即 c =3 a -3 3 b

- 3 j,

例 3.下面 5 个命题:①| a ?b |=| a |?| b |②( a ?b ) 2 = a 2 ?b 2 ③ a ⊥( b -
c ),则 a · c = b ?c

④ a ?b =0,则| a + b |=| a - b |⑤ a ?b =0,则 a = 0 或 )

b = 0 ,其中真命题是(

A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤ 三、 巩固训练 1.下面 5 个命题中正确的有( )

① a =b ? a ? ③a ? (b +c ) =a ? c =b ? c ;② a ? c =b ? c ? a =b ; c +b ? c;

④a? ( b ? c )= ( a ? b ) ?c ; A..①②⑤ B.①③⑤



a?b a
2

?

a b

. D. ①③

C. ②③④

2.下列命题中,正确命题的个数为( A ) ①若 a 与 b 是非零向量 ,且 a 与 b 共线时,则 a 与 b 必与 a 或 b 中之一 方向相同;②若 e 为单位向量,且 a ∥ e 则 a =| a | e ③a· a· a =| a | 3 ④

若 a 与 b 共线, a 与 c 共线,则 c 与 b 共线;⑤若平面内四点 A.B.C.D, 必有 AC + BD = BC + AD A 1 B 2 C 3 D 4

3.下列 5 个命题中正确的是 ①对于实数 p,q 和向量 a ,若 p a =q a 则 p=q②对于向量 a 与 b ,若 | a | a =| b | b 则 a = b ③对于两个单位向量 a 与 b ,若| a + b |=2 则 a = b ④对 于两个单位向量 a 与 b ,若 k a = b ,则 a = b 4.已知四边形 ABCD 的顶点分别为 A(2,1), B(5,4), C(2,7), D(-1,4), 求证:四边形 ABCD 为正方形。


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