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江苏省高邮市界首中学2015届高三高考模拟数学试题(9)参考答案

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2015 年高考模拟试卷(9)参考答案
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题
1. ?0,3? ; 7. 5? ; 2.1; 3.6; 4.7; 5.

2 ; 9

6.3 ;

???? ? 1 ??? ? ???? 7 8. (1,2] ; 9. ? ;10. ? ?2,6 ? .【解析】 AM ? AB ? m ? AC ,根据 9 4

向量分解基本定理,可得 m ? ? , ? ,

?1 3? ?4 4?

所以 AM ? BM ? AM ? BA ? AM ? ?

???? ? ???? ?

???? ? ??? ? ???? ?

?

?

? ???? ?? 3 ??? ? ???? ? ? 1 ??? AB ? m ? AC ?? ? AB ? m ? AC ? ?4 ?? 4 ?

? ??? ? ?? 3 ??? ? ??? ?? ? 1 ??? ? ? AB ? m ? AC ?? ? AB ? m ? AC ? ? ?3 ? 16m2 ? ? ?2,6 ? ?4 ?? 4 ?
11.? ??, ?2? . 【解析】 f ( x) ? 0 的解集为 (a ? 1, a ? 1) ,所以 f ( x) ? a ? 1 或 f ( x) ? a ? 1 恒 成立,又 f ( x) ? ? ?1, ?? ? ,所以 ?1 ? a ? 1 ? a ? ?2 . 12.x ? 6 y ? 7 ? 0 或 6 x ? y ? 7 ? 0 . 【解析】 设直线 l 与 l1 和 l2 的交点为 A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? ,

?x ? y ?1 ? 0 1 1 ? ? 根据题意可得 ? x2 ? y2 ? 6 ? 0 ,令 x1 ? x2 ? t ,可得 y1 ? y2 ? 5 ? t ,代入 ? 2 2 ? ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 37

? x1 ? x2 ?

2

? ? y1 ? y2 ? ? 37 可得 t ? 6 或 t ? ?1 ,而所求直线的斜率 k ?
2

y1 ? y2 5 ? t , ? x1 ? x2 t

代入可得 k ? ?

1 或 k ? ?6 ,所以所求直线的方程为 x ? 6 y ? 7 ? 0 或 6 x ? y ? 7 ? 0 . 6

? 1? 13. ④.【解析】 f ( x) ? x ln x ,所以 f ? ? x ? ? 1 ? ln x ,令 f ? ? x ? ? 1 ? ln x ? 0 ,得 x ? ? 0, ? , ? e? ? 1? ?1 ? 所以 f ( x) ? x ln x 在 ? 0, ? 内单调递减,而在 ? , ?? ? 内是单调递增,可知①不正确,令 e e ? ? ? ?

F ? x ? ? f ? x ? ? x ,则 F ? ? x ? ? f ? ? x ? ? 1 ? ln x ,可得 F ? x ? ? f ? x ? ? x 在 ? 0, ?? ? 不是单调的,
所以②③不正确,令 G ? x ? ?
f ? x? x ? ln x ,得 G ? x ? ? f ? x? x

是单调递增,所以④正确.

14.4n2 ? 2n ? 12 . 【解析】考察 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 中 i ? j ? ?3, 2n ? 1? ,S 中的元素组成 2 n ? 3 项的等差数列, a1 ? a2 ? 8, an?1 ? an ? 4n ,所以各元素之和为 4n2 ? 2n ? 12 . 二、解答题 15.(1) AB ? AC ? AB ? AC cos ?BAC ? 1 ? cos ?BAC ?

1 2 在⊿ABC 中由余弦定理知 BC 2 ? AC 2 ? AB 2 ? 2 AB ? AC ? cos ?BAC ? 3 所以 BC ? 3 .

??? ? ??? ?

(2)在⊿ABC 中, AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? ?ACB ?

?
2

,

? 3 4 sin ?BCD ? sin(?ACD ? ) ? cos ?ACD ? (?ACD ? (0,? )) ? sin ?ACD ? , 2 5 5 1 1 4 2 S?ACD ? CA CD sin ?ACD ? ?1?1? ? . 2 2 5 5
16.(1)过点 D 作 DO⊥BC,O 为垂足. 因为面 DBC⊥ 面 ABC,又面 DBC∩面 ABC=BC,DO ?面 DBC, 所以 DO⊥ 面 ABC.又 AE⊥ 面 ABC,则 AE//DO. 又 AE ? 面 DBC,DO ?面 DBC,故 AE // 面 DBC. (2)由(1)知 DO⊥ 面 ABC,AB?面 ABC,所以 DO⊥AB. 又 AB⊥ BC,且 DO∩BC=O,DO,BC?平面 DBC,则 AB⊥ 面 DBC. 因为 DC ?面 DBC,所以 AB⊥ DC.又 BD⊥ CD,AB∩DB=B,AB,DB?面 ABD,则 DC⊥ 面 ABD. 又 AD? 面 ABD,故可得 AD⊥ DC. 2 14 4 17.(1) 由题意得 M , ,又因为 y? ? ?2 x ,所以直线 l 的斜率 k ? ? , 3 9 3 14 4 2 4 22 故直线 l 的方程为 y ? ? ? x ? ,即 y ? ? x ? . 9 3 3 3 9 (2) 由(1)易知 l : y ? (2 ? t 2 ) ? ?2t ( x ? t ) ,即 y ? ?2tx ? t 2 ? 2 . 1 2 令 y ? 0 得 x ? t ? ,令 x ? 0 得 y ? t 2 ? 2 . 2 t 1 2 ? ? t ? ≤2 , 由题意 ? 2 解得 2 ? 2 ≤ t ≤1 . t 2 ? ?t ? 2 ≤ 3 1 1 2 1 4 ? S?ODN ? ? t ? ? t 2 ? 2? ? t 3 ? 4t ? . 2 2 t 4 t 1 3 4 令 g ? t ? ? t ? 4t ? , 4 t 2 2 1 4 3t 4 ? 4t 2 ? 4 ? t ? 2 ?? 3t ? 2 ? ? 则 g ? ? t ? ? 3t 2 ? 4 ? 2 ? . 4t 2 4 t 4t 2 6 6 6 6 ? 0 ;当 t ? 2 ? 2, ? 0; 当t ? 时, g ? 时, g ? 3 3 3 3

? ?

? ?

? ?
? ?

? ?

? ?

?

?

?

? ?

?

?

?

? ?

当t ?(

6 6 ,1) 时, g ?( ) ? 0 3 3

6 6 8 时, g (t )min ? g ( )? 6. 3 3 9 8 6. . ? 所求面积的最小值为 6 ? 9 18.(1)依题意,设此椭圆方程为 mx2 ? ny 2 ? 1 ,

?当 t ?

过点 M (4, 2) 、 N ( 6,3) ,可得 ? 解之得 m ?

?16m ? 4n ? 1 , ?6m ? 9n ? 1

1 1 ,n ? , 24 12

x2 y 2 ? ?1. 所以椭圆 C 的方程为 24 12
(2)(i)当直线 OP, OQ 的斜率均存在时,不妨设直线 OP : y ? k1 x , OQ : y ? k2 x 依题意

| k1 x0 ? y0 | 1? k
2 1

2 2 ? 8)k12 ? 2x0 y0k1 ? y0 ?8 ? 0 , ? 2 2 ,化简得 ( x0

2 2 2 同理 ( x0 ? 8)k2 ? 2x0 y0k2 ? y0 ?8 ? 0. 2 2 所以 k1 , k2 是方程 ( x0 ? 8)k 2 ? 2x0 y0k ? y0 ? 8 ? 0 的两个不相等的实数根,

k1k2 ?

2 ?8 ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac c y0 . ? ? ? 2 2a 2a a x0 ? 8



2 x0 y2 1 2 2 ? 12 ? x0 ? 0 ? 1 ,所以 y0 . 2 24 12

1 2 x0 1 ?? , 所以 k1k2 ? 2 2 x0 ? 8 2 4?
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则

1 y1 y2 1 2 2 ? x12 x2 , ? ? ? ,所以 y12 y2 4 x1 x2 2

? x12 y12 1 ? 2 y1 ? 12 ? x12 ? ?1 ? ? ? ? 24 12 2 因为 ? ,所以 ? , 2 2 ? y 2 ? 12 ? 1 x 2 ? x2 ? y2 ? 1 2 2 ? ? ? 2 ? 24 12
所以 (12 ?

1 2 1 2 1 2 x1 )(12 ? x2 ) ? x12 x2 , 2 2 4

2 2 2 所以 x1 ? x2 ? 24 , y12 ? y2 ? 12 ,

所以 OP2 ? OQ2 ? 36 . (ii)当直线 OP, OQ 落在坐标轴上时,显然有 OP2 ? OQ2 ? 36 综上, OP2 ? OQ2 ? 36 . -4x 1 1 2 19. (1)①当 b=-1 时,f(x)= - = ,则 f ′(x)= ,可得 f ′( 2)=-4 2, 2 x-1 x+1 x2-1 (x -1)2 又 f( 2)=2, 故所求切线方程为 y-2=-4 2(x- 2),即 4 2x+y-10=0. ②当 λ=-1 时,f(x)= 1 1 1 1 - , x-1 x-b

b+1 2(b-1)(x- ) 2 (x-1)2-(x-b)2 则 f ′(x)=- + = = . (x-1)2 (x-b)2 (x-1)2(x-b)2 (x-1)2(x-b)2 b+1 1 因为 b<0,则 b-1<0 ,且 b< < 2 2 b+1 b+1 故当 b<x< 时,f ′(x)>0,f(x)在(b, )上单调递增; 2 2 b+1 b+1 1 1 当 <x< 时,f ′(x)<0,f(x)在( , )单调递减. 2 2 2 2 b+1 1 1 1 1 1 9b-9 (Ⅰ)当 ≤ ,即 b≤- 时,f(x)在[ , ]单调递减,所以[f(x)]max=f( )= ; 2 3 3 3 2 3 2-6b b+1 1 b+1 1 1 4 (Ⅱ)当 < < ,即- <b<0 时,[f(x)]max=f( )= . 3 2 2 3 2 b-1

综上所述,[f(x)]max

? b-1,-3<b<0, =? 9b-9 1 ? 2-6b,b≤-3.

4

1

,

1 1 (2) f(x)≥1 即 + ≥1. (*) x-a x-b ①当 x<b 时,x-a<0,x-b<0,此时解集为空集. ②当 a>x>b 时,不等式(*)可化为 (x-a)+(x-b)≤(x-a)(x-b), 展开并整理得,x2-(a+b+2)x+(ab+a+b)≥0, 设 g (x)=x2-(a+b+2)x+(ab+a+b), 因为△ =(a-b)2+4>0,所以 g (x)有两不同的零点,设为 x1,x2(x1<x2),

又 g (a)=b-a<0,g (b)=a-b>0,且 b<a, 因此 b<x1<a<x2, 所以当 a>x>b 时,不等式 x2-(a+b+2)x+(ab+a+b)≥0 的解为 b<x≤x1. ③当 x>a 时,不等式(*)可化为 (x-a)+(x-b)≥(x-a)(x-b), 展开并整理得,x2-(a+b+2)x+(ab+a+b)≤0, 由②知,此时不等式的解为 a<x≤x2 , 综上所述,f(x)≥1 的解构成的区间为(b,x1]∪(a,x2], 其长度为(x1-b)+(x2-a)=x1+x2-a-b=a+b+2-a-b=2. n2+n 20.(1)若 an=n,则 Sn= , 2 ①取 M1=S1=1,M2=S4-S1=9,M3=S13-S4=81,满足条件 M22=M1M3, 此时 t1=1,t2=4,t3=13. ②由①知 t1=1,t2=1+3,t3=1+3+32,则 M1=1,M2=32,M3=92, 3n-1 - 一般的取 tn=1+3+32+…+3n 1= , 2 3n-1 3n-1 3n-1-1 3n-1-1 (1+ ) (1+ ) 2 2 2 2 此时 Stn = , Stn?1 = , 2 2 3n-1 3n-1 3n-1-1 3n-1-1 (1+ ) (1+ ) 2 2 2 2 - 则 M n = Stn - Stn?1 = - =(3n 1)2, 2 2 所以 M n 为一整数平方. 因此存在数列{tn},使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方. (2)假设存在数列{tn},使得{Mn}为等比数列,设公比为 q. 因为 Sn=n2,所以 Stn =tn2,则 M1=t12,当 n≥2 时,Mn=tn2-tn-12=qn r 因为 q 为正有理数,所以设 q= (r,s 为正整数,且 r,s 既约). s 因为
- rn 1 2 2 2 tn -tn-1 必为正整数,则 n-1t1 ∈N*,由于 -1

t12,

s

t12 r,s 既约,所以 n-1必为正整数. s

t12 t12 若 s≥2,且{tn}为无穷数列,则当 n>logst12+1 时, n-1<1,这与 n-1为正整数相矛盾.于是 s s s =1,即 q 为正整数. 注意到 t32=M3+M2+M1=M1(1+q+q2)=t12 (1+q+q2),于是 t32 =1+q+q2. 2 t1

因为 1+q+q2∈N*,所以

t32 ∈N*. 2 t1

t3 t3 又 为有理数,从而 必为整数,即 1+q+q2 为一整数的平方. t1 t1 但 q2<1+q+q2<(q+1) 2,即 1+q+q2 不可能为一整数的平方. 因此不存在满足条件的数列{tn}. 第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.A.因为 BE 切⊙O 于点 B,所以 ?CBE ? ?BAC ? 60? , 因为 BE ? 2 , BC ? 4 ,所以 ?BEC ? 90? ,则 EC ? 2 3 . 又因为 BE 2 ? EC ? ED ,所以 ED ? 所以 CD ? EC ? ED ? 2 3 ? B.(1) M1 ? ?
2 3 , 3

2 3 4 3 ? . 3 3

?0 ?1? ?2? ?0 ?1? ?2? ? ?1? , M1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 0 ? ? 1 ? ?1 0 ? ? 1 ? ? 2 ? 所以点 P(2,1) 在 T1 作用下的点 P ' 的坐标是 P '(?1, 2) .

? x0 ? ?1 ?1? ?x? , 设 ? ? 是变换后图像上任一点, 与之对应的变换前的点是 ? ? , ? ? y? ?1 0 ? ? y0 ? ? x0 ? ? x ? ? x0 ? y0 ? x ? x0 ? y 则 M ? ? ? ? ? ,也就是 ? ,即 ? , ? x0 ? y ? y0 ? y ? x ? y0 ? ? y ?
(2) M ? M 2 M1 ? ? 所以所求曲线的方程是 y ? x ? y 2 . C.(1)直线的参数方程为 ? ?
?
? 3 x ? 1? t 6 ,即 ? ? 2 . ? ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2

x ? 1 ? t cos

?

? 3 x ? 1? t ? ? 2 2 2 (2)把直线 ? 代入 x ? y ? 4 , ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 , t1t2 ? ?2 , 2 2

则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 . D.由题知, x ? 1 ? x ? 2 ? 故 | x ? 1| ? | x ? 2 | 不大于

a ?b ? a ?b a
a

恒成立,

a ?b ? a ?b

的最小值,

∵|a ? b | ? | a ? b | ≥|a ? b ? a ? b |? 2 | a | ,当且仅当 ? a ? b ?? a ? b ?≥0 时取等号,



a ?b ? a ?b a

的最小值等于 2.

1 5 ∴x 的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2 的解,解不等式得 ≤x≤ . 2 2 22.(1)依题意,数对(x,y)共有 16 种,其中使 x 为整数的有以下 8 种: y (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,2), 所以 P(? ? 0) ? 8 ? 1 ; 16 2 (2)随机变量 ? 的所有取值为 ?1 , 0 , 1 , ? ? ?1 有以下 6 种:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4), 故 P(? ? ?1) ? 6 ? 3 ; 16 8 ? ? 1 有以下 2 种:(3,2),(4,3),故 P(? ? 1) ? 2 ? 1 ; 16 8 所以 ? 的分布列为: ? 0 1 ?1 3 1 1 P 8 8 2
E (? ) ? ?1 ? 3 ? 0 ? 1 ? 1? 1 ? ? 1 , 8 2 8 4 答: ? 的数学期望为 ? 1 . 4

23. 构造 An 的对偶式 Bn ? a ? b
2

?

2 n

?

cos n? , 下面用数学归纳法证明更强的结论:An ,Bn 都

是整数.

2ab a 2 ? b2 2 2 (1)当 n ? 1 时,由 sin ? ? 2 知 cos ? ? 2 ,则 A1 ? ? a ? b ? sin ? ? 2ab , 2 2 a ?b a ?b
B1 ? ? a 2 ? b 2 ? cos ? ? a 2 ? b 2 ,于是 A1 , B1 都是整数;
2 2 (2)假设当 n ? k 时, Ak 、 Bk 都是整数,则当 n ? k ? 1 时, Ak ?1 ? a ? b

?

?

k ?1

sin

?k ? 1?? ? ?a 2 ? b2 ?k ?1 ?sin k? cos ? ? cos k? sin ? ? ? Ak B1 ? Bk A1 ? Z .
同理可得, Bk ?1 ? Bk B1 ? Ak A 1 ? Z .由(1)、(2)知 An 、 Bn 都是整数.


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