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实验中学函数导数测试题精选(有详解答案)修改


实验中学函数导数测试题精选
一、选择题

1.由直线 x ? ?
A.

?
3

,x?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为

1 2

B.1

>
C.

3 2

D. 3

2.对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( a ? 0 ) ,定义:设 f ??( x) 是函数 y ? f ?( x) 的
导数, 若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0, 则称点 0, x0) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”. (x ( ) f 有 同学发现:“任何一个三次函数都有?拐点?;任何一个三次函数都有对称中心;且?拐点? 就是对称中心. ”请你将这一发现为条件, 若函数 g ( x) ?

1 3 1 2 5 1 , x ? x ? 3x ? ? 3 2 12 x ? 1 2



g(

1 2 3 4 2010 ) ? g( ) ? g( ) ? g( ) ??? g( ) =( ) 2011 2011 2011 2011 2011
(B)2011 (C)2012 (D)2013

(A)2010

3.已知函数 f(x)的定义域为[-1,4] ,部分对应值
如下表, f(x)的导函数 y ? f ?( x) 的图象如上右图所 示。当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 的零点的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 O 2 3 x f(x) y -1 1 0 2 2 0 3 2 4 0

4.过点 P(2, ?2) 且与曲线 y ? 3x ? x3 相切的
-1 直线方程是( ) (A) y ? ?9 x ? 16 (C) y ? ?2 (B) y ? 9 x ? 20

4

x

(D) y ? ?9 x ? 16 或 y ? ?2

5.设 a 为实数,函数 f(x)= x 3 ? ax 2 ? (a ? 2) x 的导数是 f ' ( x ) ,且 f ' ( x ) 是偶函数,
则曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为( A. y ? ?2 x B. y ? 3 x ) C. y ? ?3 x D. y ? 4 x

6.曲线 y ? sin x(0 ? x ? ? )与x 轴所围成图形的面积为

1

A.1
1 1

B.2

C.

? 2
)

D. ?

7.设 a ? ? cos xdx, b ? ? sin xdx, 下列关系式成立的是(
0 0

A.

a?b

B.

a ?b ?1

C.

a?b

D.

a ?b ?1


8.由曲线 y= x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为(
A.

10 3
) A.
1 2

B.4

C.

16 3

D.6

9.如图所示,曲线 y ? x 2 和曲线 y ? x 围成一个叶形图(阴影部分) ,则该叶形图的面积是


B.

1 4

C.

1 6

D.

1 3

10.设 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c ,当 x ? (0,1) 时取得极大值, 3 2 b?2 当 x ? (1,2) 时取得极小值,则 的取值范围为( ) a ?1 1 1 1 ( ( A.1,4) B. ,1) C. , ) ( 4 2 2

( D. ,1)

1 4

11.用长度分别为 2、3、4、5、6(单位: cm )的 5 根细木棒围成一个三角形(允许连接,
但不允许折断) ,能够得到的三角形的最大面积为( A. 8 5cm
2


2

B. 6 10cm

2

C. 3 55cm

D. 20cm

2

12.对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( a ? 0 ) ,定义:设 f ??( x) 是函数 y ? f ?( x) 的
导数, 若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0, 则称点 0, x0) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”. (x ( ) f 有 同学发现:“任何一个三次函数都有?拐点?;任何一个三次函数都有对称中心;且?拐点? 就是对称中心. ”请你将这一发现为条件, 若函数 g ( x) ?

1 3 1 2 5 1 , x ? x ? 3x ? ? 3 2 12 x ? 1 2



g(

1 2 3 4 2010 ) ? g( ) ? g( ) ? g( ) ??? g( ) =( ) 2011 2011 2011 2011 2011
(B)2011 (C)2012 (D)2013

(A)2010

2

二、填空题

13.已知函数 f (x)=(ax2+x)-xlnx 在[1,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围
是 .

14.设函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象在 x ? 0 处的切线方程 24x ? y ? 12 ? 0 则
c ? 2d ?

15.由曲线 f(x)= x与 x 轴及直线 x ? m(m ? 0) 围成的图形面积为 16.已知函数 f ? x ? ?

16 ,则 m 的值为 3



1 1 3 x ? sin x ? cos x 的图像在点 A? x0 , y0 ? 处的切线斜率为 1,则 2 4 4

tan x0 ? ___.___.
三、解答题

1 17.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? (a ? 1) x(a ? R且a ? 0) . 2
(1)求函数 f (x) 的单调递增区间; (2) 记函数 y ? F (x) 的图像为曲线 C .设点 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) 是曲线 C 上不同两点. 如果在曲线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) 使得:① x 0 ?

x1 ? x 2 ;②曲线 C 在点 M 处的切 2

线平行于直线 AB ,则称函数 F (x ) 存在“中值相依切线”. 试问:函数 f (x) 是否存在“中值相依切线”,请说明理由.

18.(本题满分 13 分)
已知函数 f ( x) ? ln x ? ax(a ? R) (1)求 f (x) 的单调区间; (2)若 a ? 1, b ? 0 ,函数 g ( x) ?

1 3 bx ? bx ,若对任意的 x1 ? (1,2) ,总存在 x2 ? (1,2) , 3

使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围。

19.张林在李明的农场附近建了一个小型工厂,由于工厂生产须占用农场的部分资源,因此
李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入. 工厂在不赔付农场的情况下, 工厂 的年利润 x (元)与年产量 t (吨)满足函数关系 x ? 2000 t .若工厂每生产一吨产品必 须赔付农场 s 元(以下称 s 为赔付价格) .
3

(1)将工厂的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出工厂获得最大利润的 年产量; (2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额 y ? 0.002 2 (元) ,在工厂按照获得最大 t 利润的产量进行生产的前提下, 农场要在索赔中获得最大净收入, 应向张林的工厂要求赔付 价格 s 是多少?

20.已知函数 f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中 A∈R.
(1)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; (2)当 a≠2/3 时,求函数 f(x)的单调区间与极值.

21.(满分 12 分)设函数 f ( x) ? 2 ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? .
2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调递增区间; (II)若关于 x 的方程 f ? x ? ? x2 ? 3x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4? 内恰有两个相异的实根,求实数 a 的取值范围.

22.(本小题满分 13 分)设 x1、x2 是函数 f ( x) ?
(1)若 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,求证: f ?(?2) ? 3

a 3 b ?1 2 x ? x ? x (a ? 0) 的两个极值点, 3 2

(2)如果 | x1 |? 2 , | x2 ? x1 |? 2 ,求 b 的取值范围

23.若函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数为 0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 f ( x) 的驻点,若点(1,1)
为函数 f(x)的驻点,则称 f(x)具有“1—1 驻点性”. (1)设函数 f(x)= ? x ? 2 x ? a ln x ,其中 a ? 0 . ①求证:函数 f(x)不具有“1—1 驻点性”;②求函数 f(x)的单调区间. (2)已知函数 g(x)=bx3+3x2+cx+2 具有“1—1 驻点性”,给定 x1,x2?R,x1<x2,设 λ 为实数, x1+λx2 x2+λx1 且 λ≠ ?1 ,α= ,β= ,若|g(α) ? g(β)|>|g(x1) ? g(x2)|,求 λ 的取值范围. 1+λ 1+λ

24.(本小题满分 12 分)
x 2 已知函数 f ( x) ? e (ax ? 2 x ? 2) , a ? R 且 a ? 0 .

⑴ 若曲线 y ? f ( x) 在点 P(2, f (2)) 处的切线垂直于 y 轴,求实数 a 的值; ⑵ 当 a ? 0 时,求函数 f (| sin x |) 的最小值.

4

25.(本小题满分 12 分)
已知函数 g ( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? a ln x (1) 当 a ? 1 时, 求函数 g (x) 的单调增区间; (2) 求函数 g (x) 在区间 ?1, e? 上的最小值; (3) 在(1)的条件下,设 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? x 2 ? 2 ln x ,

证明:

1 3n 2 ? n ? 2 ? ? k ? f (k ) n(n ? 1) (n ? 2) .参考数据: ln 2 ? 0.6931 . k ?2
n

26.(本小题满分 12 分)
(, 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 2 x 在 x ? ?1 处取得极值, 且在点 1 f (1)) 处的切线斜率为 2.
求 a, b 的值

1 [ ,2] 若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? 2x ? x ? m ? 0 在区间 2 上恰有两个不相等的实数根,求
3 2

实数 m 的取值范围。

5

试卷答案
1.D
根据积分的应用可知所求面积为 选 D.

? ? cos xdx ? sin x
3 ? 3

?

?
3 ?

?
3

? sin

?

? sin(? ) ? 2sin ? 3 , 3 3 3

?

?

2.A
令 h( x ) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? , m( x) ? 3 2 12
2

1 x? 1 2

?

2 ,则 g(x)=h(x)+m(x) . 2x ?1
1 ,所以 h(x)的对称中 2

则 h '( x) ? x ? x ? 3 , h ''( x) ? 2 x ? 1 令 h ''( x) ? 2 x ? 1 ? 0, x ? 心为( ,1) .

设点 p(x0,y0)为曲线上任意一点,则点 P 关于( ,1)的对称点 P′(1﹣x0,2﹣y0)也 在曲线上, ∴h(1﹣x0)=2﹣y0 ,∴h(x0)+h(1﹣x0)=y0+(2﹣y0)=2. ∴h( =[h( +h( )+h( )+h( )+h( )]+[h( )+h( )+h( )+…+h( )]+[h( ) )+h( )]+…+[h( )

)]=1005× 2=2010. 的对称中心为( ,0) ,可得 m(x0)+m(1﹣x0)=0. )+m( )]+[m( )]=1005× 0=0. )+g( )+…+h( )+m( )+g( ) )+m( )+…+m( ) )+…+g( )=h( )+h( ) )+m( )+m( )+…+m( )]+[m( ) )+m( )]+…+[m

由于函数 m(x)= ∴m( =[m( ( ∴g( +h( +m( )+m( )+m( )+m( )+g( )+h( )+m(

=2010+0=2010,选 A.

3.C 4.D
6

设 点 ( a ,b )是 曲 线 上 的 任 意 一 点 , 则 有 b ? 3a ? a 。 导 数 y ' ? 3 ? 3x2 则 切 线 斜 率
3

k ? 3 ? 3a 2









线




2 b? )



y ? b ? (3 ? 3a2 )( x ? a)





y?(

3 ?2 a 3

x? )

a 2? 3a ? ( 3

? a3 3 x ? 3 , ) 3整 a3理 ( a ? ?
2

a得 ? 3

a 3

y ? (3 ? 3a2 ) x ? 2a3 , 将 点 P( 2,? 2 )代 入 得 ?2 ? 2(3? 32 )? a3 ? a3 ? a ? , 即 a 2 2 6 6
a3 ? 3a 2 ? 4 ? 0 ,即 a3 ? 1 ? 3a2 ? 3 ? (a3 ? 1) ? 3( a2 ?1) ? 0 ,整理得 (a ? 1)(a ? 2)2 ? 0 .

5.A 略 6.B
根据积分的应用可知所求面积为

?

?

0

sin xdx ? (? cos x)

?
0

? 2 ,选 B.

7.A 8.C 9.D
? y ? x2 ?x ? 1 ?x ? 0 ? 由? ,解得 ? 或? ,所以根据积分的应用可得阴影部分的面积为 ?y ? x ?y ?1 ?y ? 0 ?

2 3 1 2 1 1 2 ( x ? x2 ) d x? ( x ? 3 )01 ? ? ? ,选 D. x ?0 3 3 3 3 3
1

10.D11.B 可以利用椭圆分析。
三边的和为 20,以 6 为长轴得到椭圆,另一顶点在椭圆短轴处面积最大,此时另两边长为 7.

12.A13.[ 16. ? 3

1 ,+∞)14.0 2e

15.4

函 数 的 导 数 f '( x) ?

1 1 3 1 1 3 ? cos x ? sin x , 由 f '( x) ? ? cos x0 ? sin x0 ? 1 得 2 4 4 2 4 4

? ? ? 1 3 x ? ) , 1所 以 x0 ? ? 2k? ? , k ? Z , 即 ? cos x0 ? sin x0 ? 1 , 即 s i n 0(? 6 6 2 2 2
x0 ? 2k? ? 2? 2? 2? , k ? Z .所以 tan x0 ? tan(2k? ? ) ? tan ?? 3. 3 3 3

17.

7

1 ? 函数 f ( x) 在 (0,1) 和 (? , ??) 上单调递增 a
综上所述:⑴当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增 ⑵当 a ? ?1 时,函数 f ( x) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增 ⑶当 a ? ?1 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; ⑷当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0,1) 和 ( ?

。。。。。。6 分 。。。。。

1 a

1 , ??) 上单调递增 a

………….7 分

依题意得:

ln x2 ? ln x1 1 x ?x 2 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) . x2 ? x1 2 x1 ? x2 2

8

化简可得:

x 2( x2 ? x1 ) ln x2 ? ln x1 2 ? , 即 ln 2 = ? x1 x2 ? x1 x1 ? x2 x2 ? x1

2(

x2 ? 1) x1 . x2 ?1 x1

….11 分



2(t ? 1) 4 4 x2 ? 2? ? 2. , ln t ? ? t ( t ? 1 ),上式化为: ln t ? t ?1 t ?1 t ?1 x1

令 g (t ) ? ln t ?

(t ? 1)2 1 4 4 , g '(t ) ? ? .因为 t ? 1 ,显然 g '(t ) ? 0 , 所以 g (t ) 在 ? t ?1 t (t ? 1) 2 t (t ? 1)2

18.

19.解:(Ⅰ)工厂的实际年利润为: w ? 2000 t ? st ( t ? 0 ).
w ? 2000 t ? st ? ? s( t ? 1000 2 10002 ) ? , s s

9

? 1000? 当 t ? ? s ? 时, w 取得最大值. ? ? ? 1000? 所以工厂取得最大年利润的年产量 t ? ? s ? (吨). ? ?
(Ⅱ)设农场净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t 2 .
2

2

? 1000? 10002 2 ? 10003 ? 将 t ? ? s ? 代入上式,得: v ? . ? ? s s4
10002 8 ?10003 10002 (8000? s 3 ) ? ? s2 s5 s5 令 v ? ? 0 ,得 s ? 20 . 当 s ? 20 时, v ? ? 0 ;当 s ? 20 时, v ? ? 0 ,


2

v? ? ?

所以 s ? 20 时, v 取得最大值.

20.(1)解: 当a ? 0时,f ( x) ? x 2 e x ,f ' ( x) ? ( x 2 ? 2x)e x,故f ' (1) ? 3e.

所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 e. 3
(2) 解:f ' ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 2a 2 ? 4a e x .

?

?

令f ' ( x) ? 0,解得 x ? ?2a,或 x ? a ? 2.由a ?
以下分两种情况讨论。 (1) 若a >

2 知, 2a ? a ? 2. ? 3

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

? x ?? ?, 2a ?
+ ↗

? 2a
0 极大值

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2
0 极小值

?a ? 2, ?? ?
+ ↗

所以f ( x)在(??, 2a), ? 2, ?)内是增函数,在 ?2a,a ? 2)内是减函数 ? (a ? ( .
函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值 (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . f 函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值 (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . f
(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

x

?? ?,a ? 2?
+ ↗

a?2
0 极大值

?a ? 2, 2a ? ?
— ↘

? 2a
0 极小值

?? 2a, ?? ?
+ ↗

10

所以f ( x)在(??,a ? 2), 2a, ?)内是增函数,在a ? 2, 2a)内是减函数。 (? ? ( ?
函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值 (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . f 函数f ( x)在x ? ?2a处取得极小值 (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . f
21.解: (1)函数 f ? x ? 的定义域为 ?1, ?? ? ,………………………………………………1 分
∵ f ?( x) ? 2 ?

2x ? x ? 2? ? 1 ? , ? ? x ? 1?? ? ? x ?1 ? x ?1 ?

………………………………………2 分

∵ x ? 1 ,则使 f ?( x) ? 0 的 x 的取值范围为 ?1, 2 ? , 故函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, 2 ? . (2)方法 1:∵ f ( x ) ? 2 ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ,
2

……………………………………………4 分

∴ f ( x) ? x ? 3x ? a ? 0 ? x ? a ? 1 ? 2ln ? x ?1? ? 0 .
2

…………………………6 分

令 g ? x ? ? x ? a ? 1 ? 2ln ? x ?1? , ∵ g ?( x) ? 1 ?

2 x ?3 ? ,且 x ? 1 , x ?1 x ?1

由 g ?( x) ? 0得x ? 3,g ?( x) ? 0得1 ? x ? 3 . ∴ g ( x) 在区间 [2,3] 内单调递减,在区间 [3, 4] 内单调递增, ……………………8 分

? g (2) ? 0, ? 故 f ( x) ? x ? 3x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4? 内恰有两个相异实根 ? ? g (3) ? 0, ? g (4) ? 0. ?
2

……10 分

?a ? 3 ? 0, ? 即 ? a ? 4 ? 2 ln 2 ? 0, 解得: 2ln 3 ? 5 ? a ? 2ln 2 ? 4 . ?a ? 5 ? 2 ln 3 ? 0. ?
综上所述, a 的取值范围是 ? 2ln3 ? 5, 2ln 2 ? 4? . 方法 2:∵ f ( x ) ? 2 ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ,
2

………………………………12 分

∴ f ( x) ? x ? 3x ? a ? 0 ? x ? a ? 1 ? 2ln ? x ?1? ? 0 .
2

…………………………6 分

即 a ? 2ln ? x ?1? ? x ?1 ,

11

令 h ? x ? ? 2ln ? x ?1? ? x ?1 , ∵ h?( x) ?

2 3? x ?1 ? ,且 x ? 1 , x ?1 x ?1

由 h?( x) ? 0得1 ? x ? 3, h?( x) ? 0得x ? 3 . ∴ h( x) 在区间 [2,3] 内单调递增,在区间 [3, 4] 内单调递减.……………………8 分 ∵ h ? 2? ? ?3 , h ? 3? ? 2ln 2 ? 4 , h ? 4? ? 2ln3 ? 5 , 又 h ? 2? ? h ? 4? , 故 f ( x) ? x2 ? 3x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4? 内恰有两个相异实根 ? h ? 4? ? a ? h ? 3? . ……………………………………10 分 即 2ln 3 ? 5 ? a ? 2ln 2 ? 4 . 综上所述, a 的取值范围是 ? 2ln3 ? 5, 2ln 2 ? 4? . ……………………………12 分

22.(1)由已知得: f ?( x) ? ax2 ? (b ?1) x ? 1 ,? x1、x2 是方程 f ?( x) ? 0 的两根,
且 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,所以, ?

?4a ? 2b ? 1 ? 0 ? f ?(2) ? 0 ,即 ? , ?16a ? 4b ? 3 ? 0 ? f ?(4) ? 0

而 f ?(2) ? 4a ? 2b ? 3 ? ?3 f ?(2) ? f ?(4) ? 3 ? 3 ? f ?(?2) ? 3 ks5u

1? b ? ? x1 ? x2 ? a x ? x2 1 1 1 1 ? (2)由韦达定理 ? ,所以 1 ? b ? 1 ? ? ,即 b ? 1 ? ( ? ) , x1 x2 x1 x2 x1 x2 ?x x ? 1 ? 1 2 a ?
当 0 ? x1 ? 2 时,由 x1 x2 ? 所以 b ? 1 ? (

1 ? 0 ,得 x2 ? 0 ,这时,由 | x2 ? x1 |? 2 ,得 x2 ? x1 ? 2 a

1 1 ?1 1? 1 ? ) 是关于 x1 的增函数,故 b ? 1 ? ? ? ? ? ; x1 x1 ? 2 ?2 4? 4
1 ? 0 得 x2 ? 0 ,这时,由 | x2 ? x1 |? 2 ,得 x2 ? x1 ? 2 , a

当 ? 2 ? x1 ? 0 时,由 x1 x2 ? 所以 b ? 1 ? (

1 1 1 ? 7 ? 1 ? ) 也是关于 x1 的增函数,故 b ? 1 ? ? ? ?? ; x1 x1 ? 2 ? ?2 ?2?2? 4

综上可得: b 的取值范围是。 略

23.解: (Ⅰ)① f ?(x ) =-1+

1 a + ∵ f ?(1) =-1+1+a≠0, x x

12

∴函数 f(x)不具有“1—1 驻点性” -x+ x+a ②由 f ?(x ) = = x 1 1 -( x- )2+a+ 2 4 x

1 1 (ⅰ)当 a+ <0,即 a<- 时, f ?(x ) <0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数; 4 4 1 1 (ⅱ)当 a+ =0,即 a=- 时,显然 f ?(x ) ≤0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数; 4 4 1 1 1 (ⅲ)当 a+ >0,即 a>- 时,由 f ?(x ) =0 得 x= ± 4 4 2 1 1 当- <a<0 时, 4 2 1 x?( a+ 2 1 1 a+ , a+ + 4 2 1 1 a+ >0∴x?(0, a+ 4 2 1 a+ 4

1 a+ )时, f ?(x ) <0; 4 1 a+ , +∞)时, f ?(x ) <0; 4

1 1 a+ )时, f ?(x ) >0; x?( a+ + 4 2

1 综上所述:当 a≤- 时,函数 f(x)的单调递减区间为(0,+∞); 4 1 1 当- <a<0 时,函数 f(x)的单调递减区间为(0, a+ 4 2 1 函数 f(x)的单调递增区间为( a+ 2 1 1 a+ , a+ + 4 2 1 1 a+ )和( a+ + 4 2 1 a+ ,+∞), 4

1 a+ ); 4

(Ⅱ)由题设得: g ?(x ) =3bx2+6x+c,∵g(x)具有“1—1 驻点性”∴ g (1) ? 1 且 g ?(1) ? 0
?b+3+c+2=1 ?b=-1 即? 解得? ∴ g ?(x ) =-3x2+6x-3=-3(x-1)2≤0,故 g(x)在定义域 R 上单调递减. ?3b+6+c=0 ?c=-3

x1+λx2 x1+λx1 x1+λx2 x2+λx2 ①当 λ≥0 时,α= ≥ =x1,α= < =x2,即 α?[x1,x2),同理 β?(x1,x2] 11 分 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ 由 g(x)的单调性可知:g(α),g(β)?[ g(x2),g(x1)]∴|g(α)-g(β)|≤|g(x1)-g(x2)|与题设|g(α)-g(β)|> |g(x1)-g(x2)|不符. x1+λx2 x1+λx1 x2+λx1 x2+λx2 ②当-1<λ<0 时,α= < =x1,β= > =x2 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ 即 α<x1<x2<β∴g(β)<g(x2)<g(x1)<g(α)∴|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|,符合题设 x1+λx2 x2+λx2 x2+λx1 x1+λx1 ③当 λ<-1 时,α= > =x2, β= < =x1,即 β<x1<x2<α 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ ∴g(α)<g(x2)<g(x1)<g(β)∴|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|也符合题设 由此,综合①②③得所求的 λ 的取值范围是 λ<0 且 λ≠-1

24.解:由题意得: f ?( x) ? (ex )? ? (ax2 ? 2x ? 2) ? ex ? (ax2 ? 2x ? 2)?
2 ? e x (ax 2 ? 2x ? 2) ? e x (2ax ? 2) ? ae x ( x ? )( x ? 2) ; a
(3 分)

(1)由曲线 y ? f ( x) 在点 P(2, f (2))处的切线垂直于 y 轴,结合导数的几何意义得

13

2 2a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 ; f ?(2) ? 0 ,即 a ? e 2 ? (2 ? )(2 ? 2) ? 4ae2 ? a a

(6 分)

(2) 设 | sin x |? t (0 ≤ t ≤ 1) ,则只需求当 a ? 0 时,函数 y ? f (t )(0 ≤ t ≤1) 的最小值.

2 2 或 x ? ?2 ,而 a ? 0 ,即 ? ?2 . a a 2 2 从而函数 f ( x ) 在 (??, ?2) 和 ( , ??) 上单调递增,在 ( ?2, ) 上单调递减. a a 2 当 ≥ 1 时,即 0 ? a ≤ 2 时,函数 f ( x ) 在 [0,1] 上为减函数, ymin ? f (1) ? (a ? 4)e ; a 2 当 0 ? ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 f ( x ) 的极小值即为其在区间 [0,1] 上的最小值, a
令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?
2 2 ymin ? f ( ) ? ?2e a . a

综上可知,当 0 ? a ≤ 2 时,函数 f (| sin x |) 的最小值为 (a ? 4)e ;当 a ? 2 时,函数

f (| sin x |) 的最小值为 ?2e .

2 a

(12 分)

25.(Ⅰ)当 a ? 1 时, g ( x) ? x 2 ? 3x ? ln x , g ?( x) ?
x ? 1或 x ?
2

2 x 2 ? 3x ? 1 ?0 x

1 1 。函数 f (x) 的单调增区间为 (0, ), (1,?? ) ……………… 3 分 2 2

(Ⅱ) g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x ,

g ?( x) ? 2 x ? (2a ? 1) ?

a 2 x 2 ? (2a ? 1) x ? a (2 x ? 1)(x ? a) ? ? ?0 x x x

1 当 a ? 1 , x ? ? , e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。 g ( x) min ? ?2a
当 1 ? a ? e , x ? (1, a), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减. x ? (a, e), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。

g ( x) min ? g (a) ? ?a 2 ? a ? a ln a
2 1 当 a ? e , x ? ? , e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减, g ( x) min ? g (e) ? e ? (2a ? 1)e ? a

? 2a, a ? 1 ? ? 2 g ( x) ? ?? a ? a ? a ln a,1 ? a ? e ………………………………………… 8 分 ? e 2 ? (2a ? 1)e ? a, a ? e ?
(Ⅲ)令 h( x) ? ln x ?

1 2 ( x ? 1) , 4

14

? x ? ?2,??? ,
ln x ? 1 2 ( x ? 1) 4

h?( x) ?

2 ? x2 ?0 2x

? h( x) ? h(2) ? ln 2 ?

3 ?0 4



?

1 4 1 1 ? ? 2( ? ) ln x ( x ? 1)(x ? 1) x ?1 x ?1

n 1 1 1 1 1 ?? ? k ? f (k ) k ?2 ln k ? ln 2 ? ln 3 ? ? ln n ? k ?2 n

k ? f (k ) ? ln k

2(1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ) 3 2 4 n ? 2 n n ?1 n ?1

? 2(1 ?

1 1 1 ? ? )? 2 n n ?1

3n 2 ? n ? 2 (n ? 2) n(n ? 1)
26.

……………………………………… 12 分

15

16


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