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山东省实验中学2010级第四次诊断性测试(数学理)

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山东省实验中学 2010 级第四次诊断性测试 数学试题(理科) (2013.02)
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)共两卷.其中第Ⅰ卷共 60 分,第 Ⅱ卷共 90 分,两卷合计 150 分.答题时间为 120 分钟.不能使用计算器

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共

60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.复数 A.-2
4+3i 1+2i

的实部是 B.2 C.3 D.4

2.若集合 P ? { y | y ? 0}, p ? Q ? Q ,则集合 Q 不可能是 A. { y | y ? x2 , x ? R } C. { y | y ?| lg x |, x ? 0} B. { y | y ? 2 x , x ? R } D. { y | y ? x , x ? 0}
?3

3.“ a ? 1 ”是“函数 f ( x ) ?| x ? a | 在区间 [1, ?? ) 上为增函数”的 A.充分不必要条件 件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条

? x ? 1, ? 4.若 x, y ? R,且 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最小值等于 ? y ? x, ?
A.2 B.3 C.5 D.9 5.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为

A. k ? 4? 6.若 sin ? A. ?
7 9

B. k ? 5?

C. k ? 6?

D. k ? 7?

? π ? ? ? ? 1 ,则 cos ? 2π ? 2? ? ? ? ? ? ?6 ? 3 ? 3 ?
B.1 3

C.

1 3

D.

7 9

7.设 a , b , c 是空间三条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是 A.当 c ? ? 时,若 c ? ? ,则 ? ∥ ?

B. 当 b ? ? 时,若 b ? ? ,则 ? ⊥ ? C.当 b ? ? ,且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b ? c ,则 a ? b D.当 b ? ? ,且 c ? ? 时,c∥ ? ,则 b∥c 8.直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? a ? 0(a ? 3) 相交于 A、B 两点,若弦 AB 的中点为(-2,3) ,则 直线 l 的方程为 A. x ? y ? 5 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 5 ? 0
f ( x) x

D. x ? y ? 3 ? 0
? 0 的解集为

9.定义在 (0, ?? ) 上的可导函数 f ( x ) 满足 f ?( x ) ? x ? f ( x ) 且 f (2) ? 0 ,则 A.(0,2) B.(0,2) ?(2, ??) C. (2, ?? )

D. ?

10.把数列 {2 n ? 1} 依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个 括号四个数,第五个括号一个数,第六个括号两个数,?循环,分别为(3)(5,7)(9,11, , , 13)(15,17,19,21)(23)(25,27)(29,31,33)(35,37,39,41)(43)(45, , , , , , , , 47)?则第 104 个括号内各数之和为 A.2036 B.2048 C.2060 D. 2072

11.若直角坐标系中有两点 P, Q 满足条件: (1) P, Q 分别在函数 y ? f ( x ) 、 y ? g ( x ) 的图象上, (2) P, Q 关于点(1,0)对称,则对称点对( P, Q )是一个“和谐点对” 。函数 y ? 象与函数 y ? 2 sin πx ( ?2 ? x ? 4) 的图象中“和谐点对”的个数是 A.2 12.过双曲线
x a
2
2

1 1? x

的图

B.4
? y b
2 2

C.6
2

D.8
2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F ( ? c, 0)( c ? 0) ,作圆 x ? y ?
??? ? ??? ? ??? ?

a2 的切线,切点 4

为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 OP ? 2OE ? OF ,则双曲线的离心率为 A. 10 B.
10 5

C.

10 2

D.

2

第Ⅱ卷(非选择题
13.由直线 x ? ? , x ?
3 π π 3

共 90 分)

二、填空题: (本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共计 16 分.)
, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的

面积为

.

14.已知数列 {an } 为等差数列,且 a2 ? a8 ? a14 ? 3 , 则 log2 (a3 ? a13 ) ? .

15.已知向量 a=(1,2),b=(1,1)且 a 与 a+ ? b 的夹角为锐角, 则实数 ? 的取值范围是 . 16.几何体的三视图如图所示,则几何体的体积 . 三、解答题: (本大题共有 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.) 17.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos x, sin x ), b ? ( 3 cos x, cos x) ,若 f ( x) ? a ? b ? 3 . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ?

? 5π 5π ? ? ? 12 , 12 ? 上的值域. ?

18.(本小题满分 12 分)济南市政府为了改善整个城市的交通状况,对如何提高顺河高架 桥的车辆通行能力进行了研究,根据统计在一般情况下,桥上的车流速度 v(单位:千米/小时) 是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此 时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 20 ? x ? 200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/每 小时) f ( x ) ? x ? v ( x ) 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时)

19.(本小题满分 12 分)在直角梯形 ABCP 中,AP∥BC, AP ? AB , AB ? BC ?

1 2

AP ? 2, D 是

AP 的中点,E,F,G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将△ PCD 沿 CD 折起,使得 PD ? 平面 ABCD, 如图 2. (1)求证:AP∥平面 EFG; (2)求二面角 G-EF-D 的大小;

20.(本小题满分 12 分)已知数列 {an }满足: a1 ? 1, an ? an ?1 ? 4n, Sn 是数列 {an } 的前 n 项和.
n ( n ?1)

数列 {bn } 前 n 项的积为 Tn ,且 T ? 2
n

2

(1)求数列 {an }, {bn } 的通项公式; (2)是否存在常数 a,使得 {Sn ? a} 成等差数列?若存在,求出 a,若不存在,说明理由. (3)是否存在 m ? N ,满足对任意自然数 n ? m 时, bn ? Sn 恒成立,若存在,求出 m 的值; 若不存在,说明理由.
*

21. (本小题满分 12 分) 对于函数 f ( x ) , 若存在 x0 ? R , f ( x0 ) ? x0 成立, 使 则称 x0 为 f ( x ) 的不动点.如果函数 f ( x ) ?
x ?a bx ? c
2

( b, c ? N ) 有且仅有两个不动点 0、2,且 f ( ?2) ? ?
*

1 2

.

(1)试求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)点 A( x1, f ( x1)), B( x 2, f ( x 2)), C( x 3, f ( x 3)) 从左到右依次是函数 y ? f ( x ) 图象上三点,其 中 1 ? xi ? 2(i ? 1, 2, 3) ,求证:△ABC 是钝角三角形.

22.(本小题满分 14 分)如图,已知直线 L : x ? my ? 1 过椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的右

焦点 F,且交椭圆 C 于 A,B 两点,点 A,F,B 在直线 G : x ? a 上的射影依次为点 D,K,E. (1)若抛物线 x2 ? 4 3y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求椭圆 C 的 方程;
???? ??? ???? ? ??? ? MA ? ? AF , MB ? ? BF ,当 m 变化时,求 ? ? ? 的值;
1 2 1 2

2

(2)对于(1)中的椭圆 C,若直线 L 交 y 轴于点 M,且 (3)连接 AE,BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交于

一定点 N?若交于定点 N,请求出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明 理由.

山东省实验中学 2010 级第四次诊断性测试
一、选择题 BDABA 二、填空题
3

ABACD

BC

1

? 5 ? ? ? , 0 ? ? (0, ??) ? 3 ?

160 3

2 17.解: (1) f ( x ) ? a·b ? 3 ? 3 cos x ? sin x cos x ? 3

=

3 2

cos 2 x ?

1 2

sin 2 x ?

3 3 2

= sin ? 2 x ?
x? kπ 2 ?

? ?

π?

? π ,图象的对称轴方程为 . ?T ? ?? 2 3? 2 ( k ? Z).

3 3



π 12

(2)由于区间 ?

? 5π π ? 的长度为 π ,为半个周期. ? 12 , 12 ? 2 ? ?

又 f ( x) 在 ?

5π π 3 3 3 3 , 处分别取到函数的最小值 ?1, ? 1, 最大值 所以函数 f ( x ) 在 12 12 2 2

区间 ?

? 5π π ? 上的值域为 ? 3 3 ? 1, 3 3 ? 1? . ? ? ? 12 , 12 ? 2 ? ? ? 2 ?

18.解: (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v ( x ) ? 60 ;当 20 ? x ? 200 时,设 v ( x ) ? ax ? b

? 1 0 ? x ? 20, ?60, ?a ? ? 3 , ? ? ?200a ? b ? 0, 解得 ? 再由已知得 v ( x ) ? ? 1 ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 (200 ? x ), 20 ? x ? 200 ? ? ? 3
故函数 v ( x ) 的表达式为

?60, 0 ? x ? 20, ? f ( x) ? ?1 ? 3 (200 ? x ), 20 ? x ? 200 ?
(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 当 0 ? x ? 20 时, f ( x ) 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60×20=1200; 当 20 ? x ? 200 时, f ( x ) ?
1 3 x (200 ? x ) ? 1 ? x ? (200 ? x ) ? 3? ? 2
2

? ? ?

10000 3

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立. 所以,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间[20,200]上取得最大值 综上,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间[20,200]上取得最大值
10000 3 10000 3
? 3333.

.

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 19.解: (Ⅰ)证明:方法一)连 AC,BD 交于 O 点,连 GO,FO,EO.
? E , F 分别为 PC , PD 的中点,? EF

1 2

CD ,同理 GO

1 2

CD , ? EF

GO

? 四边形 EFOG 是平行四边形, ? EO ? 平面 EFOG. ???????????????3 分

又在三角形 PAC 中,E,O 分别为 PC,AC 的中点,? PA ∥EO???????????4 分
EO ? 平面 EFOG, PA ? 平面 EFOG,?????????????????????5 分
? PA ∥平面 EFOG,即 PA∥平面 EFG.????????????????????6 分

方法二)如图以 D 为原点,以 DA, DC , DP 为方向向量建立空间直角坐标系 D-xyz. 则有关点及向量的坐标为:P(0,0,2) ,C(0,2,0) ,G(1,2,0) ,E(0,1,1) ,F(0,

??? ???? ??? ? ?

0,1) ,A(2,0,0)
??? ? ??? ? ??? ? AP ? ( ?2, 0, 2), EF ? (0, ?1, 0), EG ? (1,1, ?1) ????????????????????2 分

设平面 EFG 的法向量为 n ? ( x, y , z )
?x? z ?n ? EF ? 0 ?? y ?0 ? ? . ? ?? ?? ?? x ? y ? z ?0 ? y ?0 ? ? ?n ? EG ? 0 ? ?

?

取 n ? (1, 0,1). ????????4 分
? n ? AP ? 1 ? ( ?2) ? 0 ? 0 ? 1 ? 2 ? 0,? n ? AP,
? ??? ? ? ??? ?

?

???????????????????5 分 又 AP ? 平面 EFG.
? AP ∥平面 EFG.??????????????????????????????6 分

(Ⅱ)连 AC,BD 交于 O 点,连 GO,FO,EO.
? E , F 分别为 PC,PD 的中点,? EF

1 2

CD ,同理 GE

1 2

PB

又 CD AB,? EF

AB 2 EG ? EF ? E , PB ? AB ? B ,?平面 EFG∥平面 PAB,又 PA ? 平面 PAB,? PA ∥平面 EFG.

1

由已知底面 ABCD 是正方形
??? ? ??? ? ? AD ? 平面 PCD,? 向量 DA 是平面 PCD 的一个法向量, DA ? (2, 0, 0) ????????8 分 ? 又由(Ⅰ)知平面 EFG 的法向量为 n ? (1, 0,1) ,??????????????????9 分

? AD ? DC ,又? PD ? 面 ABCD

? AD ? PD

又 PD ? CD ? D

??? ? ? ??? ? ? DA ? n 2 2 ? cos? DA, n? ? ??? ? . ??????????????????????10 ? ? ? | DA | ? | n | 2 2 2

分 结合图知二面角 G-EF-D 的平面角为 45°.???????????????????12 分 20.解: (Ⅰ)由题知 an ? an ?1 ? 4n 求数列 an ?1 ? an ? 2 ? 4(n ? 1)
? an ? 2 ? an ? 4 即数列 {an }隔项成等差数列

又 a1 ? 1 ? a2 ? 3
? n 为奇数时, an ? a1 ? 4 ?

? n ?1 ? ? 1? ? 2n ? 1; ? 2 ?

n 为偶数时, an ? a2 ? 4 ?
? n ? N ? , an ? 2n ? 1

? n ? 1? ? 2n ? 1; ? ?2 ?

n ? 1 时 b1 ? Ti ? 2 ? 2, n ? 2 时 bn ?
? n ? N ? , bn ? 2
n

1

Tn Tn ?1

?2

n

解(2)由(1)知 an ? 2n ? 1 ,数列 {an }成等差数列
? Sn ? n ( a1 ? a n ) 2
2 2 2

?n

2

? S n ? a ? n ? a , S n ?1 ? a ? ( n ? 1) ? a , S n ? 2 ? a ? ( n ? 2) ? a

若存在常数 a,使得 {Sn ? a} 成等差数列,则
( Sn ? a ) ? ( Sn ? 2 ? a ) ? 2( Sn ?1 ? a ) 在 n ? N ? 时恒成立
2 2 即 n ? a ? ( n ? 2) ? a ? 2(( n ? 1) 2 ? a ) ? 4 ? 2

? 常数 a 不存在

(3)存在 m=4 证明 2 ? n (用数学归纳法) 21.解: (1)设
x ?a bx ? c
2

n

2

? x ? (1 ? b) x ? cx ? a ? 0(b ? 1)

2

? c ?2 ? 0 ? ? 1 ? b ? ?? ?2 ? 0 ? a ? ? 1? b
由 f ( ?2) ?
?2 1? c ?? 1 2

?a ? 0 ? ?? c ?b ? 1 ? 2 ?
? ?1 ? c ? 3

? f ( x) ?

(1 ? ) x ? c 2

x c

2

又? b, c ? N *
? f ( x) ? x
2

? c ? 2, b ? 2

2( x ? 1)

( x ? 1)

于是 f ?( x ) ?

2 xg 2( x ? 1) ? x g 2 4( x ? 1)
2

2

?

x ? 2x 2( x ? 1)
2

2

由 f ?( x ) ? 0 得 x ? 0 或 x ? 2 ; 由 f ?( x ) ? 0 得 0 ? x ? 1 或 1 ? x ? 2 故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, 0) 和 (2, ?? ) , 单调减区间为(0,1)和(1,2)????????????????????8 分 (2)证明:据题意 A( x1, f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )), C( x3 , f ( x3 )), 且 x1 ? x2 ? x3 , 由(1)知 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,

? BA ? ( x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 )), BC ? ( x3 ? x2 , f ( x3 ) ? f ( x2 )) ? BA?BC ? ( x1 ? x2 )( x3 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )][ f ( x3 ) ? f ( x2 )] Qx1 ? x2 ? 0, x3 ? x2 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 0
??? ??? ? ? ?π ? ? BA?BC ? 0,??B ? ? ,π ? ?2 ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

即△ABC 是钝角三角形.???????????????????????12 分 22.解: (1)易知 b ? 3
?c ? 1
2 2

? b ? 3, 又 F (1, 0)
2

2

a ?b ?c ?4
x
2

? 椭圆 C 的方程为

?

y

2

? 1 ??????4 分
1

4

3
)

(2)l 与 y 轴交于 M (0, ?

m

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
2 2

由?

? x ? my ? 1
2 2 ?3 x ? 4 y ? 12 ? 0

? (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0
? 1 y1 ? 1 y2
????

? ? 144(m ? 1) ? 0

2

?

2m 3
??? ?

(*) ????????????????????????????6 分
1 m

又由 MA ? ?1 AF
? ?1 ? ?1 ? 1 my1

? ( x1 , y1 ?

) ? ?1 (1 ? x1 , ? y1 )

同理 ?2 ? ?1 ?

1

my2 1 1 1 2 8 ? ?1 ? ?2 ? ?2 ? ( ? ) ? ?2 ? ? ? 3 3 m y1 y2
8 3

? ?1 ? ?2 ? ? ???????????????????????????????8

分 (3) F (1, 0), K ? (a 2 , 0) 先探索,当 m ? 0 时,直线 L ? ox 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相交 FK 中点 N,且 N (
a ?1 2 a ?1 2
2 2

, 0)

猜想:当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 N (

, 0) ?????????????10 分

2 2 证明:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y 2 ), E ( a , y 2 ), D ( a , y1 )

当 m 变化时首先 AE 过定点 N

? x ? my ? 1 即 (a 2 ? b2m2 ) y 2 ? 2mb2 y ? b2 (1 ? a 2 ) ? 0 ? 2 2 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b ? 0
△ ? 4a 2b2 (a 2 ? m2b2 ? 1) ? 0(a ? 1) 又 K AN ?
? y1 a ?1 2
2

, K EN ?

? y2 1? a 2
2

? my1

而 K AN ? K EN

a 2 ?1 ( y1 ? y2 ) ? my1 y2 ? 2 1? a 2 a 2 ?1 ( ? my1 ) 2 2

(

a ?1 2
2

2

( y1 ? y2 ) ? my1 y2 ?
2 2

a ?1 2

2

?( ?

b2 (1? a 2 ) ) ? m? a ?m b a 2 ? m 2 b2 2mb2
2 2 2

?

( a ? 1)?( mb ? mb )

a 2 ? m 2b 2

? 0)

? K AN ? K EN

? A N、E 三点共线 、

同理可得 B、N、D 三点共线
? AE 与 BD 相交于定点 N (
a ?1 2
2

, 0) ?????????????????????14 分


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