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双曲线及其标准方程


2.2
2.2.1

双曲线

双曲线及其标准方程

【课标要求】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. 【核心扫描】 1.用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程.(重点) 2.与双曲线定义有关的应用问题.(难点)

自学

导引
1.双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 试一试:在双曲线的定义中,必须要求“常数小于|F1F2|”,那么“常数等于|F1F2|”, “常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时,动点的轨迹是什么? 提示 (1) 若 “ 常数等于 |F1F2|” 时,此时动点的轨迹是以 F1 , F2 为端点的两条射线 F1A,F2B(包括端点),如图所示. (2)若“常数大于|F1F2|”,此时动点轨迹不存在. (3)若“常数为 0”,此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 x2 y2 y2 x2 - =1 2- 2=1 a b a2 b2 标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 2 2 2 a,b,c 的关系 c =a +b x2 y2 y2 x2 想一想:如何判断方程 2- 2=1(a>0,b>0)和 2- 2=1(a>0,b>0)所表示双曲线的焦点 a b a b 的位置? 提示 如果 x2 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上,如果 y2 项的系数是正的,那么焦点 在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此,不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点 在哪一个坐标轴上.

名师点睛
1.对双曲线定义的理解 (1)把定常数记为 2a,当 2a<|F1F2|时,其轨迹是双曲线;当 2a=|F1F2|时,其轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端点);当 2a>|F1F2|时,其轨迹不存在. (2) 距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.若 F1 、F2 表示双曲线的左、右焦 点,且点 P 满足|PF1|-|PF2|=2a,则点 P 在右支上;若点 P 满足|PF2|-|PF1|=2a,则点 P 在 左支上. (3)双曲线定义的表达式是||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|). (4) 理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距 离.” 2.双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点 F1、F2 在坐标轴上,并且线段 F1F2 的垂直平分线也是坐标轴 时得到的方程才是双曲线的标准方程. (2)标准方程中的两个参数 a 和 b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,
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这里 b2=c2-a2,与椭圆中 b2=a2-c2 相区别,且椭圆中 a>b>0,而双曲线中 a、b 大小则不 确定. (3)焦点 F1、F2 的位置,是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦 点跟着正项走”,若 x2 项的系数为正,则焦点在 x 轴上;若 y2 项的系数为正,那么焦点在 y 轴上. (4)用待定系数法求双曲线的标准方程时,如不能确定焦点的位置,可设双曲线的标准 方 程为 Ax2+By2=1(AB<0)或进行分类讨论.

题型一 求双曲线的标准方程 【例 1】 根据下列条件,求双曲线的标准方程. 15? ? 16 ? (1)经过点 P? ?3, 4 ?,Q?- 3 ,5?; (2)c= 6,经过点(-5,2),焦点在 x 轴上. x2 y2 y2 x2 [思路探索 ] 由于 (1) 无法确定双曲线焦点的位置,可设 2- 2 = 1(a>0 ,b>0) 和 2 - 2 = a b a b x2 y2 1(a>0,b>0)两种情况,分别求解.另外也可以设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0)或 + m n x2 y2 x2 y2 =1(mn<0),直接代入两点坐标求解.对于(2)可设其方程为 2- 2=1(a>0,b>0)或 - a b λ 6-λ =1(0<λ<6). x2 y2 解 (1)法一 若焦点在 x 轴上,设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b 15 16 ? ? ? 由于点 P? ?3, 4 ?和 Q?- 3 ,5?在双曲线上, 9 225 - =1, 2 ? a2 16b2 ?a =-16, ? 所以 解得 2 (舍去). 256 25 ?b =-9 ? 2 - 2 =1, 9a b y2 x2 若焦点在 y 轴上,设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b 225 9 - =1, 16a2 b2 将 P、Q 两点坐标代入可得 25 256 - =1, a2 9b2

? ? ?

? ? ?

2 ? ?a =9, 解之得? 2 ?b =16, ?

y2 x2 所以双曲线的标准方程为 - =1. 9 16 x2 y2 法二 设双曲线方程为 + =1(mn<0). m n ∵P、Q 两点在双曲线上, 9 225 + =1, ? m 16n ?m=-16, ∴ 解得? 256 25 ?n=9. ? + =1, 9m n y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 9 16

? ? ?

2

x2 y2 (2)法一 依题意,可设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b a +b =6, 2 ? ? ? ?a =5, 依题设有?25 4 解得? 2 ?b =1, ? ? a2 -b2=1, ? x2 ∴所求双曲线的标准方程为 -y2=1. 5 法二 ∵焦点在 x 轴上,c= 6, x2 y2 ∴设所求双曲线方程为 - =1(其中 0<λ<6). λ 6-λ ∵双曲线经过点(-5,2), 25 4 ∴ - =1,∴λ=5 或 λ=30(舍去). λ 6-λ x2 2 ∴所求双曲线的标准方程是 -y =1. 5 规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位 置设出标准方程的形式,然后用待定系数法求出 a,b 的值.若焦点位置不确定,可按焦点 在 x 轴和 y 轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂,注意到双曲线过两定 点,可设其方程为 mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定 m、n,避免了讨论,实为一 种好方法. 【变式 1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)a=3,c=4,焦点在 x 轴上; (2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点 A(-5,6). 解 (1)由题设知,a=3,c=4, 由 c2=a2+b2,得 b2=c2-a2=42-32=7. x2 x2 因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以所求双曲线的标准方程为 - =1. 9 7 (2)由已知得 c=6,且焦点在 y 轴上.因为点 A(-5,6)在双曲线上,所以点 A 与两焦点的 距离的差的绝对值是常数 2a, 即 2a=| ?-5-0?2+?6+6?2- ?-5-0?2+?6-6?2|=|13-5|=8,则 a=4,b2=c2-a2 2 =6 -42=20. y2 x2 因此,所求双曲线的标准方程是 - =1. 16 20 x2 y2 x2 y2 2.若椭圆 + =1(m>n>0)和双曲线 - =1(a>0,b>0)有相同的焦点,P 是两曲线 m n a b 的一个交点,则|PF1|· |PF2|的值为( ) A.m-a B.m-b C.m2-a2 D. m- b A 解析:设点 P 为双曲线右支上的点,由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2 m. 由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2 a.∴|PF1|= m+ a,|PF2|= m- a. ∴|PF1|· |PF2|=m-a. 题型二 双曲线定义的应用 【例 2】 x2 y2 如图,若 F1,F2 是双曲线 - =1 的两个焦点. 9 16 (1)若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16,求点 M 到另一个焦点的距离; (2)若 P 是双曲线左支上的点,且|PF1|· |PF2|=32,试求△F1PF2 的面积.
2 2

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[思路探索] (1)由双曲线的定义,得||MF1|-|MF2||=2a,则点 M 到另一焦点的距离易得; (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积. x2 y2 解 双曲线的标准方程为 - =1, 9 16 故 a=3,b=4,c= a2+b2=5. (1)由双曲线的定义,得||MF1|-|MF2||=2a=6,又双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距 离等于 16,假设点 M 到另一个焦点的距离等于 x,则|16-x|=6,解得 x=10 或 x=22.故点 M 到另一个焦点的距离为 6 或 22. (2)将||PF2|-|PF1||=2a=6,两边平方,得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|=36, 2 2 ∴|PF1| +|PF2| =36+2|PF1|· |PF2|= 36+2×32=100. 在△F1PF2 中,由余弦定理,得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF1|· |PF2| 100-100 = =0,∴∠F1PF2=90° , 2|PF1|· |PF2| 1 1 ∴S△F1PF2= |PF1|· |PF2|= ×32=16. 2 2 规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根 据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据 ||PF1|- |PF2||= 2a 求 解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于 c-a). (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意定义中的条件||PF1|-|PF2|| =2a 的应用;其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运 算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用. x2 y2 【变式 2】1.已知双曲线的方程是 - =1,点 P 在双曲线上,且到其中一个焦点 F1 16 8 的距离为 10,点 N 是 PF1 的中点,求|ON|的大小(O 为坐标原点). 1.解:连接 ON,ON 是△PF1F2 的中位线,

1 所以|ON|= |PF2|. 2 因为||PF1|-|PF2||=8,|PF1|=10, 1 所以|PF2|=2 或 18,|ON|= |PF2|=1 或 9. 2 2 2 x y 2.设 P 为双曲线 - =1 上一点,F1,F2 是该双曲线的两个焦点,若∠F1PF2=60° , 16 9 求△PF1F2 的面积. x2 y2 解:由方程 - =1,得 a=4,b=3,故 c= 16+9=5, 16 9 所以|F1F2|=2c=10.
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又由双曲线的定义,得 ||PF1| - |PF2|| = 8 ,两边平方,得 |PF1|2 + |PF2|2 - 2|PF1||PF2| = 64.① 在△PF1F2 中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60° , 2 2 即|PF1| +|PF2| -|PF1||PF2|=100.② ①-②,得|PF1||PF2|=36, 1 1 3 所以 S?PF1F2 = |PF1||PF2|sin 60° = ×36× =9 3. 2 2 2 x2 y2 3.已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别是 F1、F2,若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2= 9 16 60° ,求△F1PF2 的面积. x2 y2 解 由 - =1,得 a=3,b=4,c=5. 9 16 由定义和余弦定理,得|PF1|-|PF2|=± 6, 2 2 2 |F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1||PF2|cos 60° , 所以 102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|· |PF2|, 所以|PF1|· |PF2|=64, 1 ∴S△F1PF2= |PF1|· |PF2|· sin∠F1PF2 2 1 3 = ×64× =16 3. 2 2 误区警示 忽略双曲线焦点位置致误 x2 y2 【示例】 方程 + =1 表示双曲线,那么 m 的取值范围是________. 2-m |m|-3
? ?2-m>0, [错解] 由? 解得-3<m<2, ?|m|-3<0 ? ∴m 的取值范围是{m|-3<m<2}.

只考虑焦点在 x 轴上,忽视了焦点在 y 轴上的情况. ? ? ?2-m>0 ?2-m<0, [正解] 依题意有? 或? ?|m|-3<0 ?|m|-3>0, ? ? 解得-3<m<2 或 m>3. ∴m 的取值范围是{m|-3<m<2 或 m>3}. 答案 {m|-3<m<2 或 m>3} x2 y2 方程 + =1 既可以表示椭圆又可以表示双曲线.当方程表示椭圆时, m n m、n 应满足 m>n>0 或 n>m>0,当 m>n>0 时,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 n>m>0 时, 方程表示焦点在 y 轴上的椭圆.当方程表示双曲线时,m、n 应满足 mn<0,当 m>0,n<0 时,方程表示焦点在 x 轴上的双曲线;当 m<0,n>0 时,方程表示焦点在 y 轴上的双曲线. 当堂检测 1.平面内有两个定点 F1(-5,0)和 F2(5,0),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=6,则动点 P 的轨迹 方程是( )

x2 y 2 ? =1 (x≤-4) 16 9 x2 y 2 ? =1 (x≥4) C. 16 9
A.

x2 y 2 ? =1 (x≤-3) 9 16 x2 y 2 ? =1 (x≥3) D. 9 16
B.

答案:D 解析:由已知动点 P 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的双曲线的右支,且 a=3,c

5

=5,b2=c2-a2=16,∴所求轨迹方程为 2.已知双曲线为 A. 2 ? ?

x2 y 2 ? =1 (x≥3). 9 16
) D. 2 2 ? ?

x2 y2 ? =1 ,则此双曲线的焦距为( 2 ? B. 2 2 ? ? C. 2 ? ?
2 2 2

答案:D 解析:由已知 λ<0,a =2,b =-λ,c =2-λ,∴焦距 2c ? 2 2 ? ? . 3.已知双曲线

x2 y 2 ? =1 上的点 P 到(5,0)的距离为 15,则点 P 到点(-5,0)的距离为( 16 9

)

A.7 B.23 C.5 或 25 D.7 或 23 答案:D 解析:设 F1(-5,0),F2(5,0), 则由双曲线的定义知:||PF1|-|PF2||=2a=8, 而|PF2|=15,解得|PF1|=7 或 23. 4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-6,0)和 C(6,0),顶点 B 在双曲线

sinA ? sinC x2 y 2 ? =1的左支上,则 =______. sinB 25 11 5 答 案 : 解 析 : 6 | BC AB | | | ? s A ? i C n 2R BC ? nAB a | 2s R ? i ? ? ? ? . | AC | sinB | AC | 2c 12 6 2R







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x2 y 2 ? =1 上一点 M 的横坐标为 3,则点 M 5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 4 12
到此双曲线的右焦点的距离为__________. 答案:4 解析:设右焦点为 F,则点 F 的坐标为(4,0). 把 x=3 代入双曲线方程得 y=± 15,即 M 点的坐标为(3,± 15). 由两点间距离公式得|MF|= ?3-4?2+?± 15-0?2=4.

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