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2014高三数学二轮复习专题1 第1讲 集合与逻辑 教师版


专题一

集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第一讲 集合与常用逻辑用语

1.集合的概念、运算 (1)集合元素的三个特性:确定性、互异性、无序性,是判断某些对象能否构成一个集合 或判断两集合是否相等的依据. (2)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. (3)集合间的关系:子集、真子集、空集、集合相等,在集合间的运算中要注意空集的情

形. (4)重要结论 A∩B=A?A?B;A∪B=A?B?A. 2.命题 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)含有量词的命题的否定: ?x∈M,p(x)的否定是?x∈M,p(x); ?x∈M,p(x)的否定是?x∈M,p(x). 3.充要条件 设集合 A={x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件 q},则有 从逻辑观点看 p 是 q 的充分不必要条件(p?q,q?p) p 是 q 的必要不充分条件(q?p,p?q) p 是 q 的充要条件(p?q) p 是 q 的既不充分也不必要条件(p?q,q?p) 从集合观点看 A? B B? A A=B A 与 B 互不包含

1. (2013· 辽宁)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B 等于 A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2]

(

)

答案 D 解析 A={x|1<x<4},B={x|x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2}. 2. (2013· 北京)“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 A
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(

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 当 φ=π 时,y=sin(2x+φ)=-sin 2x 过原点.当曲线过原点时,φ=kπ,k∈Z, 不一定有 φ=π.∴“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过原点”的充分不必要条件. 3. (2013· 四川)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:?x∈A,2x∈B, 则 ( ) A. ? p:?x∈A,2x∈B C. ? p:?x?A,2x∈B 答案 D 解析 命题 p:?x∈A,2x∈B 是一个全称命题,其命题的否定 p 应为?x∈A,2x?B,选 D. 4. (2013· 天津)已知下列三个命题: 1 1 ①若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ; 2 8 ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; 1 ③直线 x+y+1=0 与圆 x2+y2= 相切. 2 其中真命题的序号是 A.①②③ C.①③ 答案 C 4 R?3 1 4 3 1 解析 对于命题①,设球的半径为 R,则 π? = · π R ,故体积缩小到原来的 ,命题 3 ?2? 8 3 8 正确;对于命题②,若两组数据的平均数相同,则它们的标准差不一定相同,例如数据 1 1,3,5 和 3,3,3 的平均数相同,但标准差不同,命题不正确;对于命题③,圆 x2+y2= 的 2 1 2 圆心(0,0)到直线 x+y+1=0 的距离 d= = ,等于圆的半径,所以直线与圆相切, 2 2 命题正确. 5. (2013· 四川)设 P1,P2,?,Pn 为平面 α 内的 n 个点,在平面 α 内的所有点中,若点 P 到点 P1, P2, ?, Pn 的距离之和最小, 则称点 P 为点 P1, P2, ?, Pn 的一个“中位点”. 例 如,线段 AB 上的任意点都是端点 A、B 的中位点.现有下列命题: ①若三个点 A,B,C 共线,C 在线段 AB 上,则 C 是 A,B,C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点 A,B,C,D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) 答案 ①④ 解析 ∵|CA|+|CB|≥|AB|,当且仅当点 C 在线段 AB 上等号成立,即三个点 A,B,C, ∴点 C 在线段 AB 上, ∴点 C 是 A,B,C 的中位点,故①是真命题.
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B. ? p:?x?A,2x?B D. ? p:?x∈A,2x?B

( B.①② D.②③

)

如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,P 是 AB 的中点,CH⊥AB,点 P,H 不重合,则 |PC|>|HC|. 又|HA|+|HB|=|PA|+|PB|=|AB|, ∴|HA|+|HB|+|HC|<|PA|+|PB|+|PC|, ∴点 P 不是点 A,B,C 的中位点,故②是假命题. 如图(2),A,B,C,D 是数轴上的四个点,若 P 点在线段 BC 上,则|PA|+|PB|+|PC| +|PD|=|AD|+|BC|,由中位点的定义及①可知,点 P 是点 A,B,C,D 的中位点.显 然点 P 有无数个,故③是假命题.

如图(3),由①可知,若点 P 是点 A,C 的中位点,则点 P 在线段 AC 上,若点 P 是点 B,D 的中位点,则点 P 在线段 BD 上,∴若 点 P 是点 A,B,C,D 的中位点,则 P 是 AC,BD 的交点,∴梯 形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点,故④是真命题.

题型一 集合的概念与运算问题 例1 (1)(2012· 湖北)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足 条件 A?C?B 的集合 C 的个数为 A.1 B.2 C.3
2

( D.4

)

(2) (2013 浙江)设集合 S ? {x | x ? ?2}, T ? {x | x ? 3 x ? 4 ? 0} ,则 (C R S ) ? T ? A. (?2,1] 审题破题 B. (??,?4] C.

(??,1]

D. [1,??)

(1)先对集合 A、B 进行化简,注意 B 中元素的性质,然后根据子集的定义列

举全部适合条件的集合 C 即可. 答案 解析 (1)D (2)C (1)由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,∴A={1,2}.

由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)N-M={x|x∈N 且 x?M}. ∵2∈N 且 2∈M,∴2?N-M; 3∈N 且 3∈M,∴3?N-M;
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6∈N 且 6?M,∴6∈N-M.∴故 N-M={6}. x(x-2) (3).[2013·成都模拟] 设全集 U=R,A={x|2 <1},B={x|y=ln(1-x)},则阴 影部分表示的集合为( ) A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1} (3) . B [ 解 析 ] 图 中 阴 影 部 分 表 示 A∩(?UB) , 而 A = {x|0<x<2} ,B={x|x<1} ,所以 A∩(?UB)= {x|0<x<2}∩{x≥1}={x|1≤x<2}. 反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤:先正确理解各个集合的含义,

认清集合元素的属性;再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解. (2)两点提醒:①要注意集合中元素的互异性;②当 B?A 时,应注意讨论 B 是否为?. ? 2-x ? <0?, 变式训练 1 (2013· 玉溪毕业班复习检测)若集合 S={x|log2(x+1)>0}, T=?x| 则 S∩T ? 2+x ? 等于 A.(-1,2) C.(-1,+∞) B.(0,2) D.(2,+∞) ( )

答案 D 解析 S={x|x+1>1}={x|x>0}, T={x|x>2 或 x<-2}.∴S∩T={x|x>2}. (2) (2012 天 津 ) 已 知 集 合 A={x ? R||x+2|<3} , 集 合 B={x ? R|(x ? m)(x ? 2)<0} , 且

A ? B=( ? 1,n) ,则 m=

, n=

.

【答案】 ?1 ,1 【解析】∵ A={x ? R||x+2|<3} = {x|| ? 5<x<1} ,又∵ A ? B =( ? 1,n) ,画数 轴可知 m = ? 1 , n=1 . 题型二 命题的真假与否定问题 例2 下列叙述正确的个数是 ①l 为直线,α、β 为两个不重合的平面,若 l⊥β,α⊥β,则 l∥α;
2 ②若命题 p:?x0∈R,x2 0-x0+1≤0,则 ? p:?x∈R,x -x+1>0; 1 ③在△ABC 中,“∠A=60° ”是“cos A= ”的充要条件; 2

(

)

④若向量 a,b 满足 a· b<0,则 a 与 b 的夹角为钝角. A.1 B.2 C.3 D.4 审题破题 判定叙述是否正确, 对命题首先要分清命题的条件与结论, 再结合涉及知识 进行判定;对含量词的命题的否定,要改变其中的量词和判断词. 答案 B 解析 对于①,直线 l 不一定在平面 α 外,错误;对于②,命题 p 是特称命题,否定时 要写成全称命题并改变判断词, 正确; ③注意到△ABC 中条件, 正确; ④a· b<0 可能 〈a, b〉=π,错误.故叙述正确的个数为 2. 反思归纳 (1)命题真假的判定方法:
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①一般命题 p 的真假由涉及到的相关知识辨别; ②四种命题的真假的判断根据: 一个命题和它的逆否命题同真假, 而与它的其他两个命 题的真假无此规律; ③形如 p∨q,p∧q,p 命题的真假根据真值表判定. (2)区分命题的否定和否命题;含一个量词的命题的否定一定要改变量词. 变式训练 2 给出下列命题: ①?x∈R,不等式 x2+2x>4x-3 均成立; ②若 log2x+logx2≥2,则 x>1; c c ③“若 a>b>0 且 c<0,则 > ”的逆否命题; a b ④若命题 p:?x∈R,x2+1≥1,命题 ? q:?x∈R,x2-x-1≤0,则命题 p∧q 是真 命题. 其中真命题只有 A.①②③ 答案 A 解析 ①中不等式可表示为(x-1)2+2>0,恒成立;②中不等式可变为 log2x+ 1 ≥2, log2x 1 1 得 x>1;③中由 a>b>0,得 < ,而 c<0,所以原命题是真命题,则它的逆否命题也为真; a b 1?2 5 2 2 ④中 q:?x∈R,x -x-1>0,由于 x2-x-1=? ?x-2? -4,则存在 x 值使 x -x-1≤0, 故 q 为假命题,则 p∧q 为假命题. 题型三 充要条件的判断问题 例3 (1)甲:x≠2 或 y≠3;乙:x+y≠5,则 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 (2)设命题 p:|4x-3|≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 p 是 q 的必要不充分 条件,则实数 a 的取值范围是 1? A.? ?0,2? 1 ? C.(-∞,0)∪? ?2,+∞? 审题破题 用 数轴解决. 答案 解析 (1)B (2)A (1)“甲?乙”, 即“x≠2 或 y≠3”?“x+y≠5”, 其逆否命题为: “x+y=5” ( 1? B.? ?0,2? 1 ? D.(-∞,0)∪? ?2,+∞? ) ( ) B.①②④ C.①③④ D.②③④ ( )

(1)利用逆否命题判别甲、乙的关系;(2)转化为两个集合间的包含关系,利

?“x=2 且 y=3”显然不正确.同理,可判断命题“乙?甲”为真命题.所以甲
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是乙的必要不充分条件. (2)p:|4x-3|>1;q:x2-(2a+1)x+a(a+1)>0, 1 解得 p:x>1 或 x< ;q:x>a+1 或 x<a. 2 1 1 ? ? ?a≤2 ?a<2 1 若 p?q,则? 或? ,即 0≤a≤ . 2 ?a+1>1 ?a+1≥1 ? ? 反思归纳 (1)充要条件判断的三种方法:定义法、集合法、等价命题法;(2)判断充分、

必要条件时应注意的问题:①要弄清先后顺序:“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能 推出 A,且 A 不能推出 B;而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B,且 B 不 能推出 A;②要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行 时,可以通过举出恰当的反例来说明. 变式训练 3 (1)(2012· 山东)设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A

解析 由题意知函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数等价于 0<a<1,函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数等价于 0<a<1 或 1<a<2, ∴“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的充分 不必要条件. x (2)设 A={x| <0},B={x|0<x<m},若 B 是 A 成立的必要不充分条件,则 m 的取值 x-1 范围是 A.m<1 答案 D 解析 x <0?0<x<1. 由已知得,0<x<m?0<x<1,但 0<x<1?0<x<m 成立.∴m>1. x-1 B.m≤1 C.m≥1 D.m>1 ( )

典例

设非空集合 S={x|m≤x≤l}满足:当 x∈S 时,有 x2∈S.给出如下三个命题: 1 1 1 2 ①若 m=1,则 S={1};②若 m=- ,则 ≤l≤1;③若 l= ,则- ≤m≤0. 2 4 2 2 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

解析 ①m=1 时,l≥m=1 且 x2≥1,∴l=1,故①正确.
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1 1 1 ②m=- 时,m2= ,故 l≥ .又 l≤1,∴②正确. 2 4 4 1 1 2 ③l= 时,m2≤ 且 m≤0,则- ≤m≤0,∴③正确. 2 2 2 答案 D 得分技巧 创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题, 这类试题要求在新的情 境中使用已知的数学知识分析解决问题, 解决这类试题的关键是透彻理解新定义, 抓住 新定义的本质,判断给出的各个结论,适当的时候可以通过反例推翻其中的结论. 阅卷老师提醒 在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个

多项选择题, 解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲, 确定可能正确的要进行严格 的证明,确定可能错误的要举出反例,这样才能有效避免答错试题.
变式训练. (2013 山东)已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ? x ? y x ? A, y ? A 中元素的个

?

?

数是 (A) 1
【答案】C

( (B) 3 (C)5 (D)9



1. 已知集合 A={x|x2+x-2=0},B={x|ax=1},若 A∩B=B,则 a 等于 1 A.- 或 1 B.2 或-1 2 1 C.-2 或 1 或 0 D.- 或 1 或 0 2 答案 D 解析 依题意可得 A∩B=B?B?A.因为集合 A={x|x2+x-2=0}={-2,1}, 1 当 x=-2 时,-2a=1,解得 a=- ;当 x=1 时,a=1; 2 又因为 B 是空集时也符合题意,这时 a=0,故选 D.

(

)

2. (2013· 浙江)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ π = ”的 ( ) 2 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 B π? π 解析 φ= ?f(x)=Acos? ?ωx+2?=-Asin ωx 为奇函数, 2 π ∴“f(x)是奇函数”是“φ= ”的必要条件. 2 π π 又 f(x)=Acos(ωx+φ)是奇函数?f(0)=0?φ= +kπ(k∈Z)?φ= . 2 2 π ∴“f(x)是奇函数”不是“φ= ”的充分条件. 2
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B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. (2012· 辽宁)已知命题 p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))· (x2-x1)≥0,则 ? p 是 ( A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 答案 C

)

解析 根据全称命题的否定是特称命题知. p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0. 4. 已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围为 A.(-∞,-1] C.[-1,1] 答案 C 解析 由 P={x|x2≤1}得 P={x|-1≤x≤1}. 由 P∪M=P 得 M?P.又 M={a},∴-1≤a≤1. 5. 下列命题中错误的是
2 2

(

)

B.[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

(

)

A.命题“若 x -5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2,则 x -5x+6≠0” x+y?2 B.若 x,y∈R,则“x=y”是“xy≤? ? 2 ? 中等号成立”的充要条件 C.已知命题 p 和 q,若 p∨q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假 D.对命题 p:?x∈R,使得 x2+x+1<0,则 p:?x∈R,x2+x+1≥0 答案 C 解析 易知选项 A,B,D 都正确;选项 C 中,若 p∨q 为假命题,根据真值表,可知 p,

q 必都为假,故 C 错.

专题限时规范训练
一、选择题 1. (2013· 陕西)设全集为 R,函数 f(x)= 1-x2的定义域为 M,则?RM 为 A.[-1,1] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ( )

答案 D 解析 由题意得 M=[-1,1],则?RM=(-∞,-1)∪(1,+∞). 2. (2013· 山东)给定两个命题 p,q. 若 q 是 p 的必要而不充分条件,则 p 是 q 的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

答案 A 解析 由题意知:p?q?(逆否命题)p?q. π 3. (2012· 湖南)命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是 4 π π A.若 α≠ ,则 tan α≠1 B.若 α= ,则 tan α ≠1 4 4

(

)

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π C.若 tan α≠1,则 α≠ 4 答案 C

π D.若 tan α≠1,则 α= 4

π 解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知, 原命题的逆否命题是: 若 tan α≠1, 则 α≠ . 4 4. (2012· 湖北)命题“?x0∈?RQ,x3 0∈Q”的否定是 A.?x0∈?RQ,x3 0∈Q C.?x∈?RQ,x3∈Q B.?x0∈?RQ,x3 0∈Q D.?x∈?RQ,x3∈Q ( )

答案 D 解析 “?”的否定是“?”,x3∈Q 的否定是 x3D∈Q.
3 命题“?x0∈?RQ,x3 0∈Q”的否定是“?x∈?RQ,x D∈Q”.

5. 设集合 A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是 “x∈C”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 C 解析 A={x|x-2>0}={x|x>2}=(2,+∞), B={x|x<0}=(-∞,0),∴A∪B=(-∞,0)∪(2,+∞), C={x|x(x-2)>0}={x|x<0 或 x>2}=(-∞,0)∪(2,+∞).A∪B=C.∴“x∈A∪B”是 “x∈C”的充要条件. 6. 下列关于命题的说法中错误的是 ( ) A.对于命题 p:?x∈R,使得 x2+x+1<0,则 ? p:?x∈R,均有 x2+x+1≥0 B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 C.命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0” D.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 答案 D 解析 对于 A,命题 p:?x∈R,均有 x2+x+1≥0,因此选项 A 正确.对于 B,由 x =1 可得 x2-3x+2=0; 反过来, 由 x2-3x+2=0 不能得知 x=1, 此时 x 的值可能是 2, 因此“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件,选项 B 正确.对于 C,原命题的 逆否命题是:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”,因此选项 C 正确. 2x 7. 已知 p: <1,q:(x-a)(x-3)>0,若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范 x-1 围是 A.(-∞,1) C.[1,+∞) B.[1,3] D.[3,+∞) ( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

答案 C x+1 2x 解析 -1<0? <0?(x-1)(x+1)<0?p:-1<x<1.当 a≥3 时,q:x<3 或 x>a; x-1 x-1
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当 a<3 时,q:x<a 或 x>3.p 是 q 的必要不充分条件,即 p 是 q 的充分不必要条件,即 p?q 且 q?p,从而可推出 a 的取值范围是 a≥1. 8. 下列命题中是假命题的是 A.存在 α,β∈R,使 tan(α+β)=tan α+tan β B.对任意 x>0,有 lg2x+lg x+1>0 C.△ABC 中,A>B 的充要条件是 sin A>sin B D.对任意 φ∈R,函数 y=sin(2x+φ)都不是偶函数 答案 D 解析 对于 A,当 α=β=0 时,tan(α+β)=0=tan α+tan β,因此选项 A 是真命题;对 1?2 3 3 于 B, 注意到 lg2x+lg x+1=? 因此选项 B 是真命题; 对于 C, 在△ABC ?lg x+2? +4≥4>0, 中, 由 A>B?a>b?2Rsin A>2Rsin B?sin A>sin B(其中 R 是△ABC 的外接圆半径), 因此 π 选项 C 是真命题;对于 D,注意到当 φ= 时,y=sin(2x+φ)=cos 2x 是偶函数,因此选 2 项 D 是假命题.综上所述,选 D. 二、填空题 9. 已知集合 A={x∈R||x-1|<2}, Z 为整数集, 则集合 A∩Z 中所有元素的和等于________. 答案 3 解析 A={x∈R||x-1|<2}={x∈R|-1<x<3}, 集合 A 中包含的整数有 0,1,2,故 A∩Z={0,1,2}. 故 A∩Z 中所有元素之和为 0+1+2=3. 10.设集合 M={y|y-m≤0},N={y|y=2x-1,x∈R},若 M∩N≠?,则实数 m 的取值范围 是________. 答案 (-1,+∞) ( )

解析 M={y|y≤m},N={y|y>-1},结合数轴易知 m>-1. 1 11.已知命题 p: “?x∈[1,2],x2-ln x-a≥0”是真命题, 则实数 a 的取值范围是________. 2 1? 答案 ? ?-∞,2? 1 1 1 解析 命题 p : a≤ x2 - ln x 在 [1,2] 上恒成立,令 f(x) = x2 - ln x , f′(x) = x - = 2 2 x ?x-1??x+1? 1 1 ,当 1<x<2 时,f′(x)>0,∴f(x)min=f(1)= ,∴a≤ . x 2 2 12.给出下列命题: ①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件; ②“a=2”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件; ③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0 与直线 mx-6y+5=0 互相垂直”的充要条 件; ④设 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3,则“A=
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30° ”是“B=60° ”的必要不充分条件. 其中真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号) 答案 ①④ 解析 对于①,当数列{an}是等比数列时,易知数列{anan+1}是等比数列;但当数列 {anan+1}是等比数列时,数列{an}未必是等比数列,如数列 1,3,2,6,4,12,8 显然不是等比 数列,而相应的数列 3,6,12,24,48,96 是等比数列,因此①正确.对于②,当 a≤2 时, 函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上是增函数,因此②不正确.对于③,当 m=3 时,相 应的两条直线垂直;反过来,当这两条直线垂直时,不一定能得出 m=3,也可能得出 b sin B 1 m=0,因此③不正确.对于④,由题意,得 = = 3,当 B=60° 时,有 sin A= , a sin A 2 3 注意到 b>a,故 A=30° ;但当 A=30° 时,有 sin B= ,B=60° 或 B=120° ,因此④正 2 确. 三、解答题 13.已知函数 f(x)= 集合 B. (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值. 解 A={x|-1<x≤5}, (1)当 m=3 时, B={x|-1<x<3}, 则?RB={x|x≤-1 或 x≥3}, ∴A∩(?RB)={x|3≤x≤5}. (2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4},故 4 是方程-x2+2x+m=0 的一个根, ∴有-42+2×4+m=0,解得 m=8.此时 B={x|-2<x<4},符合题意. 因此实数 m 的值为 8. 14.设集合 A={x|-2-a<x<a,a>0},命题 p:1∈A,命题 q:2∈A.若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求 a 的取值范围. ?-2-a<1, ? 解 由命题 p:1∈A,得? 解得 a>1 ?a>1. ? ?-2-a<2, ? 由命题 q:2∈A,得? 解得 a>2. ?a>2. ? 又∵p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,即 p 真 q 假或 p 假 q 真, ?a>1, ?a≤1, ? ? 当 p 真 q 假时,? 即 1<a≤2,当 p 假 q 真时,? 无解. ? ? ?a≤2, ?a>2, 故所求 a 的取值范围为(1,2]. 6 -1的定义域为集合 A,函数 g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为 x+1

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