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空间向量练习题

时间:2014-01-02


1

空间向量在立体几何中的应用 【知识梳理】1、已知直线 l1 , l2 的方向向量分别为 v1 , v2 ,平面 ? , ? 的法向量分别为 n1 , n2 ,则 (1) l1 / / l2 ? (3)若直线 l1 , l2 的夹角为 ? ,则 cos? ? (4) l1 / /? ? (6)若直线 l1 与面 ? 的成角为 ? ,则 sin ? ? (7) 面? / /面? ? ; (8) 面? ? 面? ? ; (5) l1 ? ? ? ; ; 。 ; (2) l1 ? l2 ? ; ; ;

?? ?? ?

?? ?? ?

(9)若 面? 与面? 成二面角的平面角为 ? ,则 2、 (1)三余弦定理: ; (2)三垂线定理(及逆定理) : (3) 二面角的平面角定义 (范围) : 【小试牛刀】1、A(1,1,-2)、B(1,1,1),则线段 AB 的长度是( ? A.1 ? B.2 ? C.3 ) ? D. 上都不对 以 ?

; ; )? D.4

2、向量 a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),则 a 与 b( A.相交 B.垂直? C. 行 平

3.如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点.若 A1 B1 =a,

A1 D1 =b, A1 A =c,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是(
A.-



1 1 a+ b+c 2 2 1 b+c 2

B.

1 1 a+ b+c 2 2 1 1 a- b+c 2 2
B. OM ?
1 1 1 OA ? OB ? OC 2 3 5

C. a-

1 2

D.-

4.下列等式中,使点 M 与点 A、B、C 一定共面的是 A. OM ? 3OA ? 2OB ? OC C. OM ? OA ? OB ? OC ? 0

D. MA ? MB ? MC ? 0

5.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1,点 E、F 分别是 AB、 AD 的中点,则 EF ? DC 等于

2

A.

1 4

B. ?

1 4

C.

3 4

D. ?

3 4

6.若 a ? (1, ? ,2) , b ? (2,?1,1) , a 与 b 的夹角为 60 0 ,则 ? 的值为 A.17 或-1 B.-17 或 1 C.-1 D.1

7.设 OA ? (1,1,?2) , OB ? (3,2,8) , OC ? (0,1,0) ,则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离 为 A.
13 2

B.

53 2

C.

53 4

D.

53 4

8.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是 .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 9.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1, 则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A.
6 3

B.

2 5 5

C.

15 5

D.

10 5

10.⊿ABC 的三个顶点分别是 A(1,?1,2) , B(5,?6,2) ,C (1,3,?1) ,则 AC 边上的高 BD 长 为 A.5 B. 41 C.4 D. 2 5 .

11.设 a ? (x,4,3) , b ? (3,?2, y) ,且 a // b ,则 xy ?

12.已知向量 a ? (0,?1,1) , b ? (4,1,0) , ?a ? b ? 29 且 ? ? 0 ,则 ? =________. 13.在直角坐标系 xOy 中,设 A(-2,3) ,B(3,-2) ,沿 x 轴把直角坐标平面折成 大小为 ? 的二面角后, 这时 AB ? 2 11 , ? 的大小为 则 .

14.如图,P—ABCD 是正四棱锥, ABCD ? A1B1C1D1 是正方体, 其中 AB ? 2, PA ? 6 ,则 B1 到平面 PAD 的距离为 . ? ? ? ? ? 15、已知 a ? ? 2, 4, x ? , b ? ? 2, y, 2 ?,若 a ? 6 且a ? b ,求 x ? y 值.

3

16 如图所示, 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, CA=CB=1, ∠BCA=90° 棱 AA1=2, N 分别是 A1B1、 , M、 A1A 的中点. (1)求 BN 的长; (2)求 cos< BA1 ,CB1 >的值 (3)求证:A1B⊥C1M.

17.如图,在四面体 ABCD 中, CB ? CD AD ? BD ,点 E,F 分别是 AB,BD 的中 , 点.求证: (1)直线 EF // 面 ACD ; (2)平面 EFC ? 面 BCD .

18. 本小题满分 14 分) ( 如图, 已知点 P 在正方体 ABCD? A' B' C' D' 的对角线 BD' 上, ∠PDA=60°. D' C' (1)求 DP 与 CC' 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA' D' D 所成角的大小.
A' P B'

D A B

C

19.(本小题满分 14 分)已知一四棱锥 P-ABCD 的三视图如下,E 是侧棱 PC 上的 动点. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)是否不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE?证明你的结论; (3)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D-AE-B 的大小.
P

E

2
D C

2 1

A

B

1 正视图

1 侧视图

1 俯视图

4

参考答案 1、C

2、C

1 1 1 1 3. B1 M ? B1 B ? BM ? A1 A ? ( BA ? BC) =c+ (-a+b)=- a+ b+c,故选 A. 2 2 2 2
4.
由于M、A、B、C四点共面 ? OM ? xOA ? yOB ? zOC ( x, y, z ? R)且x ? y ? z ? 1

? 选项( A)、B)、 )都不正确. 由于MA ? MB ? MC ? 0 ? MA ? ? MB ? MC ( (C

所以存在x ? ?1, y ? 1, 使 MA ? x MB ? y MC ? MA, MB, MC共面

故选 D. 由于M为公共点? M、A、B、C四点共面, 5.∵ E, F分别是AB, AD的中点 ,? EF // BD且EF ?
? EF ? DC ?

1 1 BD,? EF ? BD , 2 2

1 1 1 1 BD ? DC ? BD ? DC cos ? BD, DC ?? ? 1 ? 1 ? cos120 0 ? ? 故选 B. 2 2 2 4

6.B

7.B

8.D

9.D
AB ? AC AC ? 4 ,所以 BD ?
AB ? AD
2 2

10.由于 AD ? AB ? cos ? AB, AC ? ? 11.9 12.3

? 5 ,故选 A

13.作 AC⊥x 轴于 C,BD⊥x 轴于 D,则 AB ? AC ? CD ? DB ∵ AC ? 3, CD ? 5, DB ? 2, AC ? CD ? 0, CD ? DB ? 0, AC ? DB ? AC ? DB cos( 0 ? ? ) ? ?6 cos? 180
? AB ? ( AC ? CD ? DB ) 2 ? AC ? CD ? DB ? 2( AC ? CD ? CD ? DB ? DB ? AC ) 1 ? (2 11) 2 ? 3 2 ? 5 2 ? 2 2 ? 2(0 ? 0 ? 6 cos? ),? cos? ? ? .由于 0 0 ? ? ? 180 0 ,?? ? 120 0 2
14.以 A1 B1 为 x 轴, A1 D1 为 y 轴, A1 A 为 z 轴建立空间直角坐标系设平面 PAD 的法向量是
2 2 2 2

?? ???? ??? ? m ? ( x, y, z ) ,? AD ? (0, 2, 0), AP ? (1,1, 2) ,∴ y ? 0, x ? y ? 2 z ? 0 , ?? 取 z ? 1 得 m ? (?2, 0,1) ,

???? ?? B1 A ? m 6 ???? ? B1 A ? (?2, 0, 2) ,∴ B1 到平面 PAD 的距离 d ? ?? ? 5. 5 m ? ? ? ? 2 2 2 15、解:由 a ? 6 ? 2 ? 4 ? x ? 36 ,又 a ? b ? a ? b ? 0 即 4 ? 4 y ? 2 x ? 0
由①②有: x ? 4, y ? ?3或x ? ?4, y ? 1 ? x ? y ? 1或 ? 3 16、如图,建立空间直角坐标系 O—xyz.

5

(1)依题意得 B(0,1,0) 、N(1,0,1) ∴| BN |=

(1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 3 .

(2)依题意得 A1(1,0,2) 、B(0,1,0) 、C(0,0,0) 1(0,1,2) 、B

CB ∴ BA1 ={-1,-1,2}, CB1 ={0,1,2,}, BA1 · 1 =3,| BA1 |=
| CB1 |=

6,


5
BA1 ? CB1 | BA1 | ? | CB1 | ? 1 30 . 10

∴cos< BA1 , CB1 >=

(3)证明:依题意,得 C1(0,0,2) 、M(

1 1 1 1 , , ,2) A1 B ={-1,1,2}, C1 M ={ , , 2 2 2 2

C 0}.∴ A1 B · 1 M =-

1 1 ? +0=0,∴ A1 B ⊥ C1 M ,∴A1B⊥C1M. 2 2

17.证明: (1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵AD ? 面 ACD,EF ? 面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD, ∵CB=CD,F 是BD的中点,∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F, ∴BD⊥面 EFC, ∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC ? 面 BCD . 18.解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz .
??? ? ???? ? 0, 0, 则 DA ? (1, 0) , CC ? ? (0,1) .连结 BD , B?D? .

在平面 BB?D?D 中,延长 DP 交 B?D? 于 H . ???? ??? ? ? ???? ? 1)( DA 设 DH ? (m,m, m ? 0) ,由已知 ? DH, ?? 60? ,
??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ??? ???? ? ? DH 由 DA?DH ? DA DH cos ? DA, ? ,可得 2m ? 2m 2 ? 1 .

解得 m ?

???? ? 2 2 ? ? 2 1? ,所以 DH ? ? ? 2 ,2 , . ? 2 ? ?

z

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ???? ???? ? ? 2 2 (1)因为 cos ? DH, ? ?? 2 , CC ? 2 1? 2

D? ? A
D A x

H P

C?

B?
C B y

???? ???? ? ? CC 所以 ? DH, ? ?? 45? ,即 DP 与 CC ? 所成的角为 45? .
???? 1, (2)平面 AA?D?D 的一个法向量是 DC ? (0,0) .

6

2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 ???? ???? ? 1 2 因为 cos ? DH, ?? 2 DC ? , 2 1? 2

???? ???? ? 所以 ? DH, ?? 60? ,可得 DP 与平面 AA?D?D 所成的角为 30? . DC

19.解: (1)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正 1 2 方形,侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2.∴ VP ? ABCD ? S? ABCD ? PC ? 3 3 (2)不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE 证明如下:连结 AC,∵ABCD 是正方形,∴BD⊥AC ∵PC⊥底面 ABCD 且 BD ? 平面 ABCD ∴BD⊥PC 又 AC ? PC ? C ∴BD⊥平面 PAC ∵不论点 E 在何位置,都有 AE ? 平面 PAC

∴不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE (3)解法 1:在平面 DAE 内过点 D 作 DG⊥AE 于 G,连结 BG ∵CD=CB,EC=EC,∴ Rt ?ECD ≌ Rt ?ECB ,∴ED=EB ∵AD=AB,∴△EDA≌△EBA,∴BG⊥EA ∴ ?DGB 为二面角 D-EA-B 的平面角 ∵BC⊥DE,AD∥BC,∴AD⊥DE
2 在 Rt△ADE 中 DG ? AD ? DE = =BG AE 3
2 2 2 在△DGB 中,由余弦定理得 cos ?DGB ? DG ? BG ? BD ? ? 1

∴ ?DGB =

2? 2? ,∴二面角 D-AE-B 的大小为 . 3 3

2 DG ? BG

2

解法 2:以点 C 为坐标原点,CD 所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:
z

则 D(1,0,0), A(1,1,0), B(0,1,0), E(0,0,1) ,从而
???? ??? ? ??? ? ??? ? DE ? (?1, 0,1), DA ? (0,1, 0), BA ? (1, 0, 0), BE ? (0, ?1,1)

P

E x D

设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 ?? ? m ? (a, b, c), n ? (a ', b ', c ')

C

A

由法向量的性质可得: ?a ? c ? 0, b ? 0 , a ' ? 0, ?b '? c ' ? 0
?? ? 令 c ? 1, c ' ? ?1,则 a ? 1, b ' ? ?1 ,∴ m ? (1, 0,1), n ? (0, ?1, ?1)
?? ? m?n 设二面角 D-AE-B 的平面角为 ? ,则 cos ? ? ??? ? ? ? 1 2 | m |?| n |

y

B

∴? ?

2? 2? ,∴二面角 D-AE-B 的大小为 . 3 3


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