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无锡市辅仁高中高三数学综合练习1


无锡市辅仁高中高三数学综合练习 1
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把每小题的答案填在答题纸相应 的位置上) 1.已知 z1 ? 1 ? i, z2 ? 1 ? i, 且

1 1 1 ? ? ,则 z ? z z2 z1

▲ .

2.已知等比数列 ?an ? 中,各项都

是正数,且 a1 , 3.函数 f ( x) ? 3 cos x ? sin x (?

a ?a 1 a3 ,2a2 成等差数列,则 9 10 = ▲ . a7 ? a8 2

? ? ? x ? ) 的值域为 ▲ . 2 2

4.下图是一个算法的流程图,则输出 n 的值是 ▲ .

5.观察 ( x 2 )? ? 2 x , ( x 4 )? ? 4 x 3 , (cos x)? ? ? sin x ,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函 数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则 g (? x) 与 g ( x) 的关系是 ▲ . 6.已知 ? 、 ? 表示两个不同的平面, m 是平面 ? 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ” 的 ▲ 条件. (填 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不充分也不必要” 、 “充要” 之一)“必 要不充分” 7.用数字 1,2,3 作为函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的系数,则该函数有零点的概率为 ▲ .

?x ? 0 ? 8. 已知点 M (a, b) 在由不等式组 ? y ? 0 所确定的平面区域内, 则 N (a ? b, a ? b) 所在的平 ?x ? y ? 2 ?
面区域的面积为 ▲ . 9 . 给 出 下 列 四 个 命题 :① 函 数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) 的 图 象 关 于 点 (?

? ,0) 对 称 ; ② 若 6

a ? b ? ?1 , 则

a b ? ; ③ 存 在 实 数 x , 使 x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ; ④ 设 P ( x1 , y1 ) 为 圆 1? a 1? b

O1 : x 2 ? y 2 ? 9 上任意一点,圆 O2 : ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? 1 ,当 ( x1 ? a ) 2 ? ( y1 ? b) 2 ? 1 时,两
圆相切.其中正确命题的序号是 ▲ . (把你认为正确的都填上) 10.在 ?ABC 中, AB ? 4, AC ? 2 , M 是 ?ABC 内一点,且满足 2 MA ? MB ? MC ? 0 ,则

AM ? BC = ▲ .
11.若 tan(? ? ? ) ? ?3 ,则

sin 2? 的值为____________. cos 2 ?

12.设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列四个命题: (1)若 ? // ? , m ? ? , 则 m // ? (2)若 m // ? , n ? ? , 则 m // n (3)若 ? ? ? , m // ? , 则 m ? ? (4)若 m ? ? , m // ? , 则 ? ? ? 其中真命题的个数为______________. 13.在等差数列 ?an ? 中, S n 表示其前 n 项,若 S n ? 围是 ▲ .

n m (m ? n) ,则 S n ? m 的取值范 , Sm ? m n

x ( x ? R ) ,区间 M ? ?a, b? (a ? b) ,集合 N ? ?y | y ? f ( x), x ? M ? , 1? | x | 则使 M ? N 成立的实数对 (a, b) 有 ▲ 对.
14.设函数 f ( x) ? ? 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本小题满分 14 分)

A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 P 在单位圆上, ?AOP ? ? , (0 ? ? ? ? ), OQ ? OA ? OP, 四边形 OAQP 的面积为 S
⑴求 OA ? OQ ? S 的最大值及此时 ? 的值 ? 0 ; ⑵设点 B (? , ), ?AOB ? ? , 在⑴的条件下求 cos(? ? ? 0 ) .

3 4 5 5

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 A—BCDE 中,底面 BCDE 是直角梯形, ?BED ? 90 ? ,BE∥CD,AB=6,BC=5,

CD 1 ? ,侧面 ABE⊥底面 BCDE, ?BAE ? 90? . BE 3 ⑴求证:平面 ADE⊥平面 ABE; ⑵过点 D 作面 ? ∥平面 ABC,分别于 BE,AE 交于点 F,G,求 ?DFG 的面积.

17. (本小题满分 14 分) 如图所示,一科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 ? 角的射线 OZ 方向航行,而在离港口

13 a ( a 为正常数)海里的北偏东 ? 角的 A 处有一个供给科考船物资的小岛,其中 2 1 .现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口 O 正东 m 海里的 B 处的补给 tan ? ? ,cos ? ? 3 13 船,速往小岛 A 装运物资供给科考船,该船沿 BA 方向全速追赶科考船,并在 C 处相遇.经 测算当两船运行的航向与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 的面积最小时,这种补给最适宜. ⑴ 求 S 关于 m 的函数关系式 S (m) ; ⑵ 应征调 m 为何值处的船只,补给最适宜.

18. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)若 f ( x) ? ? x2 ? ax ? 6 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)过点 A(?e?2 ,0) 作函数 y ? f ( x) 图像的切线,求切线方程.

19. (本小题满分 16 分)

1 1 , bn ? ,其中 n ? N ? . 4 an 2 an ? 1 ⑴求证:数列 ?bn ? 为等差数列;
在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? 1 ?

⑵设 cn ? 2bn ,试问数列 ?cn ? 中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,求出这三 项;若不存在,说明理由. ⑶ 已 知 当 n ? N ? 且 n ? 6 时 , (1 ?

m n 1 m ) ? ( ) , 其 中 m ? 1,2,? n , 求 满 足 等 式 n?3 2 3n ? 4 n ? ? ? (n ? 2) n ? (bn ? 3)bn 的所有 n 的值.

20. (本小题满分 16 分)

a ,a 为正常数. x ?1 9 ⑴若 f ( x) ? ln x ? ? ( x) ,且 a ? ,求函数 f ( x) 的单调增区间; 2 ⑵在⑴中当 a ? 0 时, 函数 y ? f ( x) 的图象上任意不同的两点 A?x1 , y1 ? ,B?x 2 , y 2 ? , 线段 AB ? 的中点为 C ( x 0 , y 0 ) ,记直线 AB 的斜率为 k ,试证明: k ? f ( x0 ) . g ( x 2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 ,求 a ⑶若 g ( x) ? ln x ? ? ( x) ,且对任意的 x1 , x 2 ? ?0,2? , x1 ? x 2 ,都有 x 2 ? x1 的取值范围.
已知函数 ? ( x) ?

参考答案
填空题答案 : -;

3? 2 2 ;

?? 1,2? ;

5;

g (? x) + g ( x) =0; 必要不充分;

1 ; 3

4;

②③; -3; 6; 2; (4, ? ? ) ; 0 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本小题满分 14 分) 解: ⑴由已知 A(1,0), P (cos ? , sin ? ) ??????????????3

? OQ ? OA ? OP ,? OQ ? (1 ? cos ? , sin ? )
又 S ? sin ? , ? OA ? OQ ? S ? sin ? ? cos ? ? 1 ? 2 sin(? ? 故 OA ? OQ ? S 的最大值是 2 ? 1 ,此时 ? 0 ?

?
4

) ? 1 (0 ? ? ? ? )

? , ??????????????8 4 3 4 3 4 ⑵? B (? , ), ?AOB ? ? , ? cos ? ? ? , sin ? ? ??????????????10 5 5 5 5 ? 2 7 2 .??????????????14 cos(? ? ? 0 ) = cos(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) ? ?
4 2 10 16. (本小题满分 14 分) (1)证明:因为侧面 ABE⊥底面 BCDE, 侧面 ABE∩底面 BCDE=BE, DE ? 底面 BCDE, DE⊥BE, 所以 DE⊥平面 ABE, 所以 AB⊥DE, 又因为 AB ? AE , 所以 AB⊥平面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 ABE;??????????????????????7 (2)因为平面 ? ∥平面 ABC, 所以 DF ∥ BC ,同理 FG ∥ AB ??????????????????9 所以四边形 BCDF 为平行四边形. 所以 DF ? BC ? 5, CD ? BF ,
因为

CD 1 EF 2 ? ,所以 ? BE 3 EB 3 2 所以 FG ? AB ? 4 ???????????????????11 3 由⑴易证: FG ? 平面 ADE,所以 FG ? DG ,所以 DG ? 3 所以 ?DFG 的面积 S ? 6 . ????????????????????14
17. (本小题满分 14 分) 解 ⑴以 O 为原点,OB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系, 则直线 OZ 方程为 y ? 3 x . ?????????????????????????2

设点 A?x 0 , y 0 ? , 则 x 0 ? 13a sin ? ? 13a ?

3 13

? 3a , y 0 ? 13a cos ? ? 13a ?

2 13

? 2a ,

即 A?3a,2a ? ,又 B?m,0 ? ,所以直线 AB 的方程为 y ? 上面的方程与 y ? 3 x 联立得点 C (

2a ?x ? m ? . 3a ? m

2am 6am , ) ???????????5 3m ? 7 a 3m ? 7 a 1 3am 2 7 ???????????8 ? S (m) ? OB? | y C |? (m ? a) 2 3m ? 7 a 3 ? ? ? 7 49a 2 14 ? 49a 2 14 28a 2 ? a ? ? a(2 ? a) ? ⑵ S ( m ) ? a ?( m ? a ) ? ???????12 7 3 3 ? 9 3 3 ? 9(m ? a ) ? ? 3 ? ?
14 49a 2 时,即 m ? a 时取等号, 7 3 9(m ? a ) 3 18. (本小题满分 16 分)
当且仅当 m ?

7 a? 3

??????????14

解: (1)

f '( x) ? ln x ? 1 ? f '( x) ? 0 得 ln x ? ?1 ??????????2

?0 ? x ?
(2)

1 1 ? 函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) ;??????????4 e e 6 f ( x) ? ? x2 ? ax ? 6 即 a ? ln x ? x ? x

设 g ( x) ? ln x ? x ?

x 2 ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) 6 ? 则 g '( x) ? ???????6 x x2 x2

当 x ? (0, 2) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递减; 当 x ? (2, ??) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增;

? g ( x) 最小值 g (2) ? 5 ? ln 2 ? 实数 a 的取值范围是 (??,5 ? ln 2] ;
(3)设切点 T ( x0 , y0 ) 则 k AT ? f '( x0 ) ?

??????????9 ??????????10

x0 ln x0 ? ln x0 ? 1 即 e2 x0 ? ln x0 ? 1 ? 0 1 x0 ? 2 e

设 h( x) ? e x ? ln x ? 1 ,当 x ? 0 时 h '( x) ? 0 ? h( x) 是单调递增函数
2

? h( x) ? 0 最多只有一个根,
又 h(

??????????14

1 1 1 1 ) ? e2 ? 2 ? ln 2 ? 1 ? 0 ? x0 ? 2 2 e e e e

由 f '( x0 ) ? ?1 得切线方程是 x ? y ?

1 ? 0. e2

??????????16

19. (本小题满分 16 分) 1 1 1 1 ⑴证明: bn ?1 ? bn ? ? ? ? ? 1 ????????2 2an ?1 ? 1 2an ? 1 2 ? 1 ? 1 2an ? 1 2 an ∴数列 ?bn ? 为等差数列 ????????????????4 ⑵解:假设数列 ?cn ? 中存在三项,它们可以够成等差数列;不妨设为第 p, r , q ( p ? r ? q ) 项, 由⑴得 bn ? n ,∴ cn ? 2 n , ∴ 2 ? 2r ? 2 p ? 2q , ????????????????5 ????????????????7 ????????????????9 ????????????????10

∴ 2 r ?1? p ? 1 ? 2 q ? p

又 2 r ?1? p 为偶数, 1 ? 2 q ? p 为奇数. 故不存在这样的三项,满足条件.

⑶由⑵得等式 3n ? 4 n ? ? ? (n ? 2) n ? (bn ? 3)bn 可化为 3n ? 4 n ? ? ? (n ? 2) n ? (n ? 3) n

3 n 4 n n?2 n ) ?( ) ?? ? ( ) ?1 n?3 n?3 n?3 n n n ?1 n 1 n ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 1 ????????????????12 ∴ (1 ? n?3 n?3 n?3 m n 1 m ) ?( ) , ∵当 n ? 6 时, (1 ? n?3 2 1 n 1 2 n 1 n n 1 n ) ? , (1 ? ) ? ( ) 2 , ? (1 ? ) ?( ) , ∴ (1 ? n?3 2 n?3 2 n?3 2 n n n ?1 n 1 n 1 1 2 1 1 ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? ? ( ) ? ?( )n ? 1 ? ( )n ? 1 ∴ (1 ? n?3 n?3 n?3 2 2 2 2
即( ∴当 n ? 6 时, 3n ? 4 n ? ? ? (n ? 2) n ? (n ? 3) n 当 n ? 1,2,3,4,5 时,经验算 n ? 2,3 时等号成立 ∴满足等式 3n ? 4 n ? ? ? (n ? 2) n ? (bn ? 3)bn 的所有 n ? 2,3 20. (本小题满分 16 分) 解:⑴ f ?( x) ? ∵a ? ???????????16 ????????????????14

1 a x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? ? 2 x ( x ? 1) x( x ? 1) 2

9 1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 或 0 ? x ? 2 2 1 ∴函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, ), (2,??) 2 ⑵证明:当 a ? 0 时 f ( x) ? ln x

???????????4

∴ f ?( x) ?

1 x

∴ f ?( x0 ) ?

1 2 ? x0 x1 ? x2
ln

x2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ln x2 ? ln x1 x1 又k ? ? ? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1
不妨设 x2 ? x1 , 要比较 k 与 f ?( x0 ) 的大小,

x2 2 x1 即比较 与 的大小,又∵ x2 ? x1 , x2 ? x1 x1 ? x2 ln

∴ 即比较 ln

x2 2( x2 ? x1 ) 与 ? x1 ? x2 x1

2(

x2 ? 1) x1 的大小. x2 ?1 x1
???????????????8

令 h( x) ? ln x ? 则 h?( x) ?

2( x ? 1) ( x ? 1) x ?1

1 4 ( x ? 1) 2 ? ? ?0 x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

∴ h( x) 在 ?1,?? ? 上位增函数.



x2 x ? 1 ,∴ h( 2 ) ? h(1) ? 0 , x1 x1

∴ ln

x2 ? x1

2(

x2 ? 1) x1 , x2 ?1 x1

即 k ? f ?( x0 ) ⑶∵

?????????????????10

g ( x 2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 , x 2 ? x1



g ( x2 ) ? x2 ? ?g ( x1 ) ? x1 ? ?0 x2 ? x1

由题意得 F ( x) ? g ( x) ? x 在区间 ?0,2? 上是减函数.???????????????12

1? 当 1 ? x ? 2, F ( x) ? ln x ?

1 a a ?1 ? x , ∴ F ?( x) ? ? x ( x ? 1) 2 x ?1

( x ? 1) 2 1 ? ( x ? 1) 2 ? x 2 ? 3 x ? ? 3 在 x ? ?1,2? 恒成立. x x 1 1 设 m( x) ? x 2 ? 3x ? ? 3 , x ? ?1,2? ,则 m?( x) ? 2 x ? 2 ? 3 ? 0 x x 27 ∴ m( x) 在 ?1,2? 上为增函数,∴ a ? m(2) ? ???????????????14 2

由 F ?( x) ? 0 ? a ?

2? 当 0 ? x ? 1, F ( x) ? ? ln x ?

1 a a ?1 ? x ,∴ F ?( x) ? ? ? x ( x ? 1) 2 x ?1

由 F ?( x) ? 0 ? a ? ?
1 x

( x ? 1) 2 1 ? ( x ? 1) 2 ? x 2 ? x ? ? 1 在 x ? (0,1) 恒成立 x x

设 t ( x) ? x 2 ? x ? ? 1 , x ? (0,1) 为增函数
∴ a ? t (1) ? 0 综上:a 的取值范围为 a ?

27 2

???????????????16


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