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高一试卷习题(附答案)1

时间:2012-10-02


模块综合评估(一)
时限:120分钟 满分:150分 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知全集 U={1,2,3,4,5}, 集合 A={x|x2-3x+2=0}, B={x|x =2a,a∈A},则集合?U(A∪B)中元素的个数为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:∵x2-3x+2=0 的两根为 x1=1,x2=2,

∴A={x|x2-3x+2=0}={1,2}, 又∵B={x|x=2a, a∈A}={2,4}, ∴A∪B={1,2,4},又∵U={1,2,3,4,5},∴?U(A∪B)={3,5}, ∴?U(A∪B)中有 2 个元素. 答案:B 2.下列各组中的两个函数是同一函数的是( A.f(x)=(x-1)0 与 g(x)=1 B.f(x)=x 与 g(x)= x2 1-x 1+x C.f(x)= 2 与 g(x)= 2 x +1 x +1 ? x?4 t D.f(x)= x 与 g(t)=( )2 t 解析:对于 A,f(x)=(x-1)0 的定义域是{x|x≠1},g(x)=1 的定 义域为 R,它们的定义域不相同,不是同一函数;对于 B,f(x)=x 与 g(x)= x2=|x|的对应关系不同(值域不同),不是同一函数;对于 C, f(x)= 1-x 1+x 与 g(x)= 2 的对应关系不同,不是同一函数;对于 D, 2 x +1 x +1 )

? x?4 f(x)= x =x(x>0)与 g(t)=t(t>0)的定义域与对应关系相同, 它们是同 一函数,故应选 D. 答案:D 3.如果幂函数 y=(m2-3m+3)xm2-m-2 的图象不过原点,则 m 的取值是( ) B.m=1 或 m=2 D.m=1

A.-1≤m≤2 C.m=2

解析:由幂函数的定义知 m2-3m+3=1,所以 m=1,或 m=2. 又图象不过原点,所以 m2-m-2≤0,经验证 m=1,或 m=2 均适 合. 答案:B 4.已知函数 f(x)=5-|x|,g(x)=-5+|x|,则 F(x)=f[g(x)]的图象 是下列四个图象中的( )

解析:由已知条件知:F(x)=f[g(x)]

?10-x?x≥5?, ?x?0≤x<5?, =5-|-5+|x||=? -x?-5<x<0?, ?10+x?x≤-5?, ?
答案:C

故选 C.

5.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的 值为( ) B.0 D.2

A.-1 C.1 解析:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴f(6)=f(2). ∵f(2)=-f(0)=0,∴f(6)=0. 答案:B

f?2x? 6.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域 x-1 是( ) A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] B.[0,1) D.(0,1)

解析:∵函数 y=f(x)的定义域为[0,2],令 2x∈[0,2],得 x∈[0,1],

∴y=f(2x)的定义域为[0,1]. ∴函数 g(x)= 答案:B 7.若偶函数 f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则( 3 A.f(-2)<f(-1)<f(2) 3 B.f(2)<f(-2)<f(-1) 3 C.f(2)<f(-1)<f(-2) 3 D.f(-1)<f(-2)<f(2) 解析:∵f(x)在(-∞,-1]上为增函数且为偶函数, 3 ∴f(2)=f(-2)<f(-2)<f(-1). 答案:B 8.若 x∈(0,1),则下列结论正确的是( A.2x>x C.x
1 2 1 2

f?2x? 的定义域为[0,1). x-1

)

)

>lgx B.2x>lgx>x
x 1 2

1 2

>2 >lgx D.lgx>x

>2x

解析:∵x∈(0,1), ∴分别由指数函数、对数函数、幂函数的单调性知 2x>1,0<x 1,lgx<0,故 2 >x 答案:A 9. a>1 时, 当 函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只可能是( )
x 1 2 1 2

<

>lgx.

解析:当 a>1 时,函数 y=logax 的图象只能在 A 和 B 中选,又 当 a>1 时,y=(1-a)x 为减函数,所以应选 B. 答案:B 10.已知 x>y>1,0<a<1,以下结论成立的是( A.x-a>y-a C.logax>logay B.ax>ay D.logxa>logya )

解析:y=x-a(0<a<1)在(0,+∞)上单调递减, ∴x-a<y-a,故 A 项不正确; y=ax(0<a<1)在定义域内单调递减, ∴ax<ay,故 B 项不正确; y=logax(0<a<1)是减函数, ∴logax<logay,故 C 项不正确.故应选 D. 答案:D

11.设函数 y=f(x)的定义域为{x|x>0},且 f(xy)=f(x)+f(y),f(8) =3,则 f( 2)等于( 1 A.2 C.-1 ) B.1 1 D.-2

解析:∵f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4),f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2), ∴f(8)=3f(2),f(2)=f( 2× 2)=2f( 2), 1 ∴f(8)=6f( 2)=3,∴f( 2)=2. 答案:A 12.设集合 B={a1,a2,…,an},J={b1,b2,…,bm},定义 集合 B⊕J={(a,b)|a=a1+a2+…+an,b=b1+b2+…+bm},已知 B ={51,21,28},J={89,70,52},则 B⊕J 的子集为( A.(100,211) C.?,{100,211} B.{(100,211)} D.?,{(100,211)} )

解析:a=51+21+28=100,b=89+70+52=211, ∴B?J={(100,211)},其子集为?和{(100,211)}. 答案:D 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知集合 A={a2,a+1,-3},B={a-3,a2+1,2a-1}, 若 A∩B={-3},实数 a 的值为________. 解析:∵A∩B={-3},∴-3∈B, 当 a-3=-3,即 a=0 时,A={0,1,-3},B={-3,1,-1}, A∩B={1,-3}与已知条件矛盾,舍去;当 2a-1=-3,即 a=-1 时,A={1,0,-3},B={-4,2,-3},适合条件. 综上所述 a=-1.

答案:-1 14.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2 -x),则 f(x)=________. 解析:∵f(x)为 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 当 x>0 时,-x<0,∴f(-x)=xlg(2+x). 又 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x). ∴-f(x)=xlg(2+x), ∴f(x)=-xlg(2+x)(x>0).

?-xlg?2+x? ? ∴f(x)=?0 ?x=0?, ?-xlg?2-x? ?

?x>0?, ?x<0?. ?x>0? ?x<0?

?-xlg?2+x? ? 答案:f(x)=?0 ?x=0? ?-xlg?2-x? ?

15.一个圆柱形容器的底面直径为 dcm,高度为 hcm,现以每秒 Scm3 的速度向容器内注入某种溶液,则容器内溶液高度 y(cm)与注入 时间 t(s)的函数解析式及其定义域是________. 4S 解析:依题意,容器内溶液每秒升高πd2(cm),得函数关系式为 y 4S =πd2· t; 4S πhd2 注满容器所需时间为 h÷ πd2)= 4S (s). ( πhd2 所以可得函数的定义域为[0, 4S ]. 4S πhd2 故所求函数解析式为 y=πd2t,定义域为 t∈[0, 4S ].

4S πhd2 答案:y=πd2t,t∈[0, 4S ] 16.函数 f(x)=lnx-x+2 的零点个数为________. 解析:作出函数 g(x)=lnx 和 h(x)=x-2 图象可得两函数图象有 两个交点,即方程 lnx=x-2 有两个解,即函数 f(x)=lnx-x+2 有两 个零点. 答案:2 三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程,只写最后结果的 不得分,共 70 分) 17. 分)设全集 U=R, (10 A={x|x<-3, x>2}, 或 B={x|-1<x<3}, 求: (1)?U(A∩B); (2)(?UA)∪(?UB); (3)A∪B. 解:(1)∵A∩B={x|x<-3,或 x>2}∩{x|-1<x<3}={x|2<x<3}, ∴?U(A∩B)={x|x≤2,或 x≥3). (2)(?UA)∪(?UB)={x|-3≤x≤2}∪{x|x≤-1, x≥3}={x|x≤2, 或 或 x≥3}. (3)A∪B={x|x<-3,或 x>2}∪{x|-1<x<3}={x|x<-3,或 x>- 1}. 18. (12 分)函数 f(x)= 1 2 f(2)=5. (1)求实数 a,b,并确定函数 f(x)的解析式; (2)判断 f(x)在(-1,1)上的单调性,并用定义证明你的结论. 解:(1)∵f(x)是奇函数, ax+b 是定义在(-∞, +∞)上的奇函数, 且 x2+1

∴f(-x)=-f(x), 即 -ax+b ax+b =- 2 ,-ax+b=-ax-b. 2 x +1 x +1 ax 1 2 .又 f(2)=5, x +1
2

∴b=0,∴f(x)=

1 2a 2 x ∴1 =5,∴a=1,∴f(x)= 2 . x +1 +1 4 (2)f(x)在(-1,1)上是增函数. 证明如下:任取 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2, x1 x2 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 x1+1 x2+1 = ?x1-x2??1-x1x2? ?x2+1??x2+1? 1 2

∵-1<x1<x2<1, ∴-1<x1x2<1,x1-x2<0,1-x1x2>0,x2+1>0,x2+1>0.∴f(x1)- 1 2 f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(-1,1)上是增函数. 19.(12 分)已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性,并予以证明; (3)若 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 解:(1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),
?x+1>0, ? 则? 解得-1<x<1. ?1-x>0, ?

故所求函数 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}. (2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},

且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)] =-f(x),故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数,所以 x+1 f(x)>0? >1. 1-x 解得 0<x<1. 所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是{x|0<x<1}. 20. 分)某商品在近 30 天内每件的销售价格 p(元)与时间 t(天) (12
?t+20,0<t<25,t∈N, ? 的函数关系是 p=? 该商品的日销售量 ? ?-t+100,25≤t≤30,t∈N.

Q(件)与时间 t(天)的函数关系是 Q=-t+40(0<t≤30,t∈N),求这种 商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天 中的第几天? 解:设日销售金额为 y(元),则 y=pQ,
? 2 ?-t +20t+800,0<t<25,t∈N, ∴y=? 2 ?t -140t+4000,25≤t≤30,t∈N, ? ?-?t-10?2+900,0<t<25,t∈N, ? 即 y=? 2 ? ??t-70? -900,25≤t≤30,t∈N.

当 0<t<25,t∈N,t=10 时,ymax=900(元); 当 25≤t≤30,t∈N,t=25 时,ymax=1125(元). 由 1125>900,知 ymax=1125 元,即第 25 天时日销售金额最大. 21.(12 分)二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方, 试确定实数 m 的范围.

解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax2+bx+1. 又∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x,所以
?2a=2, ?a=1, ? ? ? ∴? ?a+b=0. ?b=-1. ? ?

∴f(x)=x2-x+1. (2)由题意得 x2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立, 即 x2-3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立. 3 设 g(x)=x2-3x+1-m,其图象的对称轴是直线 x=2, 所以 g(x)在[-1,1]上递减. 故只需 g(1)>0,即 12-3×1+1-m>0,解得 m<-1. 22.(12 分)已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b 为实数),x∈R,F(x)
?f?x? ?x>0?, ? =? ? ?-f?x? ?x<0?.

(1)若 f(-1)=0, 且函数 f(x)的值域为[0, +∞), F(x)的表达式; 求 (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数, 求实数 k 的取值范围; (3)设 m· n<0,m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,判断 F(m)+F(n)能 否大于零? 解:(1)∵f(-1)=0, ∴a-b+1=0.又 x∈R,f(x)≥0 恒成立,
? ?a>0, ∴? ∴b2-4(b-1)≤0, 2 ?Δ=b -4a≤0, ?

∴b=2,a=1. ∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.
??x+1?2 ?x>0?, ? ∴F(x)=? 2 ? ?x<0?. ?-?x+1?

(2)由(1)知 g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1 2-k 2 ?2-k?2 =(x+ 2 ) +1- 4 , k-2 k-2 当 2 ≥2 或 2 ≤-2 时,即 k≥6 或 k≤-2 时,g(x)是单调函 数. (3)∵f(x)是偶函数,∴f(x)=ax2+1,
?ax2+1 ?x>0? ? F(x)=? , 2 ? ?-ax -1 ?x<0?

∵m· n<0,设 m>n,则 n<0. 又 m+n>0,∴m>-n>0,且|m|>|-n|. ∴F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am2+1)-an2-1 =a(m2-n2)>0. ∴F(m)+F(n)能大于零.


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