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浙江省宁波市效实中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(普通版)试题


宁波市效实中学

二○一五学年度 第 一 学 期

期中考试试卷

高二数学
说明:本试卷共 100 分. 请在答题卷内按要求作答 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的. 1、复数

3 ? ai 为纯虚数,则实数

a 的值为 2 ? 3i

A .1
2、椭圆 x ?
2 2

B . ?1

C .2

D . ?2

y ? 1 的焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 m 1 1 A. C .2 B. D. 4 4 2 x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个 3、已知椭圆 4 交点为 P ,则 PF2 的值为
A.

3 2

B. 3

C.

7 2

D. 4

4、双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,以 F1F2 为直径的圆与双曲线渐 a 2 b2

近线的一个交点为 (3, 4) ,则此双曲线的方程为

A.

x2 y2 ? ?1 16 9

B.

x2 y2 ? ?1 9 16

C.

x2 y2 ? ?1 3 4

D.

x2 y2 ? ?1 4 3

2 5、已知 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点,则点 P 到直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 和 y 轴的距离之和的

最小值是

A. 3

B. 5

C .2

D . 5 ?1

6、过点 A( ?2,3) 作直线与抛物线 y 2 ? 8x 在第一象限相切于点 B ,记抛物线的焦点为 F ,则 直线 BF 的斜率为

A.

2 3

B.

3 2

C.

3 4

D.

4 3

7、 双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线上任意一点 P 到两个焦点的距离之差的绝对值与 a 2 b2

2 a 的大小关系为 A .恒等于 2 a

B .恒大于 2 a

C .恒小于 2 a

D .不确定

8、 已知 F1 , F2 分别是双曲线 x 2 ? my 2 ? 1(m ? 0) 的左, 右焦点,P 为双曲线左支上任意一点,

???? 2 PF2 若 ???? 的最小值为 8 ,则双曲线的离心率的取值范围是 PF1
A . [2, ??)

B . (1,3]

C . (1, 2]

D . [3, ??)

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 4 分,单空题每题 3 分,共 25 分。 9、复数 z ? (3 ? 4i ) 的虚部为
2



, z 的共轭复数 z ?



10、双曲线 y ?
2

x2 ? 1 的焦距是 2



,渐近线方程是



11、已知点 P( x, y ) 在椭圆 C : 2 x 2 ? y 2 ? 4 上,则 2 x ? y 的取值范围是 ▲ ,椭圆 C 上的点到 M (1,0) 的距离的最大值为
2



12、抛物线 C : y ? 2 x 的准线方程是



,经过点 P(4,1) 的直线 l 与抛物线 C 相交于

??? ? ??? ? A, B 两点,且点 P 恰为 AB 的中点, F 为抛物线的焦点,则 AF ? BF ? ▲
13、 如图,F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y2 ? 1 4

与双曲线 C2 的 第四象限的公 离心率是 ▲

公共焦点, A, B 分别是 C1, C2 在第二, 共点。 若四边形 AF1BF2 为矩形, 则 C2 的 14、 已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1的弦 AB 过 3


点 ( ?1,0) , 则

弦 AB 中点的轨迹方程是
2

15、设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直径 的圆过点 (0, 2) ,则 p ? ▲

三、解答题:本大题共 5 小题,共 51 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。

16、 (本题满分 10 分)已知复数 z ? (1)求 z ;

(1 ? i)2 ? 2(5 ? i) , 3?i

(2)若 z ( z ? a) ? b ? i ,求实数 a , b 的值.

17、 (本题满分 10 分)已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条渐近线为 y ? 3x , 右焦点 F (4,0) ,左右顶点分别为 A ,直线 A1P, A2 P 1, A 2 , P 为双曲线上一点(不同于 A 1, A 2 ) 分别与直线 x ? 1 交于 M , N 两点; (1)求双曲线的方程; (2)求证: FM ? FN 为定值,并求此定值. 18、 (本题满分 10 分)已知抛物线 y 2 ? 4 x ,作斜率为 1 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点,交 x 轴于点 M ,弦 AB 的中点为 P (1)若 M (2,0) ,求以线段 AB 为直径的圆的方程; (2)设 M (m,0) ,若点 P 满足

1 1 1 ,求 m 的值. ? ? AM BM PM

19、 (本题满分 10 分)已知椭圆 C : 的一个端点构成等腰直角三角形. (1)求椭圆方程;

2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,经过点 (1, ) ,且两焦点与短轴 2 a b 2

(2) 过椭圆右顶点的两条斜率乘积为 ?

1 的直线分别交椭圆于 M , N 两点, 试问: 直线 MN 是 2

否过定点?若过定点,请求出此定点,若不过,请说明理由. 20、 (本题满分 11 分)已知动圆 Q 过定点 F (0, ?1) ,且与直线 y ? 1 相切;椭圆 N 的对称轴为 坐标轴,中心为坐标原点 O , F 是其一个焦点,又点 (0, 2) 在椭圆 N 上. (1)求动圆圆心 Q 的轨迹 M 的方程和椭圆 N 的方程; (2)过点 (0, ?4) 作直线 l 交轨迹 M 于 A, B 两点,连结 OA, OB ,射线 OA, OB 交椭圆 N 于

C , D 两点,求 ?OCD 面积的最小值.
(3)附加题(本题额外加 5 分) :过椭圆 N 上一动点 P 作圆 x ? ( y ?1) ? 1 的两条切线,切
2 2

点分别为 G , H ,求 PG ? PH 的取值范围。

命题、校对:高二备课组

宁波效实中学
一、选择题: 题号 1 答案 C

二〇一五学年度 高二数学期中考试答案 第 一 学 期

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分.

2 A

3 C

4 B

5 D

6 D

7 C

8 B

二、填空题: 9. 24, z ? ?7 ? 24i ; 12. x ? ? ;9 ; 10. 2 3, y ? ? 13.

2 x; 2

11. [?2 3, 2 3], 6 ; 15. 2或8 .

1 2

6 ; 2

14. x2 ? x ? 3 y 2 ? 0 ;

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. 解: (1) z ?

2i ? 10 ? 2i 10 10(3 ? i ) ? ? ? 3?i ; 3?i 3?i 10

z ? 10
(2) (3 ? i)(3 ? i ? a) ? (3 ? i)2 ? (3 ? i)a ? 8 ? 3a ? (a ? 6)i ? b ? i

a? b ?? 7 ?8 ? 3 ? a ?? ? ? 1 ?b ? ? 1 3 ??(a ? 6 )
?c ? 4 ?b ?a ? 2 x2 y 2 ? ? 17.解: (1) ? ? 3 ?? ? ? ?1 4 12 ? ?b ? 2 3 ?a 2 2 2 ? ?c ? a ? b
(2) 设P( x0 , y0 ), A1P : y ?

y0 y ( x ? 2), A2 P : y ? 0 ( x ? 2) , x0 ? 2 x0 ? 2

所以 M (1,

3 y0 ? y0 ), N (1, ), x0 ? 2 x0 ? 2

所以 FM ?FN ? (?3,

???? ? ????

3 y0 ? y0 3y 2 3y 2 )?(?3, ) ? 9 ? 2 0 ? 9 ? 02 ? 0 y0 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 3

18.解: (1) ?

?y ? x ? 2 ? y ? 4x
2

? y 2 ? 4 y ? 8 ? 0 ? y1 ? y2 ? 4 ,

所以中点为 (4, 2), AB ? 2 ? 16 ? 32 ? 4 6 所以圆的方程: ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 24

? y1 y2 ? ?4m ?y ? x ? m ? ? y 2 ? 4 y ? 4m ? 0 ? ?? ? 16 ? 16m ? 0 ? m ? ?1 (2) ? 2 ? y ? 4x ?y ? y ? 4 2 ? 1
所以

y ?y 1 1 1 16 ? 16m 1 ? ? ? 1 2 ? ? , y1 y2 yP y1 y2 4m 2

解得: m ? 2 ? 2 2

?b ? c 2 ?1 ? 1 x2 ? ?a ? 2 19.解: (1)根据题意 ? 2 ? 2 ? 1 ? ? ? ? y2 ? 1, 2 a 2 b 2 ? ?b ? 1 ? 2 2 2 ? ?a ? b ? c
(2)当 MN 的斜率存在时,设 MN : ?

? y ? kx ? m ?x ? 2 y ? 2
2 2

? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0

? ?? ? 8(2k 2 ? m 2 ? 1) ? 0 ? 4km ? , ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? 2m 2 ? 2 x x ? ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

kNA ? 所以 kMA ?

y1 y kx ? m kx2 ? m 1 ? 2 ? 1 ? ?? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

所以 (2k 2 ?1) x1x2 ? (2km ? 2)( x1 ? x2 ) ? 2m2 ? 0 代入韦达定理得: m2 ? 2km ? 0 ? m ? 0或m ? ? 2k (舍) 所以 MN : y ? kx, 过定点(0,0)

当 MN 斜率不存在时也符合。 20.解: (1)轨迹 M : x ? ?4 y, N :
2

y 2 x2 ? ?1 4 3

? x1 ? x2 ? 4k ? y ? kx ? 4 ? 2 ? x ? 4kx ? 16 ? 0 ? ? x1 x2 ? ?16 ? 2 ? x ? ?4 y ? y y ? 16 ? 1 2
所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? OA ? OB 设 OM : ?

? y ? kx ?3 y ? 4 x ? 12
2 2
2

? (3k 2 ? 4) x 2 ? 12 ? xM 2 ?
12 , 3k 2 ? 4

12 , 3k 2 ? 4

所以 OM ? 1 ? k

xM ? 1 ? k 2

同理可得: ON ? 1 ?

1 1 ? k 2 12k 2 , x ? N k2 k2 3 ? 4k 2

所以 S?OMN ?

1 (1 ? k 2 )2 , OM ?ON ? 6 2 (3k 2 ? 4)(3 ? 4k 2 )

令 t ? 1 ? k 2 (t ? 1) ,

S? ? 6

t2 1 ?6 , 2 1 1 2 49 12t ? t ? 1 ?( ? ) ? t 2 4
12 7

所以当 t ? 2, 即:k ? ?1时,S max ? (附加题)设 ?EPF ? 2? ,

??? ? ??? ? 2 2 2 PE ?PF ? PE cos 2? ? PG cos 2 ? ?(1 ? 2sin 2 ? ) ? PG (1 ? ? PG ?
2

1 PG
2

)(1 ? 2

1 PG
2

)

2 PG
2

?3
??? ? ??? ? 56 ] 9

因为 PG ?[1,3] ,所以 PE ?PF ? [2 2 ? 3,


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