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(第7课)直线与平面平行平面与平面平行(2)




题:9. 3

直线与平面平行、 平面与平面平行 (二)

教学目的: 1.掌握空间两个平面的位置关系,掌握两个平面平行的定义; 2.掌握两个平面平行的判定定理及性质定理,灵活运用面面平行的判定定 理和性质定理实现“线面” “面面”平行的转化
王新敞
奎屯 新疆

教学重点:

两个平面平行的判定定理、性质定理 教学难点:两个平面平行的判定定理、性质定理的应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点) ; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ; (3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类. 它们的图形分别可表示为如下, 符号分别可表示为 a ? ? ,a ? ? ? A ,a // ? .
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a
a

a
?

?

A
?

2.线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线 平行,那么这条直线和这个平面平行. 推理模式: l ? ? , m ? ? , l // m ? l // ? . 证明:假设直线 l 不平行与平面 ? , ∵ l ? ? ,∴ l ? ? ? P , 若 P ? m ,则和 l // m 矛盾, 若 P ? m ,则 l 和 m 成异面直线,也和 l // m 矛盾, ∴ l // ? . 3. 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和 这个平面相交,那么这条直线和交线平行. 推理模式: l // ? , l ? ? , ? ? ? ? m ? l // m . 证明:∵ l // ? ,∴ l 和 ? 没有公共点, 又∵ m ? ? ,∴ l 和 m 没有公共点;
?
l m

?

即 l 和 m 都在 ? 内,且没有公共点,∴ l // m . 二、讲解新课: 1.平行平面:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面互相平行. 2.图形表示:画两个平面平行时,通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻 两边分别画成平行的. 3.平行平面的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个 平面,那么这两个平面互相平行. 推理模式: a ? ? ,b ? ? ,a ? b ? P ,a // ? ,b // ? ? ? // ? . : 分析:这个定理从正面证(用定义)比较困难,所以考虑用反证法. 启发:(1)如果平面 ? 和平面 ? 不平行,那么它们的位置关系怎样?
?
c

?

P

b a

(2)如果平面 ? 和平面 ? 相交,那么交线 c 和平面 ? 中的直线 a 与 b 各有 怎样的位置关系? (3)相交直线 a 与 b 都与交线 c 平行,这合理吗?为什么? 证明:假设 ? ? ? ? c , ∵ a ? ? , a // ? , ∴ a // c ,同理 b // c . 即在平面 ? 内过点 P 有两条直线与 c 平行,与公理 4 矛盾, ∴假设不成立,∴ ? // ? . 推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直 线,那么这两个平面互相平行. 推理模式:

a ? b ? P, a ? ? , b ? ? , a? ? b? ? P?, a? ? ? , b? ? ? , a // a?, b // b? ? ? // ? .
4.平行平面的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们 的交线平行. ? 推理模式: ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b . 证明:∵ ? // ? , a ? ? , b ? ? ,∴ a , b 没有公共点,
?
b

?

a

又∵ a ? ? , b ? ? ,∴ a // b . 同理可得面面平行的另一性质:如果两个平面平行,那么其中一个平面内 的直线平行于另一个平面. 推理模式: ? // ? , a ? ? ? a // ? . 三、讲解范例: 例1
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已知直线 a 、 b 异面,平面 ? 过 a 且平行于 b ,平面 ? 过 b 且平行于 a ,

求证: ? ∥ ? 分析:线面平行 ? 线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行 证明:过 a 作平面 ? ,使 ? ? ? ? a' ∵ a ∥ ? , a ? ? , ? ? ? ? a' ,∴ a ∥ a ' 又∵ a ' ? ? , a ? β α

a

b

? ,∴ a ' ∥ ? 且 b ∥ ?

又 a 、 b 异面,∴ a ' 与 b 必相交,∴ ? ∥ ? . 例 2.夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. 已知:? // ? , AB, CD 是夹在两个平行平面 ? , ? 间的 平行线段, 求证: AB ? CD . 证明:∵ AB // CD ,∴ AB, CD 确定平面 AC , ∴平面 AC ? ? ? AD ,平面 AC ? ? ? BC , ∴ AD // BC ,四边形 ABCD 是平行四边形.∴ AB ? CD . 例 3.若 ? // ? , ? // ? ,则 ? // ? . 证明:在平面 ? 内取两条相交直线 a , b , 分别过 a , b 作平面 ? , ? ,使它们分别与平面 ? 交于两相交直线 a?, b? , ∵ ? // ? ,∴ a // a?, b // b? ,

? ?

A

D

B

C

a
?

b

?
b??

a? b? a??

?

又∵ ? // ? ,同理在平面 ? 内存在两相交直线 a??, b?? , 使得 a? // a??, b? // b?? , ∴ a // a??, b // b?? , ∴ ? // ? . 例4 有一块木料如图,已知棱 BC 平行于面 A′C′.要经过木料表面 A′B′ C′D′ 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样画线?所 画的线和面 AC 有什么关系? 解: (1)∵BC∥面 A′C′, 面 BC′经过 BC 和面 A′C′交于 B′C′, ∴BC∥B′C′. 经过点 P,在面 A′C′上画线段 EF∥B′C′, 由公理 4,得:EF∥BC. ∴EF ? 面 BF,B ? 面 BF.连结 BE 和 CF. BE,CF 和 EF 就是所要画的线. (2)∵EF∥BC,根据判定定理,则 EF∥面 AC;BE、CF 显然都和面 AC 相交. 总结:解题时,应用直线和平面平行的性质定理,要注意把线面平行转化为线 线平行. 四、课堂练习: 1 ?在例题 4 的图中,如果 AD∥BC,BC∥面 A′C′,那么,AD 和面 BC′、面 BF、面 A′C′都有怎样的位置关系.为什么? 答:因为 AD∥BC,BC ? 面 BC′,AD ? 面 BC′,所以 AD∥面 BC′ 同理 AD∥面 BF. 又因为 BC∥面 A′C′,过 BC 的面 EC 与面 A′C′交于 EF, 所以 EF∥BC,又 BC∥AD,所以 AD∥EF.因此 EF ? 面 A′C′,AD ? ? 面 A′C′ 得 AD∥ ? 面 A′C′. 五、小结 :1.面面平行的判定和性质;2.灵活地实现“面面”“线面”“线 、 、 线”平行间的转换 六、课后作业:
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七、板书设计(略) 八、课后记:

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